权的定义PPT课件

1、3ppppHHHH如图所示，在水准测量中，A、B、C为三个已知点，P为待定点，由3个已知点分别向待定点做水准测量，假设每公里的观测精度相同，而三条水准路线的长度不同，分别为S1、S2、S3，最终P点高程如何计算？取三次测量的平均值可以吗？pppHHH、设三条水准路线求得的P点高程分别为：则：权的原始语义之一，就是秤锤的意思。广雅释器曰：“锤，谓之权”。第1页/共42页一、权的定义一、权的定义表示各观测值方差之间按比例关系的数字特征表示各观测值方差之间按比例关系的数字特征权权数学描述数学描述：设有观测值1,2,iL in21,2,iin他们的方差为如选定任一常数0,202iip则定义ip的权。为

2、观测值iL称22221222202120211111nnnppp：权之间的比例关系权之间的比例关系: :权之比= =相应方差倒数之比第2页/共42页公里：例：已知水准网所有水准路线等精度，且各条路线的距离为121.5,2.5,Skm Skm3452.0,4.0,3.0.Skm Skm Skm假定每公里观测高差的中误差为得权各线路观测高差的中误差：2322公里公里公里222，22454.03.0公里公里22，若222011.5公里若222053公里123451.00,0.60,0.75,0.375,0.5ppppp123452.00,1.20,1.50,0.751ppppp

3、，得权222212202220212021111nnnppp：权之间比例：第3页/共42页3.权是用来比较各观测值间精度高低的，是相对精度指标，权的意义不在于其本身数值大小，重要是其之间的比例关系.对于单个观测值而言，权无意义。权的性质：权的性质：1.选定一个 值，即有一组对应的权。反之亦成立。204.为了使权能起到比较精度高低的作用，同一问题只能选定一个 值。202.一组观测值的权，其大小随着 的不同而异，但不论 选用何值，权之间的比例关系不变。20206.事先给出一定的条件，就可以确定出观测值的权的数值。5.权与中误差的平方成反比，中误差越小，权越大，表明观测值越可靠。第4页/共42页二、

4、单位权中误差二、单位权中误差权等于1的观测值称为单位权观测值权等于1的观测值的方差称为单位权方差，也称为方差因子权等于1的观测值的中误差称为单位权中误差权的单位权的单位基础概念基础概念同类观测值：权是无量纲，无单位不同类观测值：权有单位例：边角网中设测角中误差单位为“秒”，测边中误差单位为“mm”若 单位取“秒”，则角度的权无单位，边长的权的单位为022/mm秒若 单位取“mm”，则边长的权无单位，角度的权的单位是022/秒mm202iip第5页/共42页1.设单位长度（例如一公里）的距离观测值的方差为 ，则全长为S公里的距离观测值的方差为 取长度为C公里的距离观测值方差为单位权方差，即： 则

5、距离观测值的权为： SS22SCpSS220220C三、定权常用方法三、定权常用方法1.1.距离观测值的权距离观测值的权22.2.设长度为S S公里的距离观测值的方差为 ， 和 分别为测距固定误差和比例误差。取单位权方差 则距离观测值的权为：20C2)(bSa ab2)(bSaCpS1.设单位长度（例如一公里）的距离观测值的方差为 ，则全长为S公里的距离观测值的方差为 取长度为C公里的距离观测值方差为单位权方差，即： 则距离观测值的权为： SS22SCpSS220220C2第6页/共42页设每站观测高差精度相同，其中误差均为站如图所示，在水准网中，有n=7条水准路线，现沿每一条路线测定两点间的

6、高差，得各路线的观测高差为 ，各路线的测站数分别为12nhhh， ，12nNNN，1,2,iiCpinN由协方差传播律得，各观测高差的中误差为1,2,iiNin站0C站设单位权中误差为：由权定义得：且有关系：121212111:nnnCCCpppNNNNNN第7页/共42页2.2.水准测量的权水准测量的权1.1.若每一测站观测高差的精度相同，其方差均为 ；第i i条水准线路的观测 高差为 ，测站数为 , ,2站iNiiN22站C220站iiiNCNCp22站站ih则第i条水准线路（观测高差）的方差为：取测站数为C的高差观测值为单位权方差：则第i条水准线路（观测高差）的权为：若某段高差的测站数

