进出口总值的时间序列分析

1、我国进出口总值的时间序列分析摘要：进出口总值是我国国民经济整体中不可缺少的一部分，对我国国民经济有着十分重要的作用。2012年我国外贸进出口总值38667.6亿美元，同比增长6.2%；其中出口20489.3亿美元，同比增长7.9%；进口18178.3亿美元，同比增长4.3%；贸易顺差2311亿美元，基本确定在货物进出口总值上超越美国，成为全球最大货物贸易国。因此研究我国进出口总值的时间序列性质，对未来我国进出口总值进行合理的预测具有十分重要的意义。本文以1998-2013年我国进出口总值即货物进出口总额即实际进出我国国境的货物总金额月度数据为研究对象。通过建立带有的ARMA乘积季节模型模型，对

2、我国进出口总值月度的变动趋势进行监控和预测。关键字：白噪声 自相关函数 偏自相关函数 单位根检验 随机性检验 AIC定阶 ARMA模型 动态预测20一、 研究的目的及意义进出口总值指实际进出我国国境的货物总金额。包括对外贸易实际进出口货物，来料加工装配进出口货物，国家间、联合国及国际组织无偿援助物资和赠送品，华侨、港澳台同胞和外籍华人捐赠品，租赁期满归承租人所有的租赁货物，进料加工进出口货物，边境地方贸易及边境地区小额贸易进出口货物(边民互市贸易除外)，中外合资企业、中外合作经营企业、外商独资经营企业进出口货物和公用物品，到、离岸价格在规定限额以上的进出口货样和广告品(无商业价值、无使用价值和

3、免费提供出口的除外)，从保税仓库提取在中国境内销售的进口货物，以及其他进出口货物。进出口总额用以观察一个国家在对外贸易方面的总规模。我国规定出口货物按离岸价格统计，进口货物按到岸价格统计。随着改革开放的深入和我国经济的发展，对外贸易在我国国民经济的地位日益重要。2012年我国外贸进出口总值38667.6亿美元，同比增长6.2%；其中出口20489.3亿美元，同比增长7.9%；进口18178.3亿美元，同比增长4.3%；贸易顺差2311亿美元，基本确定在货物进出口总值上超越美国，成为全球最大货物贸易国。进出口贸易是我国国名经济的重要组成部分，具有节约生产劳动、提高生产率、吸收先进技术、提高经济效

4、益的有力途径，在国民经济中占有举足轻重的作用。因此研究我国进出口总值的时间序列性质，对未来我国进出口总值进行合理的预测具有十分重要的意义。本文以1998-2013年我国进出口总值即货物进出口总额即实际进出我国国境的货物总金额月度数据为研究对象。通过建立带有的ARMA乘积季节模型模型，对我国进出口总值月度的变动趋势进行监控和预测。二、研究方法与求解2.1 时间序列的特性分析2.1.1、随机性如果一个时间序列是纯随机序列，意味着序列没有任何规律性，序列诸项之间不存在相关，即序列是白噪声序列，其自相关系数应该与0没有显著差异。可以利用置信区间理论进行判定。测定序列的随机性，多用于模型残差以及评价模型

5、的优劣。2.1.2、平稳性若时间序列满足：1、对任意时间t其均值恒为常数；2、对任意时间t和s,其自相关系数只与时间间隔t-s有关与t、s无关。那么，这个时间序列就称为平稳时间序列。序列的平稳性也可以利用置信区间理论进行判定.需要注意的是，在B-J方法中，只有平稳时间序列才能直接建立ARMA模型，否则必须经过适当处理使序列满足平稳性要求在实际中，常见的时间序列多具有某种趋势，但很多序列通过差分可以平稳 判断时间序列的趋势是否消除，只需考察经过差分后序列的自相关系数。2.1.3、季节性时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，序列重复出现某种特性。比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额等时间序列

6、都具有明显的季节变化。一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为12个月； 季度资料的时间序列，季节周期为4个季. 判断时间序列季节性的标准为：月度数据，考察时的自相关系数是否与0有显著差异；考察时的自相关是否与0有显著差异; 若自相关系数与0无显著不同，说明各年中同一月（季）不相关，序列不存在季节性，否则存在季节性. 实际问题中，常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况，这时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序列的季节性，否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至判断错误. 包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型，需进行季节差分消除序列的季节性，差分步长应与季节周期一致。2.2、ARMA模型的

