张家港外国语学校数列纠错复练卷2013

1、张家港外国语学校数列纠错复练卷2013-03So 1S1.设Sn是等差数an的前n项和，若S3= 3，则16=.2若lg 2 , lg(2x- 1), lg(2x+ 3)成等差数列，则x的值等于 .13. 在 ABC中，tan A是以一4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B是以3为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是 .a54. 已知数列an为等差数列，若-<-1,则数列|an|的最小项是第 项.a605. 已知数列an满足a1= 33,為+仃a.= 2n,则才的最小值为 .6. 函数y= x2(x>0)的图象在点(ak, ak)处的切线与x轴交点的横坐标

2、为 ak +1, k为正整数，aj =16，贝V a1 + a3 + a5=.若正项7. 若一个数列的第 m项等于这个数列的前 m项的积，则称该数列为"m积数列”. 等比数列an是一个“ 2 012积数列”，且a1>1，则其前n项的积最大时，n = _&已知数列an满足a1= 2,an+ 1 =豐-；(n N *)，则数列an的前100项的和为9. 等差数列an的前n项和为Sn,且a4- a2= 8, a3+ a5= 26,记Tn=誥，如果存在正整数M，使得对一切正整数 n, TnW M都成立.则 M的最小值是 .210. 若x,a1? a2,y成等差数列，x, b1

3、,b2,y成等比数列，则卩：2)的取值范围是 11. 三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后，变成一个等比数列，则此等比数列的公比是.s + s>+ s12. 设数列an的前n项和为Sn,令Tn= 1n"，称Tn为数列a1,a2,，a*的“理想数”，已知数列a1,a2,，a500的“理想数”为2 004，那么数列12,a1,a2,，a500的“理想数”为.13. 已知两个等比数列an, bn满足 a1= a(a>0),切a1= 1, b? a?= 2, b3- a3= 3,若数 列an惟一，则 a =.14. 设1 = a1< a2<-<

4、 a7，其中a1, a3, a5, a?成公比为q的等比数列，a?, a4, a6成公差 为1的等差数列，贝U q的最小值是 .15. 设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a2 + a2= a2 + a5, S?= 7. (1)求数列an的通项公式及前n项和Sn；试求所有的正整数 m,使得也为数列an中的项.am + 216.(1 )已知数列an的通项公式:bnCn 1an亠p ，且满足(1 )，若an _2二Cn P,C -1 ,C 2 ,5 T 12 3n 2an- (n N)，试求 an最大项的值；(2)记3-1丄(bn)3成等比数列，求p的值；(3)(理)如果且p是满足

5、(2)的正常数，试证：对于任意自然数 n，或者都满足C2n4 - 2 , C2： 2 ;或者都满足C2n4 一2 ,C2n 2 .(文)若*是满足(2)的数列，且 (bn)3成等比数列，试求满足不等式：“2 -b3(-1)nbn 一2004的自然数n的最小值.111 n*17. 设数列an的前n项和为Sn,已知+ + = n+ 1 (n N ). (1)求S1, S2及Sn；求实数m的取值范围.设bn= an,若对一切n N*，均有论小十,m2-6m+晋,18. 已知数列 an的前n项和为Sn,且满足25= pan- 2n, n N*，其中常数p>2. (1)证明： 数列an+ 1为等比

6、数列；若a2= 3，求数列an的通项公式；对于中数列an，若数*k+1*列bn满足bn= log 2(an+ 1)( n N)，在bk与bk+1之间插入2 (k N )个2,得到一个新的数 列 Cn，试问：是否存在正整数 m，使得数列cn的前m项的和Tm= 2 011 ?如果存在，求 出m的值；如果不存在，说明理由.张家港外国语学校数列纠错复练卷参考答案S311解析：设an的公差为d，则由&=可得3a1+ 3d 1=-，故 a1= 2d.6a1+ 15d356576a1+ 15d7a1+ 21d12d+ 15d2714d+ 21d33 * 35.答案:27352解析:lg 2 + lg

7、(2x+ 3) = 2lg(2x 1),2(2x+ 3) = (2x 1)2,(2x)2- 4 2x 5= 0,2x= 5, x= log25.答案：Iog2513.解析：a3 = 4, a7= 4, d= 2, tan A= 2, b3= 3, b6= 9, q= 3, tan B= 3 贝V tan C= tan(A + B)= 1, A, B, C 都是锐角.答案：锐角三角形4.解析：a5由5< 1得，右a6>0，则a5< a6<0，此时等差数列为递增数列，旧5|>庄|,此a6时|an|中第6项最小；若a6<0,则a5> a6>0,此时等差