7、，则他的权为ipC1iN 当 时，有1ip iNCC的两个意义： （1）C是1测站的观测高差的权；（2）C是单位权观测高差的测站数各测站观测高差同精度时，各路线的权与测站数成反比第8页/共42页1,2,iiCpinS由协方差传播律得，各观测高差的中误差为1,2,iiSin公里0C公里设单位权中误差为：由权定义得：且有关系：121212111:nnnCCCpppSSSSSS在水准测量中，若已知每一公里的观测高差的中误差均相等，设为已知各路线的观测距离为12nSSS， ，公里第9页/共42页2.2.水准测量的权水准测量的权则第i条水准线路（观测高差）的方差为：设每公里的观测高差的方差均相等，均为

8、；第i i条水准线路的观测 高差为 ，长度为 公里，ih2公里iSiiS22公里则线路长度为 公里的观测高差的权为：iSiiSSCSCpi22公里公里C220公里取线路长度为C公里的观测高差的方差为单位权方差：若某段高差的测站数 ，则他的权为ipC1iS 当 时，有1ip iSCC的两个意义： （1）C是1公里的观测高差的权；（2）C是单位权观测高差的公里数每公里观测高差同精度时，各路线的权与距离数成反比第10页/共42页在水准测量中，究竟是用水准路线的距离S定权，还是用测站数定权，要是具体情况而定。一般来说，起伏不大的地区，每公里的测站数大致相同，可按水准路线的距离定权；而起伏较大的地区，每

9、公里测站数相差较大，则按测站数定权。第11页/共42页C220设有 ，它们分别是 次同精度观测值的平均值，若每次观测的方差均为 ，则 的方差为 nLLL，21nNNN，212iiN22iL则算术平均值 的权 为：iLipCNpiii2203.3.同精度观测值的算术平均值的权同精度观测值的算术平均值的权取：若令 ，则他的权为1iCp1iN 当 时，有1ip iCNC的两个意义： （1）C是1次的观测的权倒数；（2）C是单位权观测值的观测次数第12页/共42页边长观测值 的权：则方向观测值 的权 ： （无单位）。边长观测值 的方差为 （ 、 或 ）,.)2 , 1(jSj22)(jSbSaj2毫米

10、2厘米2分米220iL1ipjS22)(jjbSap22毫米秒4 4边角网中方向观测值和边长观测值的权边角网中方向观测值和边长观测值的权边角网中有两类不同量纲的观测值：方向（或角度）和边长。取：设方向观测值 的方差为 （ ），,.)2 , 1( iLi22秒第13页/共42页注意：注意：在测量工作中，一般是先根据事先给定的条件，按上述方法确定观测值权，然后进行平差，再根据权的定义式的变形公式，来求观测值或其他函数的中误差。2220021iiiipp权变形公式适用范围：该公式不仅适合于观测值，同时也适合于观测值的函数。第14页/共42页第15页/共42页一、协因数与协因数阵一、协因数与协因数阵2

11、02022022211:,jiijjjjjiiiiijjijiQpQpQLL令协方差为它们的方差为设为 的协因数iLiiQ为 的协因数jjQjL为 关于 的协因数或相关权倒数ijQjLiLiiiQ202jjjQ202jiijQ20第16页/共42页nnnnnnnnnnnXXQQQQQQQQQD212222111211202212222111221XXXXQD20由此可得：XXQ协因数阵协因数阵的特点：1.主对角元素 是随机变量 的协因数，即权倒数。iXiiQ2.非主对角元素 是随机变量 关于随机变量 的互协因数，且有 ，因此协因数阵也为对称阵。 iXjiQijjXjiijQQ 3. 表明随机变

12、量 与随机变量 独立，不相关。iXjiQij 0jX第17页/共42页二、互协因数阵二、互协因数阵设有观测向量 和 ，它们的方差阵分别为 和 ， 关于 的互协方差阵为 ，令1 ,nXnnXXD,1 , rYrrYYD,rnXYD,1 ,nX1 , rYXXnnXXDQ20,1YYYYQD20XYXYQD20YYrrYYDQ20,1XYrnXYDQ20,1XXXXQD20为 的协因数阵nnXXQ,1 ,nXrrYYQ,为 的协因数阵1 , rY为 关于 的互协因数阵rnXYQ,1 ,nX1 , rY第18页/共42页说明：1. 中的对角元素是各个 的权倒数，非对角元素是 关于 的相关权倒数。ji