7、识别在需要对一个时间序列建模时，首先需要判断模型是否是平稳时间序列，只有平稳时间序列才能直接建立带有季节项的ARIMA模型，否则必须经过适当处理使序列满足平稳性要求，然后应运用序列的自相关与偏自相关对序列适合的模型类型进行识别，确定适宜的阶数以及消除季节趋势性后的平稳序列。2.2.1、判断时间序列的平稳性 如果时间序列的满足下列条件，则称为平稳时间序列： 检验平稳时间序列的单位根检验：单位根检验是指检验序列中是否存在单位根，若存在单位根该时间序列就是非平稳时间序列了。ADF单位根检验：当随机扰动项存在自相关时，为了保证单位根检验的有效性， 通常采用Augmented Dickey-Fuller

8、 Test来检验是否存在单位根，即是否是平稳时间序列，简称为ADF检验。假设基本模型为如下三种类型：模型一：模型二：模型三：其中随机扰动项，它可以是一个一般的平稳过程。在进行ADF检验时，比较t统计量值与ADF检验临界值，就可在某个显著性水平上拒绝或接受原假设。根据观察数据，用OLS法估计一阶自回归模型，得到回归系数的OLS估计：。提出假设： 。检验用统计量为常规t统计量为： 计算在原假设成立的条件下t统计量值，查DF检验临界值表得临界值，然后将t统计量值与DF检验临界值比较：若t统计量值小于ADF检验临界值，则拒绝原假设，说明序列不存在单位根；若t统计量值大于或等于ADF检验临界值，则接受原

9、假设，说明序列存在单位根。2.2.2、模型的阶数的确定自相关函数与偏自相关函数是识别ARMA模型的最主要工具，一般主要利用相关分析法确定模型的阶数.具体如下表：ARMA（p,q）平稳时间序列的主要特征列表如下：模型自相关系数拖尾，指数衰减和(或)正弦衰截尾（q步）拖尾，指数衰减和(或)正弦衰减偏自相关系数截尾（p步）拖尾，指数衰减和(或)正弦衰拖尾，指数衰减和(或)正弦衰减2.2.3、ARMA模型AIC定阶在实际问题中阶数p未知，或者根本不存在的时候，要思考p的估计或选择问题。在实际应用中，AIC准则是常用的定阶方法.假定已有阶数p的上界。在假设ARMA模型的阶数是k时，可以计算出相应的ARM

10、A模型的白噪声方差的估计。引入AIC函数.AIC(k)的最小值点(如果不唯一，应取小的)称为ARMA(p)模型的AIC定阶.可以证明AIC定阶并不是相合的.也就是说，当数据来自ARMA(p)模型时，并不依概率收敛到真正的阶数p。 2.3、ARMA(p,q) 模型的参数矩估计在阶数给定的情形下模型参数的估计有三种基本方法：矩估计法、逆函数估计法和最小二乘估计法，这里仅介绍矩估计法白噪声序列的方差的矩估计为MA(q) 模型的参数矩估计ARMA(p,q) 模型的参数矩估计分三步：1、 求的参数估计：2、令，则的自协方差函数的矩估计为3、把近似看作MA（q）,对MA（q）的参数进行估计即可。2.3模型

11、的检验对于给定的样本数据，我们通过相关分析法确定了模型的类型和阶数，用矩估计法确定了模型中的参数，从而建立了一个ARMA模型，来拟合真正的随机序列。但这种拟合的优劣程度如何，主要应通过实际应用效果来检验，也可通过数学方法来检验。下面介绍模型拟合的残量自相关检验，即白噪声检验。白噪声正态分布检验：对于ARMA模型，应逐步由ARMA（1,1），ARMA（2，1），ARMA（1，2），ARMA（2，2）,依次求出参数估计。对AR(p),MA(q)模型，先由的截尾性初步定阶，再求参数估计。一般地，对ARMA（p,q）模型：取初值和（可取它们等于0，因为它们均值为0），可递推得到残量估计。现作假设检验：

