四圆周角定理与圆的切线学案

1、精品资源2016-2017学年人教B版选修四 圆周角定理与圆的切线 学案考情分析考查圆的切线定理和性质定理的应用.基础知识1 .圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角.(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半.(3)圆周角定理的推论同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相塞半圆(或直径)所对的圆周角是90。； 90。的圆周角所对的弦 是直径.2 .圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离 d与圆的半径r的关系相交两个dv r相切一个d= r相离无d> r(2)切线的性质及判定切线的性质定理：圆的切线垂直于经

2、过切点的半径.切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.(3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相笔3 .弦切角(1)弦切角.：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角.(2)弦切角定理及推论定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半.推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相筵题型一 圆周角的计算与证 明【例1】如图，AB为。的直径，弦 AG BD交于点P,若AB= 3, CD= 1,则sin ZAPEB=C解析 连接AD BC因为AB是圆O的直径，所以/ AD年/AC比90°又/ ACD= / ABD所以在 ACD中，由正弦定理得:

3、CD AD ADsin / DAC sin / ACD sin / ABDTAB;in Z ABDCsin / ABD =A*，又 CD= 1,所以 sin /DAC= sin / DAe(，所以 cos / DA田272又 sin / APB= sin (90DAP= cos / DAP=3.2.【变式1】如图，点A B, C是圆O上的点，且 AB= 4, Z ACB= 30° ,则圆 O的面积等于解析 连接AO OB因为/ AC生30° ,所以/ AOa 60° , AO郎等边三角形，故圆 O的 半径r = OA= AB= 4,圆O的面积S=兀产=16兀.答案

4、 16兀题型二弦切角定理及推论的应用【例2】如图，梯形 ABC呐接于。Q AD/ BC过B引。O的切线分别交 DA CA的延长线于E、F.已知 BC= 8, CD= 5, AF= 6,则 EF的长为解析BE切O O于 B, / ABE= / ACB又 AD/ BC / EAB= / ABCEAH ABCBE ABAT BC.又 AE BCEF BE AB EFAF= AC BCT AF又 AD/ BCAB= CD,.AB= CDCD EFbcT Ak5 EF =.8 6 '30.EF=万154答案15【变式2】如图，已知圆上的弧 AC= BD,过C点的圆的切线与 BA的延长线交于 E点

5、，证明:(1) / ACE= / BCD(2) BC= BEX CD证明 (i)因为NC = "BD,所以/ BCD= / ABC又因为EC与圆相切于点 C,故/ ACE= /ABC所以/ AC号/ BCD(2)因为/ ECB= / CDB / EBC= / BCD一.BC CD所以 BD» ECB故余法BE BC即 BC= BEX CD巩固提高1 .如图所示， ABC中，/ C= 90° , AB= 10, AC= 6,以AC为直径的圆与斜边交于点 P, 则BP长为.解析 连接CP由推论2知/CPA= 90° ,即CPLAB,由射影定理知， AC=AP

6、- AB AP= 3.6 ,BP= AB-AP= 6.4.答案 6.42 .如图所示，AB AC是。O的两条切线，切点分别为 B C, D是优弧BC上的点，已知/BAC= 80 , 那么/ BDC=欢迎下载解析 连接 OB OC 则 OBLAB, OCLAG /. / BOG= 180° -Z BAG= 100 , 1./ BDG= -/ BOG= 50 .答案 50°ZBGD= 30° ,则圆 O的面积为_解析 连接OG, OB依题意得，/=OG因此 BOG1等边三角形，OB= OG= BG= 1,即圆O的半径为 所以圆O的面积为兀xi2=兀.答案 兀4.如图，

7、直角三角形 ABG43, /则/G的大小为.解析 连接BD则有/ ADB= 90°ABG43, / A= 60° ,于是有/答案 30°5.如图，MN圆O的直径，M冲(GOB= 2ZGAB= 2ZBGD= 60 ,又 OB 1)1,B= 90° , AB= 4,以BG为直径白圆交 AG边于点D, AD= 2,.在 RtABD中，AB= 4, AD= 2,所以/ A= 60 ;在 Rt G= 30° .J延长线与圆O上过点P的切线PA相交十3.如图所示，GD是圆O的切线，切点为 G点A B在圆O上，BC= 1,点A,若/ M= 30。，AP= 2y3,则圆O的直径为 解析