13、XjXXQiXiX2. 中的元素就是 关于 的相关权倒数。XYQiXjY3. 和 为 和 的权逆阵； 为 关于 的相关权逆阵。XYQYYQXXQXYXY二、互协因数阵二、互协因数阵4.因 ，所以 。TYXXYDDTXYYXQQ 和 是相互独立的观测向量。5.XY0TXYYXQQ第19页/共42页三、权阵三、权阵nnXXXX211 ,22221,0000000nnnXXDnnnXXPPPP00000021,202202220212000000001nXXXXDQnppp101000121IQPQPXXXXXXXX1设有独立观测值 ，其方差为 ，权为 ，单位权方差为 。）（niXi, 2 , 12

14、iip20X的协因数阵为：则有：1. 是由独立观测值 的权 构成的对角阵。iXXXPip2. 与权逆阵（协因数阵） 互为逆阵，通常称 为 的权阵XXPiXXXPXXQ第20页/共42页1.独立观测值的协因数阵 、权阵 是对角阵，主对角元素就是相应观测值的权。XXPXXQ2.当观测值相关，其协因数阵 是非对角阵，权阵 的主对角元素不再是相应观测值 的权。XXPXXQiX三、权阵三、权阵权阵说明：1212222111211XXnnnnnnXXQPPPPPPPPPP则， 称为 的权阵。XXXP对于相关的观测向量 ，我们令IQPQPXXXXXXXX1X第21页/共42页例：已知观测值向量 的权阵为 ，

15、试求观测值 的权 1 , 3L321242123P321,LLLip解：观测值向量的协因数阵11321242123 PQLL21012101241由协因数的定义可知：2142332211QQQ21321iiQppp说明：当观测值相关，其协因数阵 是非对角阵，权阵 的主对角元素不再是相应观测值 的权。XXPXXQiX第22页/共42页四、协因数传播律四、协因数传播律设有观测值向量 和 的线性函数XY00FFYWKKXZ根据协方差传播律：TXYZWTYXWZTYYWWTXXZZKDFDFKDDFDFDKKDDQD20顾及协方差阵与协因数阵的关系：TXYTXYZWTYXTYXWZTYYTYYWWTX

16、XTXXZZKFQKQFQFQKFQKQFFQFQFQKQKKQKQ202020202020202020202020TXYZWTYXWZTYYWWTXXZZKFQQFQKQFFQQKQKQ化简得：1. 1.线性函数线性函数第23页/共42页如果Z和W的各个分量是X和Y的非线性函数2. 2.非线性函数非线性函数),(),(),(,),(),(),(21212211212121221121rWrrWrWrnZtnZnZtYYYfYYYfYYYfWWWWXXXfXXXfXXXfZZZZFdYdWKdXdZ求微分法，线性化nZtZtZtnZZZnZZZXfXfXfXfXfXfXfXfXfK212221

17、212111rWrWrWrrWWWrWWWYfYfYfYfYfYfYfYfYfF212221212111TXYZWTYXWZTYYWWTXXZZKFQQFQKQFFQQKQKQ第24页/共42页3.3.独立观测值独立观测值对于独立观测值 ，假定各 的权为 则 的权阵、协因数阵均为对角阵 1 ,nLiLiP1 , nLnLLpppP00000021nnnLLpppQQQQ100010001000000212211若有函数),(21nLLLfZnnZZZpLfpLfpLfPQ1)(1)(1)(12222121nnnTLLZZLfLfLfpppLfLfLfKQQ212121100010001KdLd

18、LLfdLLfdLLfdZnn2211第25页/共42页例：设独立观测值 的权均为 ，试求算术平均值的权), 2 , 1(niLip nLx xp解： nnLLLnnnLnLnLnnLx.1.111112121nnnpppnnnpQnxxx1111.011.11121nppnnpppn11)111(122nppx由此知：第26页/共42页例：设独立观测值 的权均为 ，试求的权ip), 2 , 1(niLi pLxpxp解： 11221nnpLxp Lp Lp Lpp 22212212111111nxnppppppppp xpp此时x为带权平均值，带权平均值的权等于各观测值权之

19、和应用权倒数传播律：第27页/共42页例：设有函数：0KKXZ0FFYWWZSFYKXRX的协因数 ，Y的协因数 ，X关于Y的互协因数阵为 （ ）， 又 为常系数阵。求XXQYYQXYQTXYYXQQFKFK、00ZYZXRRSSWZWWZZQQQQQQQ、解：TXXZZKKQQTYYWWFFQQTXYZWFKQQTYYTYXTXYTXXWWWZZWZZSSFFQKFQFKQKKQQQQQQYXFKFYKXRTYYTYXTXYTXXTTYYYXXYXXRRFFQKFQFKQKKQFKQQQQFKQ0KKXZXXTXXZXKQIKQQXYTXYZYKQIKQQ0000KYXKKKXZYXIY0X