12、是来自白噪声的样本 令，其中k取左右。当成立，服从自由度为k的分布。 对给定的显著性水平，若，则拒绝，即模型与原随机序列之间拟合得不好，需重新考虑建模；若，则认为模型与原随机序列之间拟合得较好，模型检验被通过。2.4模型的预测若模型经检验是合适的，也符合实际意义，可用作短期预测。B-J方法采用L步预测，即根据已知n个时刻的序列观测值 ，对未来的 个时刻的序列值做出估计， 线性最小方差预测是常用的一种方法. 其主要思想是使预测误差的方差达到最小。若表示用模型做的L步平稳线性最小方差预测，那么，预测误差并使达到最小。2.4.1、AR(p) 模型的预测模型 AR(p)的L步预测值为，其中。2.4.2

13、MA(q) 模型的预测 对模型MA(q)，当时，由于可见所有白噪声的时刻都大于故与历史取值无关，从而。当时，各步预测值可写成矩阵形式：递推时，初值均取为0。2.5、时间序列建模的基本步骤1、时间序列的预处理，判断该序列是否为乎稳非纯随机序列。若为非平稳序烈，对该序列进行处理使其符合ARMA模型建模的条件即处理后的序列是平稳非白噪声序列；时间序列为非平稳序列，具有向下或向上的趋势，建模之前需要进行序列平稳化处理，即零均值化、平稳化处理。2、计算出观察值序列的样本自相关系数(ACF)和样本偏自相关系数(PAcF)的值；根据样本自相关系数和偏自相关系数，选适当的ARMA模型进行拟合；（开始，逐渐增加

14、模型阶数，拟合ARMA (n,n-1)模型，即一阶、一阶增加模型阶数，模型参数采用非线性最小二乘法估计，具体算法采用最速下降法。选择残差序列最小方差对应的模型作为初选模型。估计模型中的未知参数的；3、检验模型的有效性。如果拟合模型通不过检验，转向步骤3，重新选择模型再拟合；4、模型优化。求最优模型，系统意义上的最优模型不仅是一个适应模型，而且是一个经济的模型。因此还需要检验模型是否包含小参数，若有，可用F检验判断是否可以删去，拟合较低阶模型，进而得到系统意义上的最优模型。如果拟合模型通过检验，仍然转向步骤2，充分考虑各种可能，建立多个拟合模型，从所有通过检验的模型中选择最优模型；5、 利用拟合

15、的模型，预测序列的将来走势。三、研究数据与计算结果查阅国家统计局网站下表为1998-2013年中国进出口总值当期值（亿美元）数据由图表一所示。 用EVIEWS7.2对1998-2013我国进出口总值当期值月度绘制时间序列趋势如图1：所示进出口总值当期值序列Y存在明显的指数增长趋势和季节趋势，序列为非稳定的时间序列。3.1进出口总值时间序列的分解3.1.1分段趋势数据图一可以看出，数据随着月份的变化有明显的周期 。从年平均可以看出，数据有缓慢上升的趋势。把趋势项定义为年平均值。则利用原始数据减去趋势相项的估计得到的数据基本只含有季节项和随机项。可以用第k月的平均值作为季节项 的估计仅计算得到：1

16、 2 3 4 5 6 193.289-362.579 -41.2613-17.422 -39.975 -1.85427 8 9 10 11 12 77.02588.7834152.2967 21.6993 136.799202.002这时 最后利用公式得到随机项的估计：3.1.2回归直线趋势由于数据有缓慢上升趋势，可以试用回归直线表示趋势项。则：趋势项的估计值是回归直线： 利用原始数据减去趋势相项的估计得到的数据基本只含有季节项和随机项。可以用第k月的平均值作为季节项 的估计仅计算得到：1 2 3 4 5 6 -91.7728-308.067824.409829.5289-11.8044 7.