8、数列为递减数列，|a5|>|a6|,仍然有|an|中第6项最小.故|an|中的最小项是第6项.答案：65.解析：an= (an an 1) + (an 1 an2) + + (a2 a" + a12所以a=n+331,(x) = 1 -3,从而在 C.33 ,+s)上函 x=21 + 2 + (n 1) + 33= n2 n+ 33,答案：=2,则an是周期为 3 的数列，所以 S100= (2 + 3+ 1)X 33 + 2= 200.3X 1 7答案：2009. 解析：由a4a2=8,可得公差d= 4，再由a3+ a5= 26,可得a1 =1,故Sn= n+2n(n 1)

9、= 2n2 n,2n 11Tn= = 2 -.要使得Tn w M，只需 M > 2即可，故 M的最小值为2.答案：2126解析：函数y = x(x>0)在点(16,256)处的切线方程为 y 256= 32(x 16).令y= 0得a2 =8;同理函数y= x2(x>0)在点(8,64)处的切线方程为 y 64= 16(x 8),令y= 0得a3= 4;依 次同理求得 a4= 2, a5= 1.所以 ai + a3 + a5 = 21.答案：217. 解析：根据条件可知 a1a2a3a2 012= a2 012,故 a1a2a3a2 011= 1，即 a1 006= 1，故

10、a1 006= 1,而 a1>1，故an的公比 0<q<1，贝U 0<a1 007<1 , a1 005>1，故数列an的前n项的积最大时，n = 1 005或1 006.答案：1 005或10065an 13*5X 2 135X 3 138. 解析：由a1 =2,an+1 =(nN)，得a2= 3,a3= 1,a43an 73 X 2 73 X 3 710.解析:但1 + a22b1 b2丁=2+y+ :若x, y同号，则:+ A2,当且仅当x= y时取等5 X 1 13号；若x, y异号，则x+ yw 2,当且仅当x= y时取等号，得 小二比 的取值范围

11、是( y xb1b2g, 0 l4 ,+ a).答案：( a, 0 l 4 ,+a )11. 解析：设这三个数分别为 a d, a, a+ d(d 0)，由于0,所以a d, a, a+ d或a+ d, a, a d不可能成等比数列；若a d, a+ d, a或 a, a+ d,a d成等比数列，则(a+ d)2= a(a d)，即 d = 3a,此时 q =aa 3a1a 3a2或 q=丁= 2；若 a, ad, a+d 或2a 3 aa 3aa+ d, a d, a成等比数列，则(a d) = a(a+ d),即 d= 3a,此时 q = 2 或 q =aa+ 3a1 1=q.故 q=_

12、2 或一21答案：2或212. 解析：根据理想数的意义有，500a1 + 499a2 + 498a3 + + a5oo5002 004=501501 X 12+ 500a1 + 499a?+ 498氏 + + a500amam+i (2m 7f2m 5、法一：=，设 2m 3= t,amam+1 则 am+ 2am+22m 3所以t为8的约数.因为t是奇数，所以t可取的值为±1,8当 t= 1, m= 2 时，t +6= 3,2 X 5 7= 3，是数列an中的项；8当t = 1, m= 1时，t + 6 = 15,数列an中的最小项是一5,不符合所以满足条件的正整数m = 2.am

13、am+1法二：因为am+ 2am+ 2 4 am+ 2 288=am+ 2 6 + 为数歹卩 an中的项，故 为am+2am+2am + 2整数，又由（1）知am+ 2为奇数，所以am+ 2= 2m 3= ± ,即m= 1,2.经检验，符合题意的正整数m为2.16.解：（1）"叮決启，-2 -314_j = 2，则 an 乞 4.即 an的最大项的值为4.（2）欲使 （g尸成等比数列，只需 bn成等比数列. / bn 二2 二 ¥ 3n 弓，只需 2 p n -（3 ）（理）P=2 , Cn 1 = Cn 1 = 1 ' FiC2 r 2，Cn =、2 .

