第13章电磁场与麦克斯韦方程组

1、新编基础物理学学习指导 第13章 电磁场与麦克斯韦方程组第13章 电磁场与麦克斯韦方程组一、基本要求1掌握电磁感应定律和楞次定律；2掌握简单情况下动生电动势及感生电动势的求解；3了解自感和互感，并会计算自感系数和互感系数。二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：计算动生电动势及感生电动势。难点：法拉第电磁感应定律的理解和应用。（二）知识网络结构图：电磁感应电磁感应定律全磁通（磁链）楞次定律感生电动势动生电动势非静电力自感互感自感系数互感系数（三）容易混淆的概念：1.动生电动势和感生电动势动生电动势由导体切割磁场线运动引起，受到洛仑兹力即非静电力的作用。当导体做匀速直线运动洛仑兹力和静电力平衡，

2、就得到了非静电场强公式，再由电动势定义式就可得动生电动势计算公式；感生电动势产生的原因是感生电场（涡旋电场），变化的磁场激发感生电场，并引起回路中磁通量发生变化，于是得到感生电动势计算公式。2.自感和互感自感现象是指当一个线圈中电流发生变化时，其激发的变化磁场引起线圈自身回路的磁通量发生变化，从而在线圈自身产生感应电动势；互感是指空间存在两个相邻线圈，当一个线圈中的电流发生变化时，在周围空间产生变化磁场，从而在另一线圈中产生感应电动势。（四）主要内容：1法拉第电磁感应定律： 或：（为磁通匝或磁链）2楞次定律：当穿过闭合回路所围面积磁通量发生变化时，回路的感应电流产生的磁通量要抵偿引起电磁感应的

3、磁通量的变化；或回路中感应电流总是要使它建立的磁场反抗任何引起电磁感应的变化。楞次定律可以确定感应电流方向。3动生电动势和感生电动势：（1）非静电场和动生电动势非静电场：动生电动势：，（沿）（2）感生电场和感生电动势变化磁场在周围空间激发感生电场 感生电动势：（感生电场不是保守场，是涡旋电场）4自感与互感：（1）自感：线圈中由于自身电流变化而产生感应电动势。（其中为自感系数，仅与回路形状及周围介质有关，与电流无关。）（2）互感：相邻两线圈，一线圈电流变化引起邻近线圈中产生感应电动势。（其中为互感系数，取决于两回路各自形状、匝数、相对位置及周围介质，与电流无关。）5麦克斯韦方程组的积分形式（五）

4、思考问答：问题1 有两个尺寸完全一样的环，一个是铜环，一个是木环。现在用两个条形磁铁的同一磁极一相同的速度分别同时插入两环中，问环内有无感生电场，有无感生电流？答 两环内均有感生电场，因为感生电场是由变化的磁场产生的，与闭合回路是否由导体构成无关；但是木环内不能形成电流。问题2 感生电场与静电场有哪些异同？答 相同点：感生电场与静电场都具有电能，对带电粒子都有作用力。不同点：首先静电场与感生电厂产生的原因不同，静电场是由静止电荷激发的，而感生电场是由变化的磁场激发的;其次，感生电场与静电场的场性质也不同，静电场的场性质有（有源场），（无旋场、保守场），感生电场的性质有（无源场），(有旋场、非保

5、守场)。问题3 在磁感应定律中,负号的意义是什么?你是如何根据符号来确定感应电动势的方向的?答：负号表示感应电动势方向总是阻碍磁通变化的方向，是楞次定律的数学表达式。先由右手法确定回路绕行正向及发现方向，在由判断回路中的是增还是减.若(增)，则，与绕行正方向相反；若(减),则，与绕行正方向相同。问题4 把一铜环放在均匀磁场中，并使环的平面与磁场的方向垂直。如果使环沿着磁场的方向移动（见图a)，在铜环中是否产生感应电流？为什么？如果磁场是不均匀的(见图b），是否产生感应电流？为什么？答：第一种情况，无感应电流。因为环在移动过程中环内的磁通量不发生变化。或运动方向平行于磁场线，无切割磁场线；第二种

6、情况，产生感应电流，因为环中的磁通量随环沿着磁场方向的移动而减少，或有切割磁场线，由法拉第中磁感应定律知环内有感应电流。问题5 如果要设计一个自感较大的线圈，应该从哪些方面去考虑？答：由于自感系数L与线圈匝数、形状、尺寸、磁介质有关，应从这几个方面考虑。问题6 自感是由L=规定的，能否由此式说明，通过线圈中的电流越小，自感L就越大？答：不能。因为L是由线圈自身的属性决定的，它是反映线圈阻碍电流改变的能力（即电磁惯）的物理量，与线圈中有无磁通、电流无关。式L=只是定义式，具有“测量”价值，当电流变化时，也会随之变化，但两者比值不变。问题7 试说明：（1）当线圈中电流增加时，自感电动势的方向和电流

