等边三角形的性质习题精选附答案

1、菁优网等边三角形的性质习题精选一选择题（共14小题）1（2005郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cmA30B40C50D602（2009江干区模拟）如图，ABC中，AB=AC，DEF为等边三角形，则、之间的关系为（）ABCD3如图，等边ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则ECF的度数为（）A15°B22.5°C30°D45°4如图，ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PDAB，PEAC，连接D

2、E记ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）ALl=L2BL1L2CL2L1D无法确定5如图，ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，EDBC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）ABC20+10D20106如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（）A阴影部分面积大B空白部分面积大C一样大D不确定7如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则ABC的面积等于（）A1

3、90B192C194D1968在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两点，那么取的点至少应有（）A4个B5个C6个D7个9如图，已知等边ABC外有一点P，P落在ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3h1=6，那么等边ABC的面积为（）A12B9C8D410如图所示，ABC为正三角形，P是BC上的一点，PMAB，PNAC，设四边形AMPN，ABC的周长分别为m、n，则有（）ABCD11如图，AC=BC，ACBC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE若AB=，则BE=（）A1B2C3D412如图，D，

4、E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）A36B32C30D2813如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（）A100B60C100D6014在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（）A120°B135°C150°D165°二填空题（共9小题）15（2007沈阳）如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC=120°以D为顶点作一个60°

5、;角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为_16（2012南开区一模）如图，将边长为3+的等边ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DFAB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为_17如右图，以等边OAB的高OC为边向逆时针方向作等边OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边OGH，按此方法操作，最终得到OMN，此时ON在OA上若AB=1，则ON=_18已知正ABC的面积是1，P是ABC内一点，并且PAB、PBC、PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有_个；

6、PAB的面积是_19如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为_20如图所示，直线AB、CD相交于点O若OM=ON=MN，那么APQ+CQP=_21在正ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与BPC的面积相等，那么BPE=_22如图，平行于BC的线段MN把等边ABC分成一个三角形和一个四边形，已知AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是_23正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为_三解答题（共7小题）24阅读材料：如图，ABC

7、中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则SABP+SACP=SABC，即：，r1+r2=h（定值）（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）（2）理解与应用ABC中，C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r=_若不

8、存在，请说明理由25小明在找等边三角形ABC一边的三等分点时，他是这样做的，先做ABC、ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点”你同意他的说法吗？请说明你的理由26在等边ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由（2）若等边ABC的边长为4cm，求BDE的面积27如图，设O为ABC内一点，且AOB=BOC=COA=120°，P为任意一点（不是O）求证：PA+PB+PCOA+OB+OC28如图，等边ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相

9、交于点P，试求BPD的度数29阅读下列材料，解答相应问题：已知ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h点P（不与点A、B、C重合）到AB的距离PE=h1，到AC的距离PF=h2，到BC的距离PH=h3如图1，当点P与点D重合时，我们容易发现：h1=h，h2=h，因此得到：h1+h2=h小明同学大胆猜想提出问题：如图2，若点P在BC边上，但不与点D重合，结论h1+h2=h还成立吗？通过证明，他得到了肯定的答案证明如下：证明：如图3，连接APSABC=SABP+SAPC设等边三角形的边长AB=BC=CA=aADBC，PEAB，PFAC，BCAD=ABPE+ACPFah=ah1+ah2h1+h2=h

10、（1）进一步猜想：当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请猜想h1，h2与 h之间的数量关系，并证明（借助答题卡上的图4）（2）我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB，AC上时，情况与前述类似，这里不再说明继续猜想，你会进一步提出怎样的问题呢？请在答题卡上借助图5画出示意图，写出你提出的问题，并直接写出结论，不必证明30如图ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使DPQ的周长最小？并求出这个最值等边三角形的性质习题精选参考答案与试题解析一选择题（共14小题）1（2005郴州）附加

11、题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cmA30B40C50D60考点：等边三角形的性质1184454专题：压轴题；规律型分析：因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长解答：解：设AB=x，等边三角形

12、的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，AF=2AB，即x+6=2x，x=6cm，周长为7 x+18=60cm故选D点评：结合等边三角形的性质，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系2（2009江干区模拟）如图，ABC中，AB=AC，DEF为等边三角形，则、之间的关系为（）ABCD考点：等边三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；等腰三角形的性质1184454专题：证明题分析：根据等腰三角形的性质推出B=C，根据三角形的内

