初中数学——方程思想解题实例

1、方程思想解题实例 一、 知识梳理方程思想是指从分析问题的数量关系入手，适当设定 未知数，把所研究的数学问题中已知量 和未知量之间的数量关系，转化为方程 或方程组的数学模型，从而使问题得到 解决的思维方法 方程思想的独特优势是使问题简单化，方便解题，我们在初中阶段陆续学习了一元一次方程，二元一次方程（组），分式方程，一元二次方程，感受到了方程思想在解决实际问题中的魅力。同样，方程思想在几何问题及函数问题中仍然有相当广泛的应用，我们会经常利用到这些方程、方程组作为解题的工具 方程思想的本质是用设未知数用未知量表示已知量的方法，通过分析题中的等量关系，利用所学定理、性质等寻找出等量关系。本专题主要从

2、几何中的方程思想及函数中的方程思想展开讨论。二、课堂案例讲练几何中的方程思想在几何中建立等量关系的常用方法有利用勾股定理建立等量关系；利用图形中的线段相等建立等量关系；利用图形中的相似三角形对应边成比例建立等量关系。利用三角形外角定理及三角形内角和建立等式（一）利用勾股定理建立等量关系例1如图所示，折叠长方形（四个角都是直角）的一边ad使点d落在bc边的点f处，已知ab=dc=8cm，ad=bc=10cm，求ec的长解析：想求得ec长，利用勾股定理计算，需求得fc长，那么就需求出bf的长，利用勾股定理即可求得bf长解：设ec的长为xcm，de=（8-x）cm ade折叠后的图形是afe，ad=

3、af，d=afe，de=ef ad=bc=10cm，af=ad=10cm 又ab=8cm，在rtabf中，根据勾股定理，得ab2+bf2=af282+bf2=102bf=6cm fc=bc-bf=10-6=4cm 在rtefc中，根据勾股定理，得：fc2+ec2=ef242+x2=（8-x）2，即16+x2=64-16x+x2，化简，得16x=48 x=3故ec的长为3cm 前思后想：翻折中较复杂的计算，需找到翻折后相应的直角三角形，利用勾股定理求解所需线段，另本题也可以利用三角形相似，及线段相等建立等量关系来解决.课堂训练：1. 有两张相同的矩形纸片，边长分别为2和8，若将两张纸片交叉重叠，

4、则得到重叠部分面积最小是 _4，最大的是 _.2.动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形efgh（见方案一），小明同学沿矩形的对角线ac折出cae=cad，acf=acb的方法得到菱形aecf（见方案二）（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？（二）利用三角形相似的性质建立等量关系例1：有一块两直角边长分别为3cm和4cm的直角三角形铁皮，要利用它来裁剪一个正方形，有两种方法：一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上，另两个顶点在两条直角边上，如图（1）；另一

5、种是一组邻边在直角三角形的两直角边上，另一个顶点在斜边上，如图（2）两种情形下正方形的面积哪个大？解析：（1）利用三角形的面积关系求出ab边上的高，再利用相似三角形的性质求出正方形的边长；（2）设出正方形的边长，再利用相似三角形的性质求出正方形的边长前思后想：（1）利用面积法求出直角三角形斜边上的高是解答此题的关键；（2）也可根据adeacb或bfebca来解答课堂训练：1. 如图，铁道口的栏杆ab的短臂oa=1.25m，长臂ob=16.5m，当短臂端点a下降0.85m时，长臂端点b升高多少？ 下面是小明的解题过程： “如图，连接aa，bb，因为ao=ao，bo=bo，所以又1=2，所以aao

6、bbo，有，因为ao=1.25，bo=16.5，aa=0.85，所以，解得bb=11.22，即长臂端点b升高了11.22m”你认为小明的解题过程正确吗？如果不正确，请写出你的答案 2如图，在矩形fghn中，点f、g在边bc上，点n、h分别在边ab、ac上，且adbc，垂足为d，ad交nh于点e，ad=8cm，bc=24cm，nf：nh=1：2，求此矩形的面积3. 如图3，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒adcbmn图3（1）求的长（2）试探究：为何值时，为等腰三角形（三）利用线段相等建立等量

