2019年江苏卷数学高考真题

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4 页，均为非选择题(第 1 题第 20 题，共 20 题)。本卷满分为160 分，考试时间为120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5如需作图，须用2b 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参

2、考公式：样本数据的方差，其中12,nx xx2211niisxxn11niixxn柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高vshsh锥体的体积，其中是锥体的底面积，是锥体的高13vshsh一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合，则. 1,0,1,6a|0,bx xxrabi2已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a 的值是.(2i)(1i)ai3下图是一个算法流程图，则输出的s的值是.4函数的定义域是.276yxx5已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是.6从 3名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿

3、者服务，则选出的2 名同学中至少有1 名女同学的概率是.7在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（ 3， 4)，则该双曲线的渐近线方程是xoy2221(0)yxbb.8已知数列是等差数列，是其前 n 项和 .若，则的值是.*()nannns25890,27a aas8s9如图，长方体的体积是120，e 为的中点，则三棱锥e- bcd 的体积是.1111abcda bc d1cc10在平面直角坐标系中， p 是曲线上的一个动点，则点p 到直线 x+y=0 的距离的xoy4(0)yxxx最小值是.11在平面直角坐标系中，点 a 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点a 处的切线经过点（- e， - 1)

4、(e 为自xoy然对数的底数） ，则点 a 的坐标是.12如图，在中， d 是 bc 的中点， e 在边 ab 上， be=2ea，ad 与 ce 交于点.若abco，则的值是.6ab acao ecu uu r uuu ruu u ru uu rabac13已知，则的值是.tan23tan4sin2414设是定义在 r 上的两个周期函数，的周期为 4，的周期为2，且是奇函数 .当( ),( )f xg x( )f x( )g x( )f x时，其中 k0.若在区间 (0， 9上，关于2(0,x2( )1(1)f xx(2),01( )1,122k xxg xxx 的方程有 8 个不同的实数根

5、，则k 的取值范围是.( )( )f xg x二、解答题：本大题共6小题，共计 90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14 分）在 abc 中，角 a，b，c 的对边分别为a，b，c（1）若 a=3c，b=，cosb=，求 c 的值；223（2）若，求的值sincos2ababsin()2b16（本小题满分14 分）如图，在直三棱柱abca1b1c1中， d，e 分别为 bc， ac 的中点， ab=bc求证：（ 1）a1b1平面 dec1；（2）bec1e17（本小题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆c:的焦点为f1（ 1、

6、0），22221(0)xyababf2（1， 0）过 f2作 x 轴的垂线l，在 x 轴的上方， l 与圆 f2:交于点 a，与椭圆c222(1)4xya交于点 d.连结 af1并延长交圆f2于点 b，连结 bf2交椭圆 c 于点 e，连结 df1已知 df1=52（1）求椭圆c 的标准方程；（2）求点 e 的坐标18（本小题满分16 分）如图，一个湖的边界是圆心为o 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥ab（ab 是圆 o 的直径）规划在公路l 上选两个点p、 q，并修建两段直线型道路pb、qa规划要求：线段pb、qa 上的所有点到点o 的距离均不小于圆o 的半径已知点a、b 到直线

7、l 的距离分别为ac 和 bd（c、d为垂足），测得ab=10，ac=6，bd=12（单位：百米）（1）若道路pb 与桥 ab 垂直，求道路pb 的长；（2）在规划要求下，p 和 q 中能否有一个点选在d 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路pb 和 qa 的长度均为d（单位：百米）.求当 d 最小时， p、q 两点间的距离19（本小题满分16 分）设函数、为 f（x）的导函数( )()()(), , ,f xxa xb xc a b cr( )f x（1）若 a=b=c，f（4）=8，求 a 的值；（2）若 ab，b=c，且 f（x）和的零点均在集合中，求 f（x）的极小值；( )f

