2022年函数的概念

1、121 函数的概念（教学设计）教学目的：1理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；2理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。教学重点： 理解函数的概念教学难点： 函数的概念教学过程 ：一、复习回顾，新课引入：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x 和 y，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量， y 是 x 的函数 . 并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初

2、中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。问题 1：1y（rx）是函数吗？问题 2：xy与xxy2是同一函数吗？观察对应：0300450600902122239411-12-23-33-32-21-1149123123456(1)(2)(3)(4)开 平 方求 正 弦求 平 方乘 以 2aaaabbbb1二、师生互动，新课讲解：（一）函数的有关概念设 a，b 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个x，在集合b 中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称baf :为从集合a到集合 b的函数，记作)(xfy， xa 其中x叫自变量，x的取值范围a叫做函

3、数)(xfy的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合axxf|)(（b）叫做函数y=f(x)的值域 . 值域是集合b的子集。函数符号)(xfy表示“ y 是 x 的函数”，有时简记作函数)(xf. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - -(1) 函数实际上就是集合a到集合 b的一个特殊对应baf :这里 a, b 为非空的数集 . （2）a：定义域；axxf|)(：值域，其中axxf|)( b ；f：对应法则，xa ，yb （3）函数符号：)(xfyy是x的函数，简记)(x

4、f例 1：(tb0107701) 判断下列各式，哪个能确定y 是 x 的函数？为什么？（1）x2+y=1 （2）x+y2=1 答： （1）是； （2）不是。（二）已学函数的定义域和值域请填写下表：函数一次函数二次函数反比函数a0 a0 对应关系定义域值域abacyy44|2abacyy44|2（三）函数的值：关于函数值)(af题：)(xf=2x+3x+1 则 f(2)=22+32+1=11注意： 1 在)(xfy中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样。 2)(xf不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”。 3)(xf与)(af是不同的，前者为变数，后者为常数。（四）函数的三要素：对应法则f

5、、定义域a、值域axxf| )(只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。例题讲解例 2： 求下列函数的定义域：21)(xxf；23)(xxf；xxxf211)(. 分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定。如果只给出解析式)(xfy，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合。解： x-2=0 ，即 x=2 时，分式21x无意义，而2x时，分式21x有意义，这个函数的定义域是2| xx. 3x+20，即 x-32时，根式23x无意义，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 -

6、 - - - - - - - -而023x，即32x时，根式23x才有意义，这个函数的定义域是x|32x. 当0201xx且，即1x且2x时，根式1x和分式x21同时有意义，这个函数的定义域是x|1x且2x 另解：要使函数有意义，必须：0201xx21xx这个函数的定义域是： x|1x且2x 变式训练2： （课本 p19练习 no ：1）强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义. 由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域. 例 3： 已知函数)(xf=32x-5x+2 ，求 f(3), f

7、(-2), f(a+1). 解： f(3)=3 23-5 3+2=14；f(-2)=3 (-2)2-5 (-2)+2=8+52；f(a+1)=3(a+1) 2-5(a+1)+2=3a2+a. 变式训练3： （课本 p19练习 no ：2）例 4：下列函数中哪个与函数xy是同一个函数？2xy；33xy；2xy（4）y=2xx解：2xyx（0 x）,0y，定义域不同且值域不同，不是；33xyx（rx）,ry，定义域值域都相同，是同一个函数；2xy|x|=xx,00 xx,0y；值域不同，不是同一个函数。(4) 定义域不同，所以不是同一个函数。变式训练 4：3)5)(3(1xxxy52xy（定义域不

8、同）111xxy) 1)(1(2xxy（定义域不同）21)52()(xxf52)(2xxf（定义域、值域都不同）例 5： 求下列函数的值域：（1）xy3； （2）xy8； （3）54xy； （4）762xxy分析：在直角坐标系中画出函数的图象，发现（1） 、 （3）两个一次函数的函数值可以取到一切实数；（2）这个反比例函数的函数值不能等于0； （4）这个二次函数有最小值解： （1）值域为实数集r；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - -（2）值域为ryyy, 0；（3）值域为实数集r；（4

9、）函数762xxy的最小值是2，所以值域为2yy（五）区间的概念研究函数时常会用到区间的概念设ba,是两个实数，而且ba我们规定：（1）满足不等式bxa的实数x的集合叫做闭区间，表示为,ba；（2）满足不等式bxa的实数x的集合叫做开区间，表示为),(ba；（3）满足不等式bxa或bxa的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为),ba，,(ba这里的实数ba,都叫做相应区间的端点实数集r可用区间表示为),(， 我们把满足ax，ax，bx，bx的实数x的集合分别表示为),a，),(a，,(b，),(b“” 读作“无穷大” ， “” 读作“负无穷大” ， “+” 读作“正无穷大” 区间可在数轴上

10、表示（课本第17 页） 上面例 4 的函数值域用区间表示分别为：（1）),(， （2）),0()0 ,(， （1）),(， （ 4）),2三、课堂小结，巩固反思：函数是一种特殊的对应f ：ab，其中集合a ，b必须是非空的数集；)(xfy表示 y 是 x 的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数；)(af表示)(xf在 x=a 时的函数值，是常量；而)(xf是 x 的函数，通常是变量。四、布置作业：a组：1、 （课本 p24 习题 1.2 a 组 no ：1）2、 （课本 p24 习题 1

11、.2 a 组 no ：2）3、 （课本 p24 习题 1.2 a 组 no ：3）4、 （课本 p24 习题 1.2 a 组 no ：4）5、 （课本 p24 习题 1.2 a 组 no ：5）6、 （课本 p24 习题 1.2 a 组 no ：6）b组：1、 （课本 p24 习题 1.2 b 组 no ：1）2、(tb0305316) 已知二次函数y= -x2+4x+5 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - -（1） 当 xr 时，求函数的值域。（2） 当 x0,3 时，求函数的值域。（3） 当 x-1,1 时，求函数的值域。（答： (1) (-9