20、YXYXXYYYXXYXXZYKQIKQKQIQQQQKQ000第28页/共42页 一、用不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式一、用不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式设有一组同精度独立观测值 ，且其数学期望为 ，真误差为 ， ， ，有12,nL LL12,n 12,n 2,iiLN 20,iN,1,2,iiiLin 观测值 的中误差为iL2limnEnn当 为有限值时得到中误差的估值为n22212n 同精度独立的真同精度独立的真误差计算中误差误差计算中误差式（2）式（1）第29页/共42页 220iip若 为一组不同精度的独立观测值， 的数学期望、方差和权分别为 和 ，2ii、i

21、p12,nL LL22,0,iiiiiiiiL LN uN iL由权的定义得：0单位权中误差若单位权中误差已知，则可求得各观测值的中误差i问题：如何利用一组不同精度的真误差来求得单位权中误差0现设 是一组同精度，且权 的独立真误差：i1ip 通过前面介绍我们知道，为了单位权中误差，应需要得到一组精度相同且权为1的独立的真误差，得到此组真误差后就可按照式（1）或（2）求解设：iii 2111iiipp权倒数传播律 ：iipiiip 式（3）第30页/共42页由式（2 2）知由此可知通过式（3）求得的 是一组同精度且权为1的真误差，由于 是独立真误差，故 也是一组独立真误差，即有ii200,iNi

22、02limnEn 0pn 0limnpn理论值理论值估值估值不同精度独立的真误不同精度独立的真误差计算单位权中误差差计算单位权中误差第31页/共42页 二、由真误差计算中误差的实际应用二、由真误差计算中误差的实际应用一般情况：观测量真值（或数学期望）不知，因此真误差不知，因此不能直接利用公式求解中误差或方差。然而，某些情况下，由若干个观测量组成的函数，其真值已知，故真误差可知。如，一个三角形内角和为180，三角形闭合差就是三角形内角观测值之和的真误差。（一）由三角形闭合差求测角中误差（一）由三角形闭合差求测角中误差设在一个三角网中，以同精度独立观测了各三角形之内角，由各观测角值计算而得的三角形

23、闭合差分别为 ，他们为真误差，由公式得三角形内角和中误差为：nwww,.,21)(180iiiiw22212nwwwwwlimwnwwn由于222223iiiwnwww33122nww3设测角方差均为2菲列罗公式菲列罗公式第32页/共42页 二、由真误差计算中误差的实际应用二、由真误差计算中误差的实际应用（二）由双观测值之差求中误差（二）由双观测值之差求中误差在测量工作中，常常对一系列被观测量分别进行成对观测，这种成对观测称为双观测。设对量 ，分别观测两次，得独立观测值和权 ：nXXX，21nLLL，21第一次：nLLL ，21第二次：权：nppp，21观测值 和 是对同一量 的两次观测的结果

24、，称为一个观测对，这种成对的观测，称为双观测 。iLiL iX设对内精度相同，对间精度不同。iiidLL)21(ni，iiiiiiiddLLLXLXi )()(两次观测值的差数：差数的真误差就是差数本身：第33页/共42页 由权倒数传播律得：iiidppppi21112idppinpddnpddd220npdd220iLLpii12022 iLXpii2122022由双观测值之差求得的单位权方差观测值 和 的方差iL iL 第i 对观测值平均值 的方差2iiiLLX第34页/共42页 例：设分5段测定A、B两水准点间的高差，每段各测两次，其结果列于下表中， 试求：（1）每公里观测高差的中误差；

25、（2）第二段观测高差的中误差； （3）第二段高差的平均值的中误差；（4）全长一次（往测或返测）观测 高差的中误差及全长平均值的中误差段段号号高差（高差（m）距离距离S（km）12345+3.248+0.348+1.444-3.360-3.699+3.240+0.356+1.437-3.352-3.7044.03.22.02.63.4iLiL第35页/共42页 解：（1）单位权中误差（每公里观测高差的中误差）为段段号号高差（高差（m）距离距离S（km）12345+3.248+0.348+1.444-3.360-3.699+3.240+0.356+1.437-3.352-3.704+8-8+7-8+564644964254.03.22.02.63.416.020.024.524.67.4 15.292.5iiidLLiLiLiid diiiiiid dp d dS092.53.0210pddmmn 公里第36页/共42页 段段号号高差（高差（m）距离距离S（km）12345+3.248+0.348+1.444-3.360-3.699+3.240+0.356+1.437-3.352-3.704+8-8+7-8+564644964254.0