13、角和定理求出21=，根据等边三角形的性质和邻补角定义求出21=，代入上式即可求出答案解答：解：AB=AC，B=C，2+=1+，21=，等边DEF，5=3=60°，2+=1+=120°，21=，=，2=+，=，故选B点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能推出21=和21=是解此题的关键3如图，等边ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则ECF的度数为（）A15°B22.5°C30°D45°

14、;考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质1184454分析：过E作EMBC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出ACM，即可求出答案解答：解：过E作EMBC，交AD于N，AC=4，AE=2，EC=2=AE，AM=BM=2，AM=AE，AD是BC边上的中线，ABC是等边三角形，ADBC，EMBC，ADEM，AM=AE，E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，ABC是等边三角形，ACB=60°，AC=BC，AM=BM，ECF=ACB=30°，故选C点评：本题考查了轴对

15、称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用4如图，ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PDAB，PEAC，连接DE记ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）ALl=L2BL1L2CL2L1D无法确定考点：等边三角形的性质；三角形三边关系1184454专题：计算题分析：等边三角形各内角为60°，故B=C=60°，即可求得BP=2BD，CP=2CE，BD+CE=BC，即可求得L1=L2解答：解：等边三角形各内角为60°，B=C=60°，BPD=CPE=30°，在R

16、tBDP和RtCEP中，BP=2BD，CP=2CE，BD+CE=BC，AD+AE=AB+ACBC=BC，BD+CE+BC=BC，L1=BC+DE，L2=BC+DE，即得L1=L2，故选 A点评：本题考查了直角三角形中特殊角的正弦函数值，考查了等边三角形各边相等的性质，本题中求证L1=BC+DE，L2=BC+DE是解题的关键5如图，ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，EDBC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）ABC20+10D2010考点：等边三角形的性质1184454专题：计算题分析：根据EDBC可得CED=30°，即可求得EC与ED的关系，设DE

17、=x，则AE=x，根据DE即可计算CE，根据AE+CE=5即可计算x的值，根据CE=ACAE即可求CE的值解答：解：EDBC，C=60°，CED=30°，设DE=x，则AE=x，且CE=x，又AE+CE=5，x+x=5，解得x=1015，CE=5（1015）=2010故选D点评：本题考查了特殊角的正弦值，等边三角形各内角为60°的性质，本题中根据AE、CE求x的值是解题的关键6如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（）A阴影部分面积大B空白部分面积大C一样大D不确定

18、考点：等边三角形的性质1184454分析：根据等边三角形的性质及三角形的中位线定理解答即可解答：解：如图，D、E、F分别为三角形三边的中点，ABC为等边三角形，AD=BD=BF=CF=AE=EC=DE=EF=DF，ADEDBFEFCFED，阴影部分面积与空白部分面积一样大故选C点评：此题比较简单，解答此题的关键是熟知三角形的中位线定理及等边三角形的性质7如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ=6，PR=8，PS=10，则ABC的面积等于（）A190B192C194D196考点：等边三角形的性质1184454专题：计算题分析：根据三角形面积的不同计算方

19、法可以求得PQ+PS+PR=AD，根据AD的值即可求得BC的值，根据BC、AD的值即可计算等边ABC的面积解答：解：连接AP、BP、CP，过点A作ADBC于D，等边三角形面积S=BC（PQ+PR+PS）=BCAD故PQ+PR+PS=AD，AD=6+8+10=24，ABC=60°AB=24×=16，ABC的面积S=BCAD=×24×16=192，故选 B点评：本题考查了等边三角形面积的计算，考查了等边三角形高线与边的关系，本题中求证PQ+PR+PS=AD是解题的关键8在边长为2cm的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于1cm的两

20、点，那么取的点至少应有（）A4个B5个C6个D7个考点：等边三角形的性质1184454专题：计算题；开放型分析：把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，则可把三角形分成分成n2个边长为的小三角形，则比三角形的个数多1可以保证至少有两个点落在同一小三角形内，即可解题解答：解：把三角形每条边分成n份，相应点之间连线，可以把三角形分成n2个边长为的小三角形，n2+1个点可以保证至少有两个点落在同一个小三角形内，所以那两个点的距离是不超过的，取得点至少为n2+1，当根据题意n=2，n2+1=5故选B点评：本题考查了等边三角形各边长相等的性质，学生探究发现规律的能力，本题中构建n2个三角形是解题的关键9