8、x3,1,3（3）若，且 f（x）的极大值为m ，求证 :m0,01,1abc,42720（本小满分16 分）定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“m数列 ”.（1）已知等比数列an满足：，求证：数列an为“m数列 ”*()nn245324,440a aa aaa；（2）已知数列 bn满足：，其中 sn为数列 bn的前 n 项和*()nn111221,nnnbsbb求数列 bn的通项公式；设 m 为正整数，若存在“m数列 ” cn，对任意正整数k，当 km 时，都有*()nn成立，求m 的最大值1kkkcbc,2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、填空题：本题考查基

9、础知识、基本运算和基本思想方法.每小题 5分，共计 70分.1.2.23.54.5.6.7.1,61,7537102yx8.169.1010.411.12.13.14.(e, 1)321012,34二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分 14分.解：（ 1）因为，23 ,2,cos3ac bb由余弦定理，得，即.222cos2acbbac2222(3 )(2)323cccc213c所以.33c（2）因为，sincos2abab由正弦定理，得，所以.sinsinababcossin2bbbbcos2sinbb从而，即，故.2

10、2cos(2sin)bb22cos4 1cosbb24cos5b因为，所以，从而.sin0bcos2sin0bb2 5cos5b因此.2 5sincos25bb16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力 .满分 14 分.证明：（ 1）因为 d，e 分别为 bc，ac 的中点，所以 edab.在直三棱柱abc-a1b1c1中， aba1b1，所以 a1b1 ed.又因为 ed? 平面 dec1，a1b1平面 dec1，所以 a1b1平面 dec1.（2）因为 ab=bc，e 为 ac 的中点，所以beac.因为三棱柱abc-a1b

11、1c1是直棱柱，所以cc1平面 abc.又因为 be? 平面 abc，所以 cc1be.因为 c1c? 平面 a1acc1，ac? 平面 a1acc1，c1cac=c，所以 be平面 a1acc1.因为 c1e? 平面 a1acc1，所以 bec1e.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分 14 分.解：（ 1）设椭圆c 的焦距为2c.因为 f1(- 1，0)，f2(1，0)，所以 f1f2=2，c=1.又因为 df1=，af2x 轴，所以df2=，52222211253( )22

12、2dff f因此 2a=df1+df2=4，从而 a=2.由 b2=a2- c2，得 b2=3.因此，椭圆c 的标准方程为.22143xy（2）解法一：由（ 1）知，椭圆c：，a=2，22143xy因为 af2x 轴，所以点a 的横坐标为1.将 x=1 代入圆 f2的方程 (x- 1) 2+y2=16，解得 y=4.因为点 a 在 x 轴上方，所以a(1，4).又 f1(- 1，0)，所以直线af1：y=2x+2.由，得，22()22116yxxy256110 xx解得或.1x115x将代入，得，115x22yx125y因此.又 f2(1，0)，所以直线bf2：.1112(,)55b3(1)4

13、yx由，得，解得或.221433(1)4xyxy276130 xx1x137x又因为 e 是线段 bf2与椭圆的交点，所以.1x将代入，得.因此.1x3(1)4yx32y3( 1,)2e解法二：由（ 1）知，椭圆c：.如图，连结ef1.22143xy因为 bf2=2a，ef1+ef2=2a，所以 ef1=eb，从而 bf1e=b.因为 f2a=f2b，所以 a= b，所以 a= bf1e，从而 ef1f2a.因为 af2x 轴，所以ef1x 轴.因为 f1(- 1，0)，由，得.221431xxy32y又因为 e 是线段 bf2与椭圆的交点，所以.32y因此.3( 1,)2e18.本小题主要考

14、查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 16分 .解：解法一：（1）过 a作，垂足为 e.aebd由已知条件得，四边形acde为矩形，.6,8debeacaecd因为 pbab，所以.84cossin105pbdabe所以.12154cos5bdpbpbd因此道路 pb的长为 15（百米） .（2）若 p在d处，由（ 1）可得 e在圆上，则线段be上的点（除 b，e）到点 o的距离均小于圆o的半径，所以 p选在 d处不满足规划要求.若 q在d处，连结 ad，由（ 1）知，2210adaeed从而，所以 bad为锐角 .2