7、关系例1. 如图，等腰梯形abcd中，adbc，ab=cd，ad=10cm，bc=30cm，动点p从点a开始沿ad边向点d以每秒1cm的速度运动，同时动点q从点c开始沿cb边向点b以每秒3cm的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（1）t为何值时，四边形abqp是平行四边形？（2）四边形abqp能成为等腰梯形吗？如果能，求出t的值；如果不能，请说明理由解析：（1）当ap=bq时，四边形abqp是平行四边形；（2）若四边形abqp能成为等腰梯形，则一定要满足pd=cq.解：（1）当ap=bq时，四边形abqp是平行四边形，而ap=t×1=t；bq=bc

8、-cq=30-t×3=30-3tt=30-3t解之得：t=7.5 （2）四边形abqp能成为等腰梯形四边形abcd为等腰梯形ab=cd，b=c.若四边形abqp是等腰梯形则ab=pq，b=pqb,cd=pq，c=pqb cdpq四边形pqcd为平行四边形 pd=cq .而pd=ad-ap=10-t×1=10-t；cq=t×3=3t,则10-t=3t,解得t=2.5前思后想：做此类运动题时要先在图上画出符合题意的大致图象，然后设出未知量，根据题意寻找等量关系，第（2）问可这样思考：先逆向假设四边形abqp能成为等腰梯形，则pd=cq，建立相关的等式，若能解出符合题意

9、的值，则存在，然后再顺向写出过程课堂训练：1. 如图，在直角梯形abcd中，adbc，c90°，bc16，dc12，ad21。动点p从点d出发，沿射线da的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点q从点c出发，在线段cb上以每秒1个单位长的速度向点b运动，点p，q分别从点d，c同时出发，当点q运动到点b时，点p随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。当t为何值时，以b，p，q三点为顶点的三角形是等腰三角形？qadcpb2. 如图，直角梯形abcd中，adbc，abc90°，已知adab3，bc4，动点p从b点出发，沿线段bc向点c作匀速运动；动点q从点d 出发，沿线段da向点a

10、作匀速运动过q点垂直于ad的射线交ac于点m，交bc于点np、q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度当q点运动到a点，p、q两点同时停止运动设点q运动的时间为t秒(1)求nc、pn的长(用t的代数式表示)；(2)当t为何值时，四边形pcdq构成平行四边形？(3) 当t为何值时，四边形pcdq构成等腰梯形？；(4) 是否存在某一时刻，使射线qn恰好将梯形abcd的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由（四）设未知量求角度例1：已知：如图所示，在abc中，ab=ac，d为ac上一点，且bd=bc，e为ab上一点，且ad=de=eb，那么a的度数是_度.45解析：设ebd

11、=x，根据等边对等角得出a=2x，c=abc=3x，根据三角形内角和定理得出2x+3x+3x=180°，所以a=45°前思后想：等腰三角形中求某个角的度数时，通常都可以根据“三角形内角和、三角形外角的性质、等腰三角形的性质”，找出相应的等量关系，通过列方程解决此类问题。课堂练习：1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为_.2.等腰三角形两角的度数之比为4:1，其内角的度数分别为_.3. 如图，在abc中，ab=ac，点d在ac上，且bd=bc=ad，则a=_4. 如图，点o是等边abc内一点，连接oa、ob、oc，将boc绕点c按顺时针方向旋

12、转60°得adc，连接od（1）求证：cod是等边三角形；（2）若oa=3，oc=4，ob=5，试判断aod的形状，并说明理由（3）若aob=110°，boc=，请探究：当为多少度时，aod是等腰三角形？函数中的方程思想函数中的方程思想主要体现在：1.求两个函数图象的交点 问题; 2.已知y的值，求相应x的值。 例1：_.解析：根据题意分别求出a，b，c，d的坐标，再用sacd-sbcd即可求出abc的面积 前思后想：本题也可将abc的面积分成两个三角形面积的和来求解例2 (2012南京)若反比例函数y= 与一次函数y=x+2的图象没有交点，则k的值可以是（ ） a.-2