21、如图，已知等边ABC外有一点P，P落在ABC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1、h2、h3，且满足h2+h3h1=6，那么等边ABC的面积为（）A12B9C8D4考点：等边三角形的性质1184454专题：计算题分析：根据等边三角形的面积即可计算（h3+h2h1）是等边三角形ABC的高，根据等边三角形的高即可求得BC的值，即可求得ABC的面积，即可解题解答：解：设等边ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，则SPAB+SPACSPBC=SABC，从而ah3+ah2ah1=a2，即a（h3+h2h1）=a2，（h3+h2h1）=6，a=4，SABC=a2=12故选A点评：本题考查了等

22、边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长的关系，本题中根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解题的关键10如图所示，ABC为正三角形，P是BC上的一点，PMAB，PNAC，设四边形AMPN，ABC的周长分别为m、n，则有（）ABCD考点：等边三角形的性质1184454专题：计算题分析：设BM=x，CN=y，用x、y分别表示m、n的值，化简m、n的表达式，可得四边形AMPN，ABC的周长的比值，可以解题解答：解：设BM=x，CN=y则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=yAM+AN=2BC（BM+CN）=3（x+y），故=0.7887故选D点评：本题考查了等边三角形各内角为60°

23、;的性质，等边三角形周长的计算，本题中用x、y表示m、n的值是解题的关键11如图，AC=BC，ACBC于C，AB=AD=BD，CD=CE=DE若AB=，则BE=（）A1B2C3D4考点：等边三角形的性质1184454专题：计算题分析：根据等边三角形边长相等的性质，可以证明ACDBED，故AC=BE，已知AB，根据勾股定理即可求AC的长，即可解题解答：解：ADC+CDB=60°，CDB+BDE=60°，ADC=BDE，在ACD和BED中，ACDBED，AC=BE，AC=BC，AB=，AC=BC=1，BE=1故选A点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，全等三角形的证明和

24、全等三角形对应边相等的性质，本题中求证ACDBED是解题的关键12如图，D，E，F为等边三角形ABC三边中点，AE、BF、CD交于O，DE，EF，FD为三条中位线，则图中能数出不同的直角三角形的个数是（）A36B32C30D28考点：等边三角形的性质1184454专题：证明题分析：根据等边三角形的“三线合一”的性质来找直角三角形解答：解：DE，EF，FD为等边ABC三条中位线，AB=AC=BC，EFAB，EDAC，四边形CEDF是菱形，EFCD，在菱形CEDF中有6个不同的直角三角形：RtCEG、RtCFG、RtDGE、RtDFG、RtEOG、RtFOG；同理，在菱形ADEF、菱形BEFD中各

25、有6个不同的直角三角形；D为等边三角形ABC三边中点，CDAB，ADC、BDC、AOD、BOD是直角三角形；同理，以BF、AE为直角边的三角形各有4个；综上所述，图中能数出的直角三角形由6×3+4×3=30（个）；故选C点评：本题考查了等边三角形的性质解题时，充分利用了三角形中位线定理、等边三角形的“三线合一”的性质13如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为25，则大正三角形的周长是（）A100B60C100D60考点：等边三角形的性质1184454专题：计算题分析：根据三角形面积公式和中位线定理求解解答：解：设小三角形的边长为a小三角形的面

26、积为a2sin60°=25，解得a=10正三角形的三条中位线构成一个小的正三角形大三角形的边长为小三角形边长的2倍，为2a大的正三角形的周长为2a×3=6a=6×10=60故选D点评：考查了学生对三角形面积公式和中位线定理的掌握和理解14在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（）A120°B135°C150°D165°考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质1184454专题：计算题分析：设CDA=x，ABC=y，根据DA=DB=DC=BC，求得x=2y，由四边形的内角和

27、是360°得BAC=360°DBADCABDC，解得即可得出答案解答：解；设CDA=x，ABC=y，DA=DB=DC=BC，BDC=DBC=DCB=60°，DBA=DAB，DAC=DCA，DBA+BAD+BDA=180°，60°x+2（60°+y）=180°，即x=2y，BAC=360°DBADCABDC，=360°（60°+y）60°，=150°点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和等边三角形性质的理解和掌握，此题的关键是有已知条件得到CAD和ABC之间的关系，进一步求

28、出结果二填空题（共9小题）15（2007沈阳）如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC=120°以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为6考点：等边三角形的性质1184454专题：压轴题分析：要求AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明BDFCND，及DMNDMF，从而得出MN=MF，AMN的周长等于AB+AC的长解答：解：BDC是等腰三角形，且BDC=120°BCD=DBC=30