7、方向是相同还是相反；（2）当线圈中的电流减小时，自感电动势的方向和电流的方向是相同还是相反。为什么？答：（1）相反。阻碍电流的增加，故与电流反向相反；（2）相同。阻碍电流的减小，故与电流方向相同。问题8 有的电阻元件是用电阻丝绕成的，为了使它只有电阻而没有自感，常用双绕法（见图）。试说明为什么要这么绕？答：由于采用双绕法，使电流的流向在双线中相反，回路中产生的磁链大小相等，符号相反，总磁链为零，电阻元件中无磁通变化，从而无自感的现象。问题9 互感电动势与哪些因素有关？要在两个线圈间获得较大的互感，应该用什么办法？答：与两线圈的相对位置、形状、匝数、磁介质的磁导率有关。可采用完全耦合（即无漏磁）

8、的办法来获得较大互感。问题10 有两个线圈，长度相同，半径接近相等，试指出在下列三种情况下，哪一种情况的互感最大？哪一种的互感最小？（1）两个线圈靠的很近，轴线在同一直线上；（2）两个线圈互相垂直，也是靠的很近；（3）一个线圈在另一个线圈的外面。答：若一个线圈中的磁场完全通过另一个线圈，反之，亦然，则称这种情况为“完全耦合”。若一个线圈中的磁场完全不通过另一个线圈，反之，亦然，则称这种情况为“完全不耦合”。 当同样的两个线圈处于“完全耦合”时，互感M最大；处于“完全不耦合”时，互感最小。由此可知，（3）情况中的M最大；（2）情况中的M最小。问题11什么叫位移电流？位移电流与传导电流有什么异同?

9、答：通过电磁场中某一截面的位移电流I等于通过该截面电位移通量对时间的变化率，即。与（传导电流）产生的原因不一样，为变化的电磁场引起的，为带电体定向移动引起的；不产生焦耳热，可以产生焦耳热。与在产生磁场方面是等同的节两者都遵循环路定律。问题12 试从以下三个方面来比较静电场与有旋电场：（1）产生的原因；（2）电场线的分布；（3）对导体中电荷的作用。答：如下表所示：项目静电场有旋电场（1） 产生的原因（2） 电场线的分别（3） 对导体中电荷的作用静止电荷不闭合有作用，作功变化磁场闭合的有作用，作功问题13 变化电场所产生的磁场，是否也一定随时间发生变化？变化磁场所产生的电场，是否也一定随时间发生变

10、化？答：（1）不一定，这要看电位移矢量D的时间变化率情况。若不含时变量，因为，所以B的解含时，则，即B随时间变化。（1） 也不一定，这要看磁感应强调B的实际变化率情况。 若不含时变量，因为，所以E的解不含时，则E=E( r),即E不随时间变化。若含时变量，因为，所以E的解含时，则E=E(r,t),即E随时间变化。三、解题方法1.利用法拉第电磁感应定律求感应电动势解题的关键是求出通过回路的磁通量。对于均匀磁场来说比较简单，对于非均匀磁场，必须采用积分的方法计算，要根据磁场分布的规律选择适当的面积元，使面积元上的磁场处处相等。求出磁通量（时间的函数）后，再对其求对之间的一阶导数，即可得到结果。对于

11、其方向的判断，可以根据磁通量及电动势的符号系统确定，也可以用楞次定律来判断。2计算动生电动势对于导体回路，可应用公式或计算；对于不构成回路的导体，可应用公式计算，也可以设计一个合适的假想回路以便于应用法拉第电磁感应定律公式。3.求自感计算自感的方法一般来说有3种。第一种利用公式求，此方法可类比于求电容的方法；第二种方法是利用，这种方法主要可用于实验测定；第三种方法是利用磁场能量公式和电感元件储能公式，先求出磁场在全空间的总磁能，再求出。四、解题指导1一无限长载流直导线通有电流，今有一矩形线圈与其共面，高度为初始位置左侧距长直导线为，右侧距长直导线为。求：（1）若线圈以在纸平面内向右运动，任意时

12、刻线圈中的感应电动势；（2）若线圈不动，随时间变化，其中为常量，任意时刻线圈中的感应电动势；（3）若以后，电流随时间变化（仍为常量）同时线圈以向右运动，任意时刻线圈内感应电动势。分析: 先由积分法求磁通量，再根据法拉第电磁感应定律求感应电动势。解：Ib+vtxOXa+vtdx（1）某一时刻线圈位置如图所示，取顺时针方向为绕行正方向，将线圈包围的平面分割成许多窄条，其中位于窄条的磁通量为，穿过整个面的磁通量：据电磁感应定律：沿顺时针方向。（2）在图中取顺时针方向为绕行正方向，穿过线圈磁通量：据电磁感应定律： 若沿逆时针方向；，沿顺时针方向。（2） 在图中仍取顺时针方向为绕行正方向，t时刻穿过线圈