15、227cos0225adabbdbadad ab所以线段 ad上存在点到点o的距离小于圆o的半径 .因此， q选在 d处也不满足规划要求.综上， p和q均不能选在 d处.（3）先讨论点 p的位置 .当 obp90 时，在中，.1ppb115pbpb由上可知， d15.再讨论点 q的位置 .由（ 2）知，要使得qa15 ，点 q只有位于点 c的右侧，才能符合规划要求.当 qa=15时，.此时，线段 qa上所有点到点 o的距离均不小于圆o的半径 .22221563 21cqqaac综上，当 pbab，点 q位于点 c右侧，且 cq=时， d最小，此时 p，q两点间的距离3 21pq=pd+cd+c

16、q=17+.3 21因此， d最小时， p，q两点间的距离为17+（百米） .3 21解法二：（1）如图，过 o作ohl，垂足为 h.以o为坐标原点，直线oh为y轴，建立平面直角坐标系.因为 bd=12，ac=6，所以 oh=9，直线 l的方程为 y=9，点 a，b的纵坐标分别为3，-3.因为 ab为圆 o的直径， ab=10，所以圆 o的方程为 x2+y2=25.从而 a（4，3）， b（-4 ，-3 ），直线 ab的斜率为.34因为 pbab，所以直线 pb的斜率为，43直线 pb的方程为.42533yx所以 p（-13 ，9），.22( 134)(93)15pb因此道路 pb的长为 15

17、（百米） .（2）若 p在d处，取线段 bd上一点 e（-4 ，0），则 eo=45，所以 p选在 d处不满足规划要求.若 q在d处，连结 ad，由（ 1）知 d（-4 ，9），又 a（4，3），所以线段 ad：.36( 44)4yxx,在线段 ad上取点 m（ 3，），因为，15422221533454om所以线段 ad上存在点到点o的距离小于圆o的半径 .因此 q选在 d处也不满足规划要求.综上， p和q均不能选在 d处.（3）先讨论点 p的位置 .当 obp90 时，在中，.1ppb115pbpb由上可知， d15.再讨论点 q的位置 .由（ 2）知，要使得qa 15，点 q只有位于点

18、c的右侧，才能符合规划要求.当 qa=15时，设 q（a，9），由，得 a=，所以 q（，9），此时，线段22(4)(93)15(4)aqaa43 2143 21qa上所有点到点o的距离均不小于圆o的半径 .综上，当 p（-13 ，9）， q（，9）时， d最小，此时 p，q两点间的距离43 21.43 21( 13)173 21pq因此， d最小时， p，q两点间的距离为（百米） .173 2119本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力满分 16分解：（ 1）因为，所以abc3( )()()()()f xxa xb xcxa因为，所以，解

19、得(4)8f3(4)8a2a（2）因为，bc所以，2322( )()()(2 )(2)f xxaxbxab xbab xab从而令，得或2( )3()3abf xxbx( )0f xxb23abx因为，都在集合中，且，2, ,3aba b 3,1,3ab所以21,3,33abab此时，2( )(3)(3)f xxx( )3(3)(1)f xxx令，得或列表如下：( )0f x3x1xx(, 3)3( 3,1)1(1,)( )f x+00+( )f xz极大值极小值z所以的极小值为( )f x2(1)(1 3)(1 3)32f（3）因为，所以，0,1ac32( )()(1)(1)f xx xb

20、xxbxbx2( )32(1)f xxbxb因为，所以，01b224(1)12(21)30bbb则有2个不同的零点，设为( )f x1212,x xxx由，得( )0f x22121111,33bbbbbbxx列表如下：x1(,)x1x12,x x2x2(,)x( )f x+00+( )f xz极大值极小值z所以的极大值( )f x1mfx解法一：321111(1)mfxxbxbx221111211(1)32(1)3999bbxbb bxbxbx23221 (1)(1)2127927bbbb bbb23(1)2(1) (1)2(1)1)272727b bbbb b因此(1)24272727b