14、/ ©n -工）©.一辽）=：（1一2）8 丄一刀4 =0或二0即可。解得P =2或P = -2。,/ C1- -1 , Cn -1 .又 C1 r 2 ,C2n 1 :：0 , C2n 4 2 , C2n ： ' 2 ；或 C2nd2 , C2n ' 2（文）p =_2不合题意，p =2= bn =3n，据题意,二1需门 _ 2004= (一3)" 1 乞-4019 ,nmin 二817.解:依题意，n = 1时,S1 = 2; n= 2 时，S2= 6.n2时,丄+丄+ +S1+ S2+1Sn 1nn+ 1，所以 Sn= n(n+ 1)上式对n

15、 = 1也成立，所以 Sn= n(n + 1)(n N ).bn_ 1bn- 14所以数列bn是等比数列.所以4三吾ibk<3,丄<1m 4，由m2-6m+ 罟3,m<0 或 m>4, 得mW 1或 m> 5,所以m<0或m5,即m的取值范围为（一a, 0） L5 ,+s）.18解：（1）证明：因为 2Sn= Pan- 2n,所以 2Sn+1 = pan+1 2(n + 1),所以 2an+1 = pan+1 pan 2,所以2，所以p 2an+1+仁 p?an+1).因为2a1 = pa1 2,且p>2，所以a1 =>0.所以屮1 = 士0.所

16、以an +1 + 1an+ 1pp 2所以数列an+ 1为等比数列.(2)当 n = 1 时，ai= 2，当 n>2 时，an= Sn Sn-i = 2n,所以 an= 2n(nN ), bn = 4 n,又因为a2= 3,所以'2 j 1 = 3.所以 p= 4, an= 2n 1.n*(1 + 2 + 3由得bn= log22 = n（n N ），数列cn中，bk（含 bk项）前的所有项的和是+ + k) + (2°+ 21+ 22+ 2k 2)x 2= k 罗 1 + 2k- 2,当 k = 10 时，其和是 55 + 210 2= 1 077<2 011,

17、当 k = 11 时，其和是 66+ 211 2= 2 112>2 011,又因为 2 011 1 077= 934= 467X 2，是 2 的倍数，所以当 m= 10+ (1 + 2+ 22+ 28)+ 467 = 988 时，Tm= 2 011,所以存在 m= 988 使得 0= 2 011.备选题1.已知数列an, bn满足 bn= a*+1 an,其中 n= 1,2,3,.(1) 若a1= 1, bn= n,求数列an的通项公式；(2) 若 bn+ 1bn- 1= bn( n> 2)，且 b1 = 1 , b2 = 2.记 Cn= a6n-1( n> 1)，求证：数列

18、 Cn为等差数 列.解(1)当n2时，有an = a1 + (a2 a” + (a3 a2) + + (an an 1) = a1 + b1 + b2+ + bn1= 1 +又因为a1= 1也满足上式，2所以数列an的通项为an=2 + 1.证明：因为对任意的 n N *有bn + 51bn+1bn + 6= bn ,bn + 4bn+ 3bn+ 2所以 Cn+ 1 Cn= a6n + 5 a6n 1 = a6n + 5 a6n + 4 + a6n + 4 a6n+ 3+ + a6n a6n 1 = b6n 1 + b6n1 1+ b6n+ 1+ b6n + 2+ b6n+ 3+ b6n +

19、4= 1 + 2+ 2+ 1 + ?+ ? = 7(n > 1).所以数列Cn为等差数列.2.已知数列an满足 a1 + a2+-+ an= n2(n N ).(1)求数列an的通项公式；对任意给定的k N*，是否存在p, r N*(k<p<r)使1, 1,丄成等差数列？若存在，ak ap ar用k分别表示p和r;若不存在，请说明理由.解：(1)当 n= 1 时，a1= 1；* 2当 n>2, n N 时，ai+ a2+ an 1= (n 1),所以 an= n2 (n 1)2 = 2n 1;当n = 1时，也适合.3 2p2p 1综上所述，an= 2n 1(nN*).

20、111121(2)当k= 1时，若存在p, r使-,了，-成等差数列，贝V 了=- akapararapak因为p>2,所以ar<0,与数列an为正数相矛盾.因此，当k= 1时，不存在.当 k>2 时，设 ak= x, ap= y, a= z,则 1 + 1 =-，所以 z= 红.X z y2x y令 y = 2x 1 得 z= xy=x(2x 1),此时 ak= x= 2k 1, ap= y= 2x 1= 2(2k 1) 1,所以 p= 2k 1, ar = z= (2k 1)(4k 3)= 2(4k2 5k+ 2) 1.所以 r = 4k2 5k+ 2.综上所述，当k =