13、b.-1 c.1 d.2 解析：函数图象交点问题都可以通过联立方程组（也就是利用两个函数值相等）来解决，此题联立方程后会得到一个一元二次方程，没有交点就意味着此方程无解，也就是判别式小于0.解：令 =x+2,得x2+2x-k=0,由两图象没有交点，可得此方程无解，即b2-4ac=4+4k<0,解得k<-1,故选a 点评：用方程思想解函数图象交点问题，适应面更广，方法更简单，只需令y1=y2，在所形成的一元二次方程中，若求两函数图象交点，解出方程即可，若图象无交点，则判别式<0，若图象有交点，则判别式 0，若图象有两个不同的交点，则判别式0课堂练习：1. (2011黄石)若一次

14、函数y=kx+1的图象与反比例函数y= 的图象没有公共点，则实数k的取值范围是_. 2.一次函数图象y=kx+2与抛物线y=2x2+3x+1的交点个数为_. 3已知，如图，一次函数y=2x+1与反比例函数y=交于a,b两点，其中点a的横坐标为1.（1）求反比例函数y=的解析式；（2）过点a作y轴的平行线，过点b作x轴的平行线，两平行线相交于点c，求abc的面积.课后作业检测1.在abc中，a-c=35°，b-a=5°，求b=_.2.在abc中，ab=ac，bd平分abc交ac边于点d，bdc=75°，则a的度数是_.3.如图，a=15°，ab=bc=cd

15、=de=ef，则def=_.4.如图，已知第一象限内的图象是反比例函数y=1x图象的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数y=-2x图象的一个分支，在x轴上方有一条平行于x轴的直线l与它们分别交于点a、b，过点a、b作x轴的垂线，垂足分别为c、d.若四边形acdb的周长为8且ab<ac，则点a的坐标是 . （第4题） （图） （图）5.如图，在梯形abcd中，adbc，a=60°，动点p从a点出发，以1cm/s的速度沿着abcd的方向不停移动，直到点p到达点d后才停止.已知pad的面积s（单位：cm2）与点p移动的时间t（单位：s）的函数关系式如图所示，则点p从开始移动到停止移

16、动一共用了 秒（结果保留根号）.6.如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点（1）如果点p在线段bc上以3厘米/秒的速度由b点向c点运动，同时，点q在线段ca上由c点向a点运动（1）若点q的运动速度与点p的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；若点q的运动速度与点p的运动速度不相等，当点q的运动速度为多少时，能够使与全等？aqcdbp（2）若点q以中的运动速度从点c出发，点p以原来的运动速度从点b同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点p与点q第一次在的哪条边上相遇？7.（2012江宁二模）数学实验室：小明取出一张矩形纸片abcd，ad=bc=5，ab=cd=25他先在矩形abc

17、d的边ab上取一点m，接着在cd上取一点n，然后将纸片沿mn折叠，使mb与dn交于点k，得到mnk（如图）（1）试判断mnk的形状，并说明理由（2）如何折叠能够使mnk的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值 8全国第十届数学教育方法论暨mm课题实施20周年纪念活动于9月27在无锡市一中拉开帷幕与会期间全国数十位老师上了精彩纷呈的展示课，其中青岛一位老师的“折纸”课，武汉的裴光亚教授评价是：“栩栩如生，五彩缤纷”课堂上老师提出这样一个问题：你能用手中的矩形纸片尽可能大的折出一个菱形吗？有两位同学很快折出了各自不同的菱形，如下图：（1）如果该矩形纸片的长为4，宽为3，则图1、图2