21、b427m解法二：因为，所以01b1(0,1)x当时，(0,1)x2( )()(1)(1)f xx xb xx x令，则2( )(1) ,(0,1)g xx xx1( )3(1)3g xxx令，得列表如下：( )0g x13xx1(0,)3131(,1)3( )g x+0( )g xz极大值所以当时，取得极大值，且是最大值，故13x( )g xmax14( )327g xg所以当时，因此(0,1)x4( )( )27f xg x427m20本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分16分解：（ 1）设等比数列

22、an 的公比为 q，所以 a10 ，q 0.由，得，解得245321440a aaaaa244112111440a qa qa qa qa112aq因此数列为“m数列 ”.na（2）因为，所以1122nnnsbb0nb由，得，则.1111,bsb212211b22b由，得，1122nnnsbb112()nnnnnb bsbb当时，由，得，2n1nnnbss111122nnnnnnnnnb bbbbbbbb整理得112nnnbbb所以数列 bn是首项和公差均为1的等差数列 .因此，数列 bn的通项公式为bn=n.*nn由知， bk=k，.*kn因为数列 cn为“m 数列 ” ，设公比为 q，所以

23、 c1=1，q0.因为 ck bk ck+1，所以，其中 k=1，2，3，m.1kkqkq当k=1时，有 q1；当k=2，3， ，m时，有lnlnln1kkqkk设f（x）=，则ln(1)xxx21ln( )xf xx令，得 x=e.列表如下：( )0f xx(1,e)e(e，+)( )f x+0f（x）极大值因为，所以ln 2ln8ln9ln32663maxln3( )(3)3f kf取，当 k=1，2，3，4，5时，即，33qlnlnkqk,kkq经检验知也成立1kqk因此所求 m的最大值不小于5若m6 ，分别取 k=3，6，得 3 q3，且 q56 ，从而 q15 243 ，且 q15

24、216 ，所以 q不存在 .因此所求 m的最大值小于6.综上，所求 m的最大值为 5数学(附加题 )21 【选做题】本题包括a、b、 c 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤a. 选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分10 分）已知矩阵3122a（1）求 a2；（2）求矩阵 a的特征值 .b.选修 4- 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点，直线 l的方程为.3,2,42absin34（1）求 a，b两点间的距离；（2）求点 b到直线 l的距离 .c.选修 4- 5：不等式选讲（本小题满

25、分 10分）设，解不等式.xr| |+|2 1|2xx【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.（本小题满分 10分）设.已知.2*012(1),4,nnnxaa xa xa xnnnl23242aa a（1）求 n的值；（ 2）设，其中，求的值 .(13)3nab*,a bn223ab23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xoy中，设点集，(0,0),(1,0),(2,0),( ,0)nan(0,1),( ,1),(0, 2),(1,2),(2, 2),( ,2),.nnbncnnnl令.从集合

26、mn中任取两个不同的点，用随机变量x表示它们之间的距离.nnnnmabcuu（1）当 n=1时，求 x的概率分布；（2）对给定的正整数n（ n3 ），求概率 p（x n）（用n表示） .数学(附加题 ) 参考答案21【选做题】a 选修 42：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力满分10分解：（ 1）因为，3122a所以231312222a=3 3 1 23 1 1 22 32 22 1 22115106（2）矩阵 a的特征多项式为.231( )5422f令，解得 a的特征值.( )0f121,4b选修 44：坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐标方程等基

27、础知识，考查运算求解能力满分10分解：（ 1）设极点为 o.在 oab中， a（3，）， b（，），422由余弦定理，得ab=.223( 2)232cos()524（2）因为直线 l的方程为，sin()34则直线 l过点，倾斜角为(3 2,)234又，所以点 b到直线 l的距离为.( 2,)2b3(3 22)sin()242c 选修 45 ：不等式选讲 本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力满分10分解：当 x0时，原不等式可化为，解得 x2，即 x时，原不等式可化为x+2x12 ，解得 x1.12综上，原不等式的解集为.1|13x xx或22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分解：（ 1）因