13、磁通量：vtavtblkt+=ln220m（3）据电磁感应定律:CDIO11cm10cmw2一无限长直导线通有电流，金属杆AC与导线共面，并在平面内以角速度绕端点C作顺时针转动，当杆在如图所示与导线垂直位置，杆中的感应电动势为多大？哪一端电势较高？分析: 由非静电场动生电动势公式求解。解：以C点为坐标原点，CA为x轴正方向，位于的线元速度为方向向下。如图该点磁感应强度大小,方向垂直于纸面向里。该点非静电场强大小: ，沿轴正方向。V106.4 m11.0m21.0lnm11.0m1.02 dm11.02 d)m11.0(2 d 601.0001.0 0 01.0 0 -´=-=+=+=

14、×=òòòwmwmmweIxxxIxxIxkCA又因为沿轴正方向，故点A电势高。a ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´h ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´o ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´R ´ &#

15、180; ´ ´ ´´ ´ ´R ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´3圆柱形空间存在着轴向均匀变化磁场，在与轴垂直的平面内有一长为的金属棒距轴为，如图所示，求该棒的感应电动势。分析: 可用补偿法或感生电场分布法求解。解：方法1 补偿法如图，将棒端与轴心相连，金属棒构成封闭三角形，选顺时针方向为绕行正方向，穿过该三角形面积的磁通量：因半径上感生电场与半径垂直，感应电动势为零，故三角形闭合回路感应电动势即是金属棒感应电动势，负号表示沿逆时针方向。方法2 感生电场分布

16、法自圆心作棒的垂线与棒交点为坐标原点，沿棒向右为轴正方向，位于线元的感生电场大小，方向与该点径矢垂直，它在方向投影：而：，沿轴正方向。4如图所示，一边长为、总电阻为的正方形导体框，固定于一空间非均匀磁场中，磁场方向垂直于纸面向外，其大小沿轴方向变化，且。求：（1） 穿过正方形线框的磁通量；（2） 当随时间按变化时，线框中产生的感生电流的大小和方向。XYOaa· · · ·· · · ·· · · ·· · · ·· ·

17、; · ·分析: 在正方形导体框上取面积元，由积分式求磁通量;再由感应电动势公式求，感应电流为感应电动势除以电阻值。解：(1)(2) 方向顺时针。5.如图所示，一根长为的铜棒，位于方向垂直纸面向内的均匀磁场中，按逆时针方向绕轴匀速转动，角速度为，求两端的电势差。分析: 铜棒在转动时，其上各点的运动速度都不相同，我们可以将铜棒分割为许多线元。可以认为线元上各点的速度大小相等，因此首先确定线元的动生电动势，而铜棒上各线元的电动势之和即为整个棒上的动生电动势。解：在离O轴为的地方取一线元,线元的速度为,则有：=所以a、b两端的电势差为：根据的方向可知，a端电势高。6一直角三角形线

18、圈与无限长直导线共面，其中边与长直导线平行，位置和尺寸如图所示，求两者的互感。分析: 根据互感的定义，本题的关键是计算通过三角形线圈的磁通量。积分面积元应取平行于长直导线，宽度为的矩形面积。解：设长直导线通以电流，在距导线处取一宽度为的矩形面积元，则通过三角形线圈磁通量为：因此互感系数为：7.截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图所示，共有匝（图中仅画出少量几匝），求该螺绕环的自感。分析 如同电容一样，自感和互感都是与回路系统自身性质（如形状、匝数、介质等）有关的量。求自感的方法有两种：1. 设有电流通过线圈，计算磁场穿过自身回路的总磁通量，再用公式计算。2. 让回路中通以变化率已知的

19、电流，测出回路中的感应电动势，由公式计算。式中和都较容易通过实验测定，所以此方法一般适合于工程中。解：设有电流通过线圈，线圈回路呈长方形。由安培回路定理可求得在范围内的磁场分布为：由于线圈由匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为：则：若管中充满磁导率为的均匀同种磁介质，则自感将增大倍。8.半径为的无限长直载流密绕螺线管，管内磁场可视为均匀磁场，管外磁场可近似看作零.若通电电流均匀变化，使得磁感强度随时间的变化率为常量，且为正值，试求：（1）管内外由磁场变化激发的感生电场分布；（2）如，求距螺线管中心轴处感生电场的大小和方向.分析：变化磁场可以在空间激发感生电场，感生电场的空间分布与场源变化