29、°ABC是边长为3的等边三角形ABC=BAC=BCA=60°DBA=DCA=90°延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在RtBDF和RtCND中，BF=CN，DB=DCBDFCNDBDF=CDN，DF=DNMDN=60°BDM+CDN=60°BDM+BDF=60°，FDM=60°=MDN，DM为公共边DMNDMF，MN=MFAMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6点评：此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键16（2012南开区一模）如图，将边长

30、为3+的等边ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DFAB，垂足为D，AD=1，则重叠部分的面积为考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质1184454专题：压轴题分析：观察图形可知重叠部分的面积即是DEF的面积减去MNF的面积由折叠的性质，可求得BDE=EDF=45°，由四边形的内角和为360°，求得BEF为150°，得到CEM为30°，则可证得EMC为90°；作BDE的高，根据45°与60°的三角函数，借助于方程即可求得其高的值，则各三角形的面积可解解答：解：过点E作EGAB于G，E

31、GB=90°，ABC是等边三角形，A=B=C=60°，AB=BC=AC=3+，根据题意得：BDE=FDE，F=B=60°，DFAB，FDB=90°，BEF=360°BFBDF=150°，BDE=FDE=FDB=45°MEC=180°BEF=30°，EMC=180°CEMC=90°，在RtADN中，AD=1，tanA=tan60°=，DN=，SADN=ADDN=×1×=，在BDE中，DB=ABAD=3+1=2+，EDG=45°，DEG=45

32、6;，DG=EG，tanB=tan60°=，设EG=x，则DG=x，BG=x，x+x=2+，解得：x=，EG=DG=，SBDE=BDEG=×（2+）×=，B=C=F=60°，BE=+1，EC=BCBE=2，BED=FED=180°BBDE=75°，FNM=MEC=30°，FMN=EMC=90°，EM=ECcos30°=，FM=EFEM=BEEM=1，MN=FMtan60°=，S四边形MNDE=SDEFSMNF=SBDESMNF=×1×=点评：此题考查了等边三角形的性质，折叠的

33、性质以及三角函数的性质等知识此题综合性很强，解题的关键是抓住数形结合思想的应用17如右图，以等边OAB的高OC为边向逆时针方向作等边OCD，CD交OB于点E，再以OE为边向逆时针方向作等边OEF，EF交OD于点G，再以OG为边向逆时针方向作等边OGH，按此方法操作，最终得到OMN，此时ON在OA上若AB=1，则ON=（）10考点：等边三角形的性质1184454专题：压轴题；规律型分析：利用正三角形的性质和正三角形的边长求得OC的长，然后逆时针旋转30°后可以求得OE的长，直至线段ON与线段OA重合，一共旋转了12次，从而可以求得ON的长解答：解：OC为等边三角形的高，且等边三角形的边

34、长为1，NC=，OCD为等边三角形，OCD=60°，OECD，OE=（）2，以此类推，当ON与OA重合时，一共旋转了10次，ON的长为（）10，故答案为（）10点评：本题考查了正三角形的性质，解题的关键是正确地得到一共旋转了多少次18已知正ABC的面积是1，P是ABC内一点，并且PAB、PBC、PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有1个；PAB的面积是考点：等边三角形的性质；三角形的面积1184454专题：计算题分析：根据三角形面积的计算和PAB、PBC、PCA的面积相等可得P到AB、BC、AC的距离相等，故P点为等边三角形三个角平分线的交点，故P点只有一个，且PAB的面积为等边A

35、BC面积的解答：解：PAB、PBC、PCA的面积相等，AB=BC=AC，P到AB、BC、AC的距离相等，故点P为等边三角形三角平分线的交点，等边三角形三角平分线交于一点，故点P只有一个，且PAB的面积为故答案为：1，点评：本题考查了等边三角形各边长相等的性质，三角形面积的计算，本题中求得P点是等边三角形三个角平分线的交点是解题的关键19如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为考点：等边三角形的性质；三角形的面积1184454专题：计算题分析：作AMBC，根据等边三角形的面积计算可以求得AM=PE+PD+PF，再根据等边三角形的高线长可

