第60讲导数(第1课时-基础)

1、第60讲导数-基础（第1课时）神经网络准确记忆!左导数导数的概念右导数导数导数的儿何意义与物理意义 '常用的导数公式导数的运算导数的四则运算法则复合函数求导数重点难点好好把握!重点：1.导数概念与意义；2.导数的四则运算；3.复合函数的求导。 难点：复合函数的求导。考纲要求注意紧扣！1. 了解导数概念，掌握函数在一点处的导数的定义及其几何意义，理解导函数的概念；2. 熟记基本导数公式，掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导。3. 了解可导函数的单调性打其导数的关系.了解可导函数在某点取得极值的必耍条件和充分 条件（导数在极值点两侧异号）o会求一些实际问题（一般指单峰函数）的授大值和授小

2、值。命题预测仅供参考！1. 导数的几何意义，求导运算是考察的重点。2. 复合函数求导以及可导与连续的关系也在考察乙列。考点热点定掌握!1. 导数的概念如果函数y = /（%）在x。处的增量3与白变量的增最心的比值乞，当心t0时, ax1曲 复 1曲/（心+心）一存在，则称函数）=门兀）在点x°处可导，并称此极限值为 山to 心 axtoar/（x）在点x°处的导数，记为.f 'oo）或y 1=勺。若lim仝j lim /（心+心）一，（心）存在,贝g称函数=于（兀）在点x（）处左可导，并称心-心ax 山f 0 此极限值为/（x）在点x（）处的左导数，记为f '

3、;_（x（） ） o若旣驚旣 妙存在,则称函数归在点5右可导，并称 此极限值为/（对在点x（）处的右导数，记为/； （x0） of(兀0)存在的充要条件是:a(x0)=a(x0) o如果函数=/(兀)在区间(d,b)内每一点都可导，就说/(兀)在区间(a,b)内可导，这时对 于开区间,b)内每一个确定的值x°,都对应着一个确定的导数f (兀°),这样就在开区间力) 内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做/(x)的导函数，记作/'(x)或儿。+ x+ l (x<0)例.己知函数f(x) = 一丿，试确定d、b的值，使于(兀)在x = 0处连续ax-h (x &

4、gt; 0)并可导。解：要使/(兀)在x = 0处连续，则要/(幻在x = 0处有定义，这是显然的；/(兀)在 x = 0处的左极限等于右极限，现在lim/(x)= lim(x2+x + l) = l , xt(txt(flim/(x)= hm(ax + b) = b, :. b = ；/(x)在x = 0处的极限等于其两数值，即要 x->0+xt(r/(0) = 1,而当x = 0时，/(0) = x2+x + l = l。可见只要h = , /(兀)在x = 0处就连续；. av . (ax + ax +1) (0 +0 + 1). t又 lim = hm = lim (ar + 1

5、) = 1ar->o ar ar->oar山t(tv ay v a(0 +心)+ b (°2+0 + l)v b-lim = lim =a+ lim ,山to十 ay axt()+axay->0* ay要/(x)在x = 0处可导，则要lim 型二lim 绥 ,即要a+ lim ! = 1山t(t 心 心to+ ay&->(r ajb-t h = 1 , / lim = 0 ,此时应有 a = 1。山->0+ ar综上所述，当a=h = 吋，/(兀)在x = 0处连续并可导。2. 导数的几何与物理意义(1) 几何意义：函数/(切在点x°

6、处的导数的几何意义就是曲线y = /(x)在点p(xo,f(xo) 处的切线的斜率。过这点的切线方程可写为y-y0 = / (%0)>(x-x0)。(2) 物理意义：如果物体的运动方程为s = s(f),则在g点的导数值就是物体在g时刻的 瞬时速度。例.已知抛物线y = x2-4与直线y = x + 2,求两曲线的交点； 抛物线在交点处 的切线方程。(y = x + 2 ?求得交点为 a(2,0), b(3,5)；y = x -4(2) */ y 2x ,° y ir=_2 = -4 , y lx=3=6,抛物线在a、b处的切线方程分别为)，= -4(兀+ 2)与y 5 = 6

7、(兀3),即 4x + y + 8 = 0 与 6兀一y-13 = 0 。3. 导数的运算(1)常用的导数公式 c = o (c为常数)(x")，= w q)(护) (axy = a x na (sin x)f = cosx (cosx)z = - sin x (lnx)z = - (log. x = xxa两个函数的四则运算的导数若w(x)> y(x)可导，则 和差的导数：(u±u)二 ±u ;和差的导数可以推广到冇限个函数的情况，即(绚±“2 土土如)=2“ 土心土土知' 积的导数：(uv) =uv + uv ,特别地：(c"