21、 1时，不存在p, r;当k>2时，存在p= 2k 1, r = 4k2 5k+ 2满足 题意.n+ 2i 1n+2*3.设数列an是一个无穷数列，记 Tn =葛2 ai + 2a1 a3 2 an+1, n N .(1) 若an是等差数列，证明：对于任意的n N*, Tn= 0；(2) 对任意的n N*，若Tn= 0，证明：an是等差数列；若Tn= 0,且a1 = 0 , a2=，数列b*满足bn= 2an,由 bn构成一个新数列3, b2, b3,设这个新数列的前n项和为Sn,若Sn可以写成ab, (a, b N , a>1 , b>1)，则称Sn为"好和&qu

22、ot;.问0, S2, S3,中是否存在"好和”，若存在，求出所有"好和”；若不存 在，说明理由.解：(1)证明：对于任意的正整数 n,n+ 2 .t Tn = I= 2 1ai+ 2a1 a3 2 2an+1,I = 1n+ 22Tn= 2.g2i 1ai + 4a1 2a3 2n 3an+1.I = 1将上面两等式作差得n + 1Tn= a3 a1 + 聲 12 (ai +1 ai) + 2(an+1 an+ 2).t数列an是等差数列，设其公差为d,n+ 1 Tn= 2d+ d 乙 2i - 2n+ 2d = 0,.Tn= 0.证明：对于任意的正整数n,n+ 2i 1

23、n + 2Tn = X” 2 ai + 2ai a3 2 an+i= 0,i= 1n+ 3 Tn +1 =12i 1ai + 2a1 a3 2n 3an + 2 = 0,i -1将上面两等式作差得an+1 2an+2 + an + 3= 0.3由 T1 = 1= 2 1ai + 2a1 a3 2a2 = 0i = 1即 a3 a?= a? a,综上，对一切正整数n,都有an+1 2an+ an1= 0,所以数列an是等差数列.(3)由知an是等差数列，其公差是1,所以 an= a1 + (n 1) = n 1, bn = 2an= 2n 1.当 n >2 时，Sn= 3 + 2+ 4 +

24、 2n1= 2n+ 1, S1= 3,所以对正整数n都有Sn= 2n+ 1.由 ab= 2n+ 1, ab 1 = 2n, a, b N, a>1, b>1, a 只能是不小于 3 的奇数.当 b 为偶数时，ab 1 = (a| + 1)(ab 1) = 2n,因为a2+ 1和a2 1都是大于1的正整数，所以存在正整数t, s,使得a|+ 1= 2s, ab 1= 2t,2s 2t= 2,2t(2st 1) = 2,2t= 2 且 2s 1 = 1 , t = 1, s= 2,相应的 n = 3,即有 S3= 32, S3为好和；当 b 为奇数时，ab 1 = (a 1)(1 +

25、a+ a2+-+ ab1),由于 1 + a+ a2+ ab1 是 b 个 奇数之和，仍为奇数，又 a 1为正偶数，所以(a 1)(1 + a+ a2+-+ ab 1) = 2n不成立，这 时没有好和.4将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知表中的第一列数a1, a2, a5,构成一个等差数列，记为 bn，且b2= 4, b§= 10.表中每一行正中间一个数a1, a3, a?,构成数列 Cn，其前n项和为Sn.(1)求数列bn的通项公式；若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为 同一个正数，且 a13= 1. 求Sn； 记

26、M = n|(n + 1)Cn>入n N*，若集合M的元素个数为3，求实数 入的取值范围.解(1)设数列bn的公差为d,所以bn= 2n.|bi+ d = 4,bi= 2,则解得bi+ 4d = 10,d = 2,设每一行组成的等比数列的公比为q.2 2 2 由于前n行共有1+ 3+ 5+ - + (2n 1) = n个数，且3 <13<4 ,所以 aw= b4= 8.331所以 a13= a1oq = 8q .又 a13= 1,解得 q = .因此cn= 2nn1所以如=2° + f+亍+-12n1 nSn= C1+ C2 + + Cn 1+ Cn=+' 0+ + n 3 +,2 2 2 2 n2n 1.1 111 1因此2Sn=厂1 + 215+ 21 + 产4= 4 丄n 1n 22 2 2 = 4 n+ 22n-1n + 2解得 Sn= 8 一 n 22 一n(n + 1 由知Cn =2,不等式(n+ 1)Cn>人可化为 n 2鼻入2 一n(n+ 1 设 f(n)=n_,215计算得 f(