36、以计算等边三角形的边长，即可解题解答：解：过A作AMBC，则AM为BC边上的高，连接PA、PB、PC，则ABC的面积S=BCAM=（BCPD+ABPF+ACPE），BCAM=BCPD+ABPF+ACPE，ABC是等边三角形，AB=BC=AC，BCAM=BCPD+BCPF+BCPE=BC（PD+PF+PE），PD+PE+PF=AM，ABC的高为：1+3+5=9，ABC的边长为：AB=9×=6，故答案为6点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形边长和高线长的关系，本题中求AM=PD+PE+PF是解题的关键20如图所示，直线AB、CD相交于点O若OM=ON=MN，那么APQ+CQ

37、P=240°考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质1184454专题：计算题分析：根据OM=ON=MN即可判定OMN为等边三角形，根据等边三角形各内角为60°的性质，可求得OPQ+OQP的值，进而根据APQ+CQP=360°（OPQ+OQP）即可解题解答：解：OM=ON=MN，三角形OMN为正三角形，所以APQ+CQP=（180°OPQ）+（180°OQP），=360°（OPQ+OQP），=360°（180°POQ），=180°+60°，=240°故答案为：240°点评：本

38、题考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了外角的定义，本题中求得APQ+CQP=360°（OPQ+OQP）是解题的关键21在正ABC中（如图），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与BPC的面积相等，那么BPE=60°考点：等边三角形的性质；三角形的面积1184454专题：计算题分析：根据可以证明AD=BE，即AE=CD，即可证ACEBCD，可得DBC=ACE，根据BPE=BCE+DBC，ACE+BCE=60°即可求得BPE=ACB，即可解题解答：解：ABD的面积=四边形ADPE的面积+BPE的面积BCE的面积=三角形

39、BPC的面积+BPE的面积四边形ADPE与BPC的面积相等，AD=BE，即AE=CD，又AC=BC，BAC=ACB=60°ACEBCD，DBC=ACE又BPE=BCE+DBC，ACE+BCE=60°，BPE=ACB=60°，故答案为 60°点评：本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形各内角为60°的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应角相等的性质，本题中求证ACEBCD是解题的关键22如图，平行于BC的线段MN把等边ABC分成一个三角形和一个四边形，已知AMN和四边形MBCN的周长相等，则BC与MN的长度之比是4：3考点：等边三角

40、形的性质1184454专题：计算题分析：设=n，根据平行于BC的线段MN把等边ABC分成一个三角形和一个四边形和AMN和四边形MBCN的周长相等，得出3AM=AM+BC+2BM，然后整理此等式即可得出答案解答：解：设=n，3AM=AM+BC+2BM，ABC为等边三角形，BM=ABAM=BCAM，2AM=+2（BCAM），即2AM=+2（AM），2AM=+2AM（1），即2=+2，4=BC与MN的长度之比是4：3故答案为：4：3点评：此题主要考查等边三件形的性质这一知识点，解答此题的关键是设=n 利用等边三角形的性质和AMN和四边形MBCN的周长相等，列出3AM=AM+BC+2BM这样一个等式，

41、然后整理即可此题有一定的拔高难度，属于难题23正三角形ABC的边长BC=2，以该等边三角形的高AD为正方形的边长，则正方形的面积为3考点：等边三角形的性质1184454专题：计算题分析：根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求正方形的面积，即可解题解答：解：等边三角形三线合一，D为BC的中点，即BD=DC=1，AD=，正方形的面积为×=3故答案为3点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，正方形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键三解答题（共7小题）24阅读材料：如图

42、，ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则SABP+SACP=SABC，即：，r1+r2=h（定值）（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）（2）理解与应用ABC中，C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？存在（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，

43、r=2若不存在，请说明理由考点：等边三角形的性质；三角形的面积；等腰三角形的性质1184454分析：（1）连接AP，BP，CP根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作解答：证明：（1）连接AP，BP，CP（2分）则SABP+SBCP+SACP=SABC，（4分）即，（6分）ABC是等边三角形，AB=BC=AC，r1+r2+r3=h（定值）；（8分）（2）存在（10分）r=2（12分）点评：此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边25小明在找等边三角形ABC一

44、边的三等分点时，他是这样做的，先做ABC、ACB的角平分线并且相交于点O，然后做线段BO、CO的垂直平分线，分别交BC于E、F，他说：“E、F就是BC边的三等分点”你同意他的说法吗？请说明你的理由考点：等边三角形的性质；线段垂直平分线的性质1184454分析：连接OE，OF构建等腰三角形BOE和CFO，利用等腰三角形的“三线合一”推知的性质BE=OE、OF=CF，然后等边三角形ABC中，根据等边三角形的三个内角都是60°的性质、角平分线的性质证得OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）；最后由等边三角形OEF的三条边都相等、等量代换证明BE=EF=FC即E