8、)二c« (c为常数)； 商的导数：l=u'vuv' (y 0)v芮复合两数的导数设u = 0x)在点兀处可导,y = f(u)在点u = 0(x)处可导，则复合函数y = f0(x)在点x 处可导,且广= /©)&©)。3x x-jx + 5yx 9(4) y = ln(l- 2兀)；复合函数求导的顺序：先外后内。 例.求卜列函数的导数(1) y = (2x2 + 3)(3% - 2)；(3) y = cos yx ；w： (1)能曲去一：y' = (2x2 + 3)'(3x- 2) + (2x2 + 3)(3%- 2)=

9、4x(3x - 2) + (2x2 + 3) 3 = 18x2 -8x + 9解法二：.= (2x3 + 3)(3x - 2) = 6x3 - 4x 2 9x - 6 y' =18x2 -8x + 9.点评：在可能的情况下，求导时应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，例如解法二。3_1(2) / y = 3x2 x+ 5 9x 231 y, = 3(x2),-x, + 5,-%x2y3 z1i 9 l 1=3-*x2 -l + 0-9<()% 2 =7x(1 + )-1222x2点评：有的函数虽然表面为商的形式，但在求导前先对其进行恒等变形，然后进行求导，可 以避免使用商的求导法则，

10、从而减少运算量。 分析：这是一个复合函数，即y = cosu , u = 4x 0= (cosv)'(v)'= sinv7丄兀 © = -s" j22qx 分析：这也是一个复合函数，即y = inu , a = l-2x o灼眄2勿(i)：殳(处2二4. 有定义、极限、连续与可导的关系/(x)在x0处有定义是f(x)在兀。处连续的必要而不充分条件。/(x)在x0处连续是.f(x)在心处冇极限的充分而不必要条件。/(x)在x0处连续是/(x)在心处可导的必要而不充分条件。例.已知h(x) = f(x) + g(x),就下列情形,判断力(兀)在兀0处是否可导。(

11、!) /(x)在x。处可导，g(x)在x。处不可导；(2) /(x)与gs)在兀。处均不可导。分析：由于/2(x)的构成屮有不可导函数，所以不能使用运算法则，遇到这种情况，可以使 用反证法或是列举反例來说明问题。解:(1)由力(兀)=/(兀)+ g(兀)可得g(x) = /z(x)-/(x),假设力(兀)在心处可导，那么因 为己知/(兀)在兀。处可导，可推出gs)在心处可导，而这与已知的g(x)在心处不可导才盾， 所以/?(x)在兀0处不可导。(2) /7在x。处不一定可导，例如/(x) = |4 g(%) = -|x|,他们在x = 0处均不可导, 但 /?(x) = /(x) + g(x)

12、 = 0 在 x = 0 处可导；再如 f(x) = 2|x|, g(x) = -|x|,他们在 x = 0 处均不可导，但h(x) = f(x)g(x) = x在x = 0处不可导。能力测试认真完成!参考答案仔细核对!导数的概念导数的儿何意义导数的物理意义cf = 0 （c为常数）（xny = n - x,?_1（7i e q） （exy = ex（axy = axna（sin xy = cosx（cosx）' = -sin x（lnxy = -常用的导（log兀）、丄 数公式 '比丿pg 1 （w ± v）= u ± v ;t(wv) = w v + u

13、v u uv-uv'v v2 复合两数的导数1.函数/(x) = |x|(l + x)在点x = 0处是否有导数，若有,求出来，若没有，说明理由。解：/(x)可以改写为f(x)=ay = /(o + ax)-/(o) = /(ax) =lim = lim (-1 - ax) = -1 ,ar->0_lim 冬 h lim 乞a。 ax at->o* ax兀 + 兀？ (x > 0) -x - x2 (x < 0) 心+(心尸ax (ay)*",lim 复ar->0+ ay(心 > 0)(ax<0)lim (1 + ax) = 1 ,a

14、at0/当axto趋近于0吋,：函数/(x) = |x|(l + x)在点 求y = x(x2 +丄+丄)的导数。x x. 1 y = x" +1 + , / y = 3xjr求 y = x-sin cos的导数。 2 22.解:3.解：先使用三角公式进行化简:型无极限，ayx = 0处没有导数。x3.x x1 y = x-sin cos = xsinx - 2 2 2ri . yx sinxi2丿 1 1x (sin x) = 1 cosx。2 2点评：在求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，4. 求y=tanx的导数。

15、ssin x斛:/ y=tanx=,cosx2y9=sec xo5. 求 y = ln(x + 71 + x2)的导数。减少差错。 y =sin x (sin x)fcos x 一 sin x(cos x)1x+7i + x2 vi+x2 7i+%2cos2 xcos2 x11- 1+ (1 + /) 2(1 + /), x +j1 + x26.求y = -的导数。 e' -1解:宫 + 1)、一 1) - (护 + 1)(/ - 1)' _ 一 竺(护一 1尸=(，-1)22 y7求曲线尸片在u 处的切线方程。2x解：x2 + lzi 2-2 r.,2(x2 + l)-2x>2x