18、两图中的菱形面积分别为_.6；9（2）这时老师说，这两位同学折出的菱形都不是最大的，聪明的你能够想出最大的菱形应该怎样折出来吗？如图3所示：在矩形abcd中，设ab=3，ad=4，请你在图中画出面积最大的菱形的示意图，标注上适当的字母，并求出这个菱形的面积（3）借题发挥：如图4，在矩形abcd中，ab=2，ad=3，若折叠该矩形，使得点d与ab边的中点e重合，折痕交ad于点f，交bc于点g，边dc折叠后与bc交于点m试求ebm的面积9.如图，在等腰梯形abcd中，adbc，ab=cd=10，ad=6，bc=18，m是cd的中点，p是bc边上的一动点（p与b，c不重合），连接pm并延长交ad的延

19、长线于q（1）当p在b，c之间运动到什么位置时，四边形abpq是平行四边形？请说明理由（2）当四边形abpq是直角梯形时，点p与c距离是多少？10.如图，在直角梯形abcd中，a=90°，abcd，ab=1，cd=6 。（1）若ad=5，在线段ad上是否存在点p，使得以点p、a、b为顶点的三角形和以点p、c、d为顶点的三角形相似？若存在，这样的点p有几个？它们到点a的距离是多少？若不存在，请说明理由。 （2）若设ad=m，在线段ad上存在唯一的一个点p，使得以点p、a、b为顶点的三角形和以点p、c、d为顶点的三角形相似？求m的值。 11.如图，已知直线与轴交于点a，与轴交于点d，抛物

20、线与直线交于a、e两点，与轴交于b、c两点，且b点坐标为 (1，0)。求该抛物线的解析式；动点p在x轴上移动，当pae是直角三角形时，求点p的坐标p。12.（2012扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过a（-1，0）、b（3，0）、c（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点p是直线l上的一个动点，当pac的周长最小时，求点p的坐标；（3）在直线l上是否存在点m，使mac为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点m的坐标；若不存在，请说明理由 答案：（一）利用勾股定理建立等量关系1.4， 2.（1）略 （2）方案一：30cm2 方案二：35.21 cm

21、2 , 方案二小明同学所折的菱形面积较大。（二）利用三角形相似的性质建立等量关系1. 不正确作acab，bdab，所以aco=bdo=90°，又1=2，所以ocaodb所以因为ao=ao=1.25，bo=bo=16.5，ac=0.85，所以，解得bd=11.22，即长臂端点b升高了11.22m 2.46.08 cm2 3.（1）bc=10 （2）分三种情况讨论：当时，如图1，由得，当时，如图2，过作于adcbmn图1图2adcbmnhe由等腰三角形三线合一性质得 即当时，如图3，过作于点.图3adcbhnmf即综上所述，当、或时，为等腰三角形。（三）利用线段相等建立等量关系1. 分三

22、种情况：若pqbq。在rtpmq中，由pq2bq2 得，解得t；abmcdpq图2若bpbq。在rtpmb中，。由bp2bq2 得： 即。由于7040无解，pbbq若pbpq。由pb2pq2，得整理，得。解得（不合题意，舍去）综合上面的讨论可知：当t秒时，以b、p、q三点为顶点的三角形是等腰三角形。2.（1）nc=t+1,pn=3-2t，（2）t=2,(3）t=1, （4）不能，原因略（四）设未知量求角度1. 60°或120° 2. 120°,30°,30°或 20°,80°,80° 3. 36° 4.（

23、1）略 （2）略（3）125°或110°或140°函数中的方程思想1. k-2.2个 3. (1)y= (2) 课后作业检测1.75° 2.40° 3.60° 4. 13，3 5. 4+23 6. （1）略 cm/s（2）s7.（1）略 （2）分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点b与点d重合，此时点k也与点d重合设mk=md=x，则am=25-x，在rtdnm中，由勾股定理，得,解得，即md=nd=13smnk=32.5 情况二：将矩形纸片沿对角线ac对折，此时折痕为ac设mk=ak= ck=x，则dk=25-x，同理可得即mk=nk=13 smnk=32.58. 解：（1）第一个菱形的面积=3×4÷2=6，第二个菱形也是正方形，边长为3，则其