45、，F是BC的三等分点解答：解：E，F是BC的三等分点理由：连接OE，OF，DE垂直平分OBBE=OE（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），同理OF=CF，EBO=BOE，FCO=FOC，等边三角形ABC中，ABC=ACB=60°（等边三角形各角相等且为60°）BO平分ABC，CO平分ACBEBO=ABC=30°，FCO=ACB=30°BOE=EBO=30°，FOC=FCO=30°OEF=BOE+EBO=60°，OFE=FOC+FCO=60°，OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形

46、）OE=OF=EF（等边三角形各边相等）BE=EF=FC，即E，F是BC的三等分点点评：本题综合考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质解答该题时，充分利用了等腰三角形的底边上的高线、中线、对角的角平分线三线合一的特性26在等边ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，（1）请说明DB=DE的理由（2）若等边ABC的边长为4cm，求BDE的面积考点：等边三角形的性质；三角形的面积；三角形的外角性质1184454专题：计算题分析：（1）根据等边三角形三线合一的性质可得BD是ABC的角平分线，即可得CBD=30°，根据三角形外角性质即可得DCE=120°

47、60°，根据CD=CE，可得CDE=CED=30°，即可得CED=CBD=30°，即DB=DE（2）过D作DFBC，则DF=AG，根据等边三角形的性质可以求得BE的长，根据BE、DF的长即可计算BDE的面积解答：解：（1）ABC为等边三角形，D为AC的中点，即BD为AC边上的中线，BD是ABC的角平分线，ABC=60°，CBD=ABC=30°，DCE=120°60°，且CD=CE，CDE=CED=30°，CBD=CED，DB=DE（2）作DFBC，AGBC，垂足分别为F、G，D为AC中点，CE=CD=2cm，BE=

48、2cm+4cm=6cm，AG=AB=2cm，DFBC，AGBC，DF=AG=cm，BDE的面积S=BEDF=×6cm×cm=3cm2点评：本题考查了等边三角形边长与高线长的关系，考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形三线合一的性质，本题中正确计算DF的值是解题的关键27如图，设O为ABC内一点，且AOB=BOC=COA=120°，P为任意一点（不是O）求证：PA+PB+PCOA+OB+OC考点：等边三角形的性质；三角形的面积1184454专题：证明题分析：过ABC的顶点A，B，C分别引OA，OB，OC的垂线，设这三条垂线的交点为A1，B1，C1（如图），即可判定

49、A1B1C1为正三角形，设P到A1B1C1三边B1C1，C1A1，A1B1的距离分别为ha，hb，hc，且A1B1C1的边长为a，高为h，则可以证明以h=ha+hb+hc，根据PA+PB+PCP到A1B1C1三边距离之和，即可解题解答：证明：过ABC的顶点A，B，C分别引OA，OB，OC的垂线，设这三条垂线的交点为A1，B1，C1（如图），考虑四边形AOBC1因为OAC1=OBC1=90°，AOB=120°，所以C1=60°同理，A1=B1=60°所以A1B1C1为正三角形设P到A1B1C1三边B1C1，C1A1，A1B1的距离分别为ha，hb，hc，且

50、A1B1C1的边长为a，高为h由等式SA1B1C1=SPB1C1+SPC1A1+SPA1B1知ha=haa+hba+hca，所以h=ha+hb+hc这说明正A1B1C1内任一点P到三边的距离和等于A1B1C1的高h，这是一个定值，所以OA+OB+OC=h=定值显然，PA+PB+PCP到A1B1C1三边距离和，所以PA+PB+PCh=OA+OB+OC点评：本题考查了等边三角形的证明，考查了正三角形内任一点P到三边的距离和等于该等边三角形的高h，本题中求证正三角形内任一点P到三边的距离和等于该等边三角形的高h是解题的关键28如图，等边ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求BPD的度数考点：等边三角形的性质1184454专题：计算题分析：易证ABDBCE，可得BAD=CBE，根据APE=ABE+BAD，ABE+CBE=60°即可求得APE=ABC，即可解题解答：解：等边ABC中，CD=AE，BD=CE，ABD=C=60°，在ABD和BCE中，ABDBCE，BAD=CBE，APE=ABE+BAD，ABE+CBE=60°，BPD=APE，BPD=ABC=60°点评：本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，全等三角形的证明，全等三角形对应角相等的性质，本题中求证APE=ABC是解题的关