17、536878910111267.6365 60.6148 105.3478-44.029752.2904 106.4872 这时，最后利用公式得到随机项的估计：3.1.3二次曲线趋势 此外还可以用二次曲线来拟合图1中的趋势项，趋势项的估计值是二次曲线： 利用原始数据减去趋势相项的估计得到的数据基本只含有季节项和随机项。可以用第k月的平均值作为季节项 的估计仅计算得到：123456-128.8756339.556562.117056.454378.394466.33907891011127.6135-7.4089-51.508486.3186-4.284020738.3964 这时，最后利用公式

18、得到随机项的估计：3.2、时间序列的平稳性处理及相关性分析3.2.1序列的平稳性处理为了实现变量稳定化，现对变量进行对数处理，将时间序列的指数趋势转化为对数化处理记为，将时间序列的指数趋势转化为线性趋势，然后进行一阶12步差分，记为，从图二很难看出一阶季节差分后的序列是否平稳。进一步使用EVIEWS7.2软件对序列ADF检验依次选择：Quick-Series Statistics-unit root test 从而依次选择对应选项其中（C,T,K）分别表示单位根检验方程包括常数项、时间趋势和滞后的阶数，0表示不包括C或者T,加入滞后项是为了使残差项为白澡声。表二：序列单位根ADF检验结果检验方

19、法检验型式ADF值1%临界值5%临界值10%临界值Prob.J(C,T,0)-2.5143-4.0104-3.4353-3.1416490.321LOGJ(C,T,0)-2.1923-4.0104-3.4353-3.1416490.4905DLOGJ(C,0,0)-22.413-3.4672-2.8776-2.575430 从表二可知： 序列的ADF检验统计量-2.5143大于1%，5%，10%显著水平的临界值，说明序列是非平稳的。的ADF 检验统计量-2.5143大于1%，5%，10%显著水平的临界值，说明序列是也是非平稳的。而序列的ADF检验统计量的为-22.413在置信水平位1%时通过A

20、DF检验，因此序列是平稳时间序列。3.2.2、序列的相关性分析平稳的非白噪声序列才能建立ARMA模型，因此要对平稳时间序列进行纯随机检验，用EVIEWS7.2在Quick菜单下选择自相关图，序列原列进行分析如图3所示；从图3，可以看出自相关系数始终在零周围波动，判定该序列为平稳时间序列2.看Q统计量的P值：该统计量的原假设和备择假设为： 如图3知，该P值都几乎为0的显著性水平,所以拒绝原假设,即序列是非纯随机序列,即为非白噪声序列。 图3：DLOGY的序列自相关与偏自相关图3.3 时间序列模型的建立3.3.1、我国进出口总值的ARMA模型的AIC定阶及检验ARMA模型的识别与定阶可通过对样本的

21、自相关函数(ACF)和偏相关函数(PCF)的观察获得, 序列的ACF和PCF函数如图3。图3中虚线之间的区域为自相关或偏相关中正、负2倍于估计标准差所夹成的,即95%置信带。为了对模型进行初步定阶,现选择自相关函数与偏相关函数显著不为零的阶数图3中可以看出自相关、偏自相关系数1阶显著，同时在12阶是也显著因此在趋势平稳中又包含了周期性因素，因此在这里采用乘积季节模型。自相关函数在滞后阶数1较大偏相关函数1,2,故选定p、q值的范围均为1。季节模型1阶。AIC准则进行定阶,并从中选择最优模型。AIC准则可以在模型极大似然的基础上,对模型的阶数和相应参数同时给出一种最佳估计,但它仍需要根据平稳序列

22、的自相关和偏自相关函数的特性,初选一些可供参考的阶数,然后计算不同阶数的AIC值,选择使AIC达到最小的一组阶数作为理想阶数。 经过计算,ARMA模型各组阶数的AIC值如表4所示,现根据AIC值最小化原则,初步确定模型为,之后对建立的模型进行参数显著性检验和残差随机性检验。如果通过检验,则此模型可以看为最优模型;如果不能通过,则选取次小的AIC值并进行相关的统计检验,依此类推,直至选到合适的模型为止。表三：季节模型ARMA(p,q)×(0,m,n)12模型阶数的确定AIC值(1,0)×(0,0,1)12(1,0)*(0,0,0)(0,0)*(0,0,1)12-2.68054

23、-1.991711-2.46676经过计算，ARMA模型通过参数显著性检验各阶数的AIC值如表三所示。现根据AIC值最小化原则，初步确定模型为。 模型参数估计有模型参数估计的方法有矩估计法、极大似然法、非线性最小二乘法等。矩估计法比较简单但精度较低;极大似然法比较精确,但是要求对样本的分布函数已知;非线性最小二乘法过程包含运筹学中的迭代搜索技术,具有较高的准确度。所以这里选用了非线性最小二乘法(NLS法)来估计参数,使用经济计量软件Eviews7.2对模型参数进行估计，操作如下Quick-Estimate Equation输入D(LOG(J),1，12) AR(1) SMA(12)后得：对应模

