线性代数中矩阵的消元法与高等数学中解多元方程的问题联系

1、线性代数中矩阵的消元法与高等数学中解多元方程问题的联系在高等数学屮，解多元方程的过程一般是杂而烦的，大量的未知数 常常使我们眼花缭乱、不知所措，所能做的，就是不断的移项、消元、 加加减减，最后，还不一定能得出答案，得出的答案也不一定正确。在学完矩阵的消元法以后，顿时觉得类似解多元方程的问题用矩阵 来解会简单许多。在这里，我举个例子：= 4例1:解线性方程组：。亠c'（见线性代2乂 + 2乂3= o数课本p17）解：1(2 -1 3 1r (2 -1 3 1)(2 0 2 61厂"10 13g 0 0 9、<1 0 0 9、7=4 2 5 4'2 £ 4

2、 -1 2rl+r30 0 3 -18亠0 0 1-6州0 0 1-6w0 10-1r.-rjl -4/;2 0 3 63 vo 1 -1 5j2 3b i j 5 丿(0 1 -1 5 丿 /i0 10-1 丿y0 1 -6?乂 = 9所以，方程有唯一解乂2 = 1。兀3 = _6用矩阵的消元法解多元线性方程明显比我们从前学习的普通方法 要简单的多。虽然计算不能说变得简单了，但是至少看起來一目了然, 可以减少计算错误的发生，也省去了重复地写大量的未知数，使步骤 变得简单多了。当然这仅仅是线性代数运用在解线性方程中的一个方而，下面，我 再举一个例子:x + 2x9 + 2x3 = 7例2：解线

3、性方程组£ +七f = 4(见线性代数课本p67)ox2 + 3 兀3 = 71 2 2解：d=111二3+0+2-0-1-6二-2,0 13按照三阶行列式的定义，我们可以计算:7 2 21 7 21 2 79 =4 11=-2, d2 =1 41= -2,q =11 4=-47 1 30 7 30 1 7所以，兀严少1宀二牛1，尢产牛3.这里，我们有必要提一下二阶行列式的定义:对方程组进行消元设二元线性方程组anx + ai2x2 =片(1) a2xl + a22x2 =b?(2)'a 22 x (1) - d2 x (2)， 有(q 022 _ %2°21)尢1

4、 = cl22 _ °12 方 2 ' i a 22 12210时,_勺如如筠 兀-a 11 ci =q a ° 类似的，。如一2°21 h°吋，有_ anb2 ba2ao 1122 1221为了便于记忆，引入记号:%a2。12a 2%1°22 如佝,逆拝 ba22 -a2b2可以记为h d】2z?2 “2241«21a2a”工0时，方程组ax +12x2 有«21xj 4- a22x2 =b2唯-解唇牛吒,其中,a b、 a2l b2这样,方程组的解就由系数和常数项表示出来了，这组解我们称之为公式解。其中，我们称如

5、叱22 一如切为二阶行列式。21 。22这是矩阵的消元法在解二元方程中的运用，在二元方程中，利用消 元法去解不免有些繁琐。但是，矩阵的消元法也可引申到解多元方程 屮，这能使解多元方程变得简单的多，在此，就不举相应的例子了。线性代数中矩阵与概率论判定随机变量的独立性问题的联系在概率论中，判定随机变量的独立性通常是采用检验联合分布是否 等于边际分布的乘积，在正态分布的前提下也可以用相关性和独立性 的关系来判断，但对于多维的随机变量这种方法计算比较复杂，这时, 利用特殊矩阵的特殊性质来判断多维正态随机变量的独立性会简单 得多。这里，我们举一个例子：例：x|,x2，x3，x4是相互独立、而且服从方差为

6、，的正态分布的随 机变量，证明：/2(x1,x2,x3,x4) = v2x,+2x3-v2x4 相互独立。证记x =(x19x2,x3,x4)r,z = (zpz2,z3,z4)r ,其中 z1?z2,z3,z4是通过线性变换得到的随机变量,冇轨+护2+討 /ta护2-轨 z宀第+点禺+詛 乙=轨+扫x厂詛则z二ax,其中4 =丄2丄_2丄2i_21疋10、 丿1-21 _- 21-212 o o 丄v2172，易验证ara = e,所以矩阵a为正交矩阵。varz = avarxav = a a2 ea = a2 e,即 cov(z,zj) =<720二，又因为z,.(z = 1,2,3

7、,4)服从正态分布，所以zpz2,z3,z4相互独立。3 o .1.3.111/1(x1,x2,x3,x4) = -x12 + x-x-x；-x,x3-x3x4+-x1x4 =x：x： + x； + x： + x： 土阶+严:+级；+-xix3-j=-x3x4-xlx4+ x； + x； + x：_(丄x +-j=x3-x4)2 = xrx -z4 =xrarax-z：二zzz：2 v2 2z：+z；+z；所以，得到3 99193 o 111fl(xx2,x3,xj=-xx-x-xl-j=xx.+-x3x-xlx4 与 x=(x1,x2,x3,x4)r,z = (z1,z2,z3,z4)r相互

8、独立。线性代数与直线、平面位置关系问题的联系空间直线与平而的位置关系，为线性方程组的结构理论提供了直观 的几何解释，同样，线性代数屮的线性方程组的结构理论对深刻领会宜线与平面的位置关系起到重要作用。下面，我用一个三元一次线性方程组来说明方程组的解的几何意义。ax + biycz = d(i)设空间中三个平面x,兀2，兀3，其方程为：< a2xb2y + c2z = d,其系a3x + b3y + c3z = d3(7r3)数矩阵为a,增广矩阵为兀那么方程组的解可以分为以下几个情形:1、如果r(a)=r(i)=r, 一个平面有共同点，方程组有解1) 如果厂3,方程组的系数矩阵可逆，则方程存

9、在唯一解,这时一个平面相交于一点；2) 如果仟2,方程组的解等价于某两个线性无关的解，存在无穷多个解，此时，一个平而相交于一条直线;3) 如果产1,三个方程组重合为一个方程组，方程组有你无 穷多个解，三个平面重合。2、当r(a) r(a),三个平面没有共同交点，方程无解。由平面方程 定义可知1 < r(a) < r(a)= 心) 1如果r(a) = 2,r(a) = 3,设 a = (01,02,03)，。如果云矗线性无关，则三个平而互相平行但不重合。如果a的其中两个行向量线性无关，不妨假设为方爲2,则眄 重合，与勺平行。结论：线性代数与几何的联系是广泛的，线性代数的许多理论可以 认为是几何上的二维平面空间、三维立体空间的延伸和推广，因此， 在线性代数中把握两者之间的关系，融入几何的知识，这对我们学习 线性代数