20、的磁场（包括磁场的空间分布以及磁场的变化率等）密切相关，即在一般情况下，求解感生电场的分布是困难的.但对于本题这种特殊情况，则可以利用场的对称性进行求解.可以设想，无限长直螺线管内磁场具有柱对称性，由其激发的感生电场也一定有相应的对称性，考虑到感生电场的电场线为闭合曲线，因而本题中感生电场的电场线一定是一系列以螺线管中心轴为圆心的同心圆.同一圆周上各点的电场强度的大小相等，方向沿圆周的切线方向.至于电场线绕向为顺时针或逆时针，则取决于场源变化磁场的变化情况，由楞次定律可知，当时，电场线绕向与方向满足右旋关系；当时，电场线绕向与前者相反。解：分别在和的两个区域内任取一电场线为闭合回路（半径为的圆

21、），并设顺时针方向为回路正向。 （1） 由于，故电场线的绕向为逆时针。 （2） 由于，所求点在螺线管外，因此： 将的数值代入，可得，式中负号表示的方向沿电场线的切线方向，是逆时针的。9在半径为的圆柱形空间中存在着均匀磁场，的方向与柱的轴线平行.如图所示，有一长为的金属棒放在磁场中，设随时间的变化率为常量。试证：棒上感应电动势的大小为： OP ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´

22、80;´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´Q分析：本题可用

23、法拉第电磁感应定律求解，具体方法是：如图所示，连接，设想构成一个闭合导体回路，由于沿半径方向，与通过该处的感生电场强度处于垂直，故，；两段均无电动势，这样，由法拉第电磁感应定律求出的闭合回路的总电动势，就是导体棒上上的电动势。证明：由法拉第电磁感应定律，有： 五、能力训练1.在感生电场中，式中为感生电场场强，此式表明（ ）。（A）闭合曲线上处处相等（B）感生电场是保守力场（C）感生电场的电场强度线不闭合（D）在感生电场中，不能引入电势的概念· · · · · · ·· · · · &#

24、183; · ·· · · · · · ·· · · · · · ·· · · · · · ·· · · · · · ·wMNO题2图2根据公式计算动生电动势的条件，下列叙述中错误的是（ ）。（A）直导线不一定是闭合回路中的一段（B）切割速度不一定必须（对时间）是常量（C）导线不一定在匀强磁场中（D

25、）三者必须互相垂直3如图所示，铜棒在均匀磁场中以匀角速度绕与磁场平行的轴转动，若：ROPB题3图则两端的电势差为（ ）。（A）0.90V （B）-0.90V （C）0.54V （D）-0.50V4在均匀磁场中，有一半径为的导体圆盘，盘面与磁场方向垂直。当圆盘以角速度绕其轴线转动时，盘心O点与边缘P点间的电势差为（ ）。（A） （B） （C） （D）5对位移电流，下列说法正确的是（ ）（A）位移电流的实质是变化的电场（B）位移电流和传导电流一样是定向运动的电荷（C）位移电流服从传导电流遵循的所有定律（D）位移电流的磁效应不服从安培环路定理6. 有两个线圈，线圈1对线圈2的互感系数为，而线圈2对线

26、圈1的互感系数为。若它们分别流过和的变化电流且，并设由变化在线圈1中产生的互感电动势为，由变化在线圈2中产生的互感电动势为，下述论断正确的是（ ）（A） , （B） , 题6图（C） , （D） , 7.如图所示，一根载流导线被弯成半径为的1/4圆弧，放在磁感应强度为的均匀磁场中，则载流导线所受磁场的作用力的大小为（ ）。(A) （B） （C） （D）题8图题7图 8.如图所示，为一折成形的金属导线()，位于平面中；磁感强度为的匀强磁场垂直于平面。当以速度沿轴正向运动时，导线上两点间电势差（ ）。（A） （B） （C） (D) 9.如图所示，导线长为，绕过点的垂直轴以匀角速转动，磁感应强度平行

27、于转轴，则两端的电势差等于（ ）。题9图(A) (B) (C) （D） 10.设螺线管长为，截面积为，单位长度上的匝数为，螺线管内为真空，则计算长直螺线管的自感系数为（ ）。（A） （B） （C） （D）11半径为的小导线圆环置于半径为的大导线圆环的中心，二者在同一平面内。且。若在大导线圆环中通有电流，其中为常量，为时间。则任意时刻，小导线圆环中感应电动势的大小为_。YXvvaoc´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´´ ´ ´ ´ ´ 题12图12一个折成角形的金属导线 ()位于平面中，磁感强度为的匀强磁场