高阶导数的定义课件

1、高阶导数的定义PPT课件一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tfs 设设)()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定义定义.)() )(,)()(lim) )(,)()(0处处的的二二阶阶导导数数在在点点为为函函数数则则称称存存在在即即处处可可导导在在点点的的导导数数如如果果函函数数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 第五节第五节 高阶导数高阶导数高阶导数的定义PPT课件记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 记记作作阶阶

2、导导数数的的函函数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称称为为一一阶阶导导数数称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf高阶导数的定义PPT课件二、二、 高阶导数求法举例高阶导数求法举例例例1 1).0(),0(,arct

3、anffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.高阶导数的定义PPT课件例例2 2.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn则则为自然数为自然数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 高阶导数的定义PPT课件例例3 3.),

4、1ln()(nyxy求求设设 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n阶导数时阶导数时,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导阶导数数.(数学归纳法证明数学归纳法证明)高阶导数的定义PPT课件例例4 4.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得高阶导数的定义PPT课件2. n阶导

5、数的运算法则阶导数的运算法则:则则阶阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式高阶导数的定义PPT课件例例5 5.,)20(22yexyx求求设设 解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 2192022202

6、2182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex高阶导数的定义PPT课件常用高阶导数公式常用高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(1)(!)1()1( nnnxnx高阶导数的定义PPT课件1、隐函数的导数、隐函数的导数定义定义: :. )(0),(,0),(xfyyxFyxyxF 函函数数该该区区间间内内确确定定了了一一个个隐隐在在那那么么就就说说方方程

7、程的的值值存存在在唯唯一一的的相相应应地地总总有有满满足足这这方方程程间间内内的的任任意意值值时时取取某某区区当当中中设设在在方方程程.)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?第六节第六节 隐函数的导数、由参数方程所确隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率定的函数的导数、相关变化率高阶导数的定义PPT课件例例1 1)1 1).,00 xyxdxdydxdyyeexy的的导导数数所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程解解:求求导导方方程程两两边边对

8、对 x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.高阶导数的定义PPT课件2)2)设设 y=y(x) 由方程由方程 ey =xe f(y) 确定确定, f 二阶可导二阶可导, f 1, 求求 y .解解 方程两边对方程两边对x求导求导: ey y = e f(y) + x e f(y) f (y) y 故故)()()(yfxeeeyyfyyf )(11yfx 22)(1 )()(1 yfx

9、yyfxyfy 332)(1 )()(1 yfxyfxyfx 高阶导数的定义PPT课件例例2 2.,)23,23(,333线线通通过过原原点点在在该该点点的的法法并并证证明明曲曲线线的的切切线线方方程程点点上上求求过过的的方方程程为为设设曲曲线线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.高阶导数的定义PPT课件2、对数求导法、对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(si

10、n23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的的情情形形数数多多个个函函数数相相乘乘和和幂幂指指函函xvxu高阶导数的定义PPT课件例例3 3解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设高阶导数的定义PPT课件例例4 4解解.

11、),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 高阶导数的定义PPT课件一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 高阶导数的定义PPT课件3、由参数方程所确定的函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数 .,)()(定定的

12、的函函数数称称此此为为由由参参数数方方程程所所确确间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t高阶导数的定义PPT课件),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx且且都都可可导导再再设设函函数数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx高阶导数的定义PPT课件,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即高阶导数的定义PPT课件例例5 5解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方程方程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin( ttayttax高阶导数的定义PPT课件.),12(,2ayaxt 时