24、型的表达式为： t统计量的值为：-606857，-62.7406，P值为0，说明模型的参数估计全部通过t检验。因此整个模型比较精简模型比较优。VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.  AR(1)-0.4557920.068174-6.6857430.0000MA(12)-0.9256980.014753-62.747060.0000R-squared0.618082    Mean dependent var0.000734Adjusted R-squared0.615912

25、0;   S.D. dependent var0.101635S.E. of regression0.062988    Akaike info criterion-2.680574Sum squared resid0.698277    Schwarz criterion-2.644824Log likelihood240.5711    Hannan-Quinn criter.-2.666076Durbin-Watson stat2.0617

26、41表4 方程估计结果以上已对模型参数进行了显著性检验,各参数均通过检验,现对模型残差项是否为白噪声过程进行检验,如果通过检验,则可以进行预测,否则必须对选用模型的类型进行重新识别。图5可初步确定残差为白噪声过程，单位更准确确定结果，现对残差进行随机性和单位根检验。图5中残差的ACF和PACF值均位于虚线之间的区域即在自相关或偏相关中正、负2倍于估计标准差所夹成的,即95%置信带内。所有的P值全部大于0.05拒绝原假设，因此该模型的残差为纯随机序列。模型信息提取比较充分。图4 拟合图 下面对所建立的模型进行残差性检验如图5所示： 图5 模型残差的随机性检验t-Statistic &#

27、160;Prob.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-14.55902 0.0000Test critical values:1% level-3.4672055% level-2.87763610% level-2.575430表5 模型残差单位根检验结果现对模型进行单位根检验，如表5可知，模型残差的ADF值小于1%,5%,10%显著水平的临界值，故而可确定残差为白噪声过程，模型为最佳预测模型。3.4、ARMA模型的预测用Eviews7.2进行对的值进行预测，预测值存放在，中，操作如下：1、拓展样本期在命令栏输入 expand 1998:

28、01 2015：12。2、在方程估计窗口点击Forecast，预测方式有两种一种是Dynamic forecast和Static forecast,前者是根据所选择的的一定估计区间，进行多步向前预测；后者是只滚动向前一步预测，即每预测一次，用真实值代替预测值，加入到估计区间，在进一步向前预测。这里首先选择Dynamic foremast，点击ok预测如图6，图中实线代表的是的预测值，两条虚线则提供了2倍标准差的置信区间。可以看到，正如我们在前面所讲的，随着预测时间的增长，预测值很快趋向于序列的均值。图6的右边列出的是评价预测的一些标准，如平均预测误差平方和的平方根（RMSE），Theil不相等

29、系数及其分解。可以看到，Theil不相等系数为0.034，表明模型的预测能力比较理想，协方差系数为0.98表明模型的预测结果较理想。根据（1），对方程进行转换，预测方程的最终结果如下： 现利用（3）式对进出口总值进行预测，结果如表6所示：表6 模型的预测值及其精度时间实际值预测值相对误差绝对值%2013013455.8488 3100.5844 10.2801 2013022635.0901 2878.6836 9.2442 2013033652.0310 3684.3584 0.8852 2013043559.6147 3653.2343 2.6300 2013053451.0727 352

30、1.1945 2.0319 2013063215.0719 3598.7169 11.9327 2013073541.6468 3550.9227 0.2619 2013083526.9787 3492.2734 0.9840 2013093560.6994 3706.6958 4.1002 2013103397.0444 3342.5725 1.6035 2013113706.0869 3595.4095 2.9864 2013123898.4400 3877.2028 0.5448 由表6可知，该模型对能源进出口总值2013年月度数据拟合的相对误差绝对值的平均值为3.95%，而对2013年下半年的拟合相对误差绝对值仅为1.74%，这一结果较为准确，模型具有良好的预测效果。利用此模型对2014年我国进出口总值进行预测，最终结果如表7所示：表7 我国2014年进出口总值预测时间预测值增长率201401 3364.2615 -2.6502 201402 3106.716