2022年全等三角形的基础和经典例题含有答案

1、第十一章：全等三角形一、基础知识1. 全等图形的有关概念（1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。例如：图 13-1 和图 13-2 就是全等图形图 13-1 图 13-2 （2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。例如：图 13-3 和图 13-4 中的两对多边形就是全等多边形。图 13-3 图 13-4 （3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形， 经过运动而重合， 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。（4）全等多边形的表示例 如 ： 图 13-5 中 的两 个 五 边 形 是 全 等 的 ， 记 作

2、 五 边 形 abcde 五 边 形abcde（这里符号“”表示全等，读作“全等于”） 。图 13-5 表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。a b d c e bacde精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - -（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。2.

3、 全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。（2）根据 sss 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。相似三角形的识别法中有一个与（sss ）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1 时，就成为全等三角形。（3）根据 sas 如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。相似三角形的识别法中同样有一个是与（sas ）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为 1 时，即为全等三角形。（4）根据 asa 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，

4、那么这两个三角形全等。（5）根据 aas 如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。3. 直角三角形全等的识别（1）根据 hl 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。（2）sss 、sas 、asa 、aas对于直角三角形同样适用。判断两个直角三角形全等的方法可分为：已知一锐角和一边或已知两边。4. 证明三角形全等的方法证明三角形全等的一般方法有四种： “sss ” 、 “sas ” 、 “asa ” 、 “aas ” 。每一种都有给出三个独立的条件， 在具体问题中， 题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和

5、证明。判定方法的选择：已知条件可选择的判定方法一边对应一角对应相等sas aas asa 两角对应相等asa aas 两边对应相等sas sss 具体地说，证明角相等的常用方法有：对顶角相等；两直线平行，同位角、内错精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - -角相等；同角（或对角）的余角（补角）相等；角平分线平分的两角相等；角的等量代换等。证明线

6、段相等的方法有：同一线段；中点的定义；平行四边形的对边；等腰三角形的两腰；边的等量代换等。为什么“aaa ”和“ssa ”不能判定两个三角形全等？这是因为有三个角相等，但边不一定相等，则三角形不一定全等， 如图 13-6， 可以看出 abc不全等于 ade ；同样，如果两边及其中一边的对角相等，也不能确定三角形全等，如图13-7，ab=ab,ac=ad, b=b，但 abc与abd 不全等。图 13-6 图 13-7 5. 证明两个三角形全等如何入手证明两个三角形全等一般采用“综合法”与“分析法”两种。（1）综合法，就是从已知条件入手，进行推理，逐步向要证的结论推进，如从已知条件中推导出对应边

7、或对应角相等，从而推导出三角形全等。 同时，也可以从三角形全等推导出对应边、对应角的相等，达到正题的目的。（2）分析法，即从欲证的结论出发，分析结论成立的必需条件，各种条件联系已知，寻找它们之间的关系， 逐步靠拢已知条件， 从而分析出已知与结论的因果关系。证题时，分析法与综合法结合起来使用更加有效，证三角形全等时， 既要有明显的已知条件， 又要有隐藏的条件， 通过综合法罗列已知条件， 再通过分析法找出隐藏条件，从而得证。二、经典例题例 1： （1）已知一个三角形有两边的长分别为2cm ，13cm ，又知这个三角形的周长为偶数，求第三边长。（2）在 abc中，已知 a+c=2b,c-a=80，求

8、 c 。 考点透视 （1）考察三边关系的应用； （2）考察三角形内角和定理 参考答案 解：（1）设第三边为 xcm，则132132x即1115x周长lxx21315的范围是1511151515x即 2730l又 l 为偶数l28lx1528a b d e c a d c b 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - -a e 66 54 b d

9、c x13即第三边长为 13cm （2）acb2abcacbbbb()23180b60acb2120又ca80由acca12080得ac20100c100例 2：已知，在 abc中，ad是角平分线，b66，c54，deac于 e，求：adb和ade 考点透视 考察三角形内角和定理及推论、角平分线、高线的性质 参考答案 解：由三角形内角和定理，得bacbc180180665460()又 ad 平分baccadbac12126030adbcadc305484（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）在rt ade中adecad90903060（直角三角形的两个锐角互余）例 3：已知：在abc

10、和a b c中aabbcd ab，于 d，c da b于 d ，且 cdc d求证：abca b c精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - -a ad db c b c 考点透视 如果两个三角形有两个角和这两个角夹边的高对应相等，那么这两个三角形全等。 参考答案 证明：在 rt adc 和 rt a d c中aaadca d ccdc d90r

11、t adcrt a d caas()aca c（全等三角形对应边相等）在abc和a b c中aabbaca cabca b caas()三适时训练（一）精心选一选1在 abc中， a:b:c=1:2:3 ，且 abc def ，bc=ef ，点 a 的对应顶点是 d，下列说法正确的是（）a. c与f互余 b. c与d互余c. b与f互余 d. a与e互余2如图， abc中，ab=ac ，ce 、bd分别是 ab 、ac边上的中线， am ce于 m ，an bd于 n，则图中全等三角形共有（）a. 3 对 b. 4对 c. 5对 d. 6对3如图， acd 中，ab cd且 bd cb ，bc

12、e和abd都是等腰 rt，下列结论 abc dbe ； acb abd ； cbe bed ； ace ade ；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - -正确的是（）a. b. c. d. 4如图， abe和adc是abc分别沿 ab ，ac边翻折 180形成的，若 1:2: 3=28:5:3 ，则度数为（）a. 60 b. 70 c. 80

13、 d. 905下列命题正确的是（）a. 两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等b. 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等c. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等d. 一条直角边和斜边上的高对应相等的两个rt全等6. 在abc 内部取一点 p 使得点 p 到abc 的三边距离相等，则点p 应是abc 的哪三条线交点（）（a）高（b）角平分线（c）中线（d）垂直平分线已知7. 下列条件能判定 abc def 的一组是（）（a）a=d， c=f， ac=df （b）ab=de ， bc=ef，a=d （c）a=d， b=e，c=f（d）ab=de ，abc 的周长等于 de

14、f 的周长（二）细心填一填1如图 2-1，一长方形 abcd 纸片，以 ef为折痕折叠，点b落在点 m ，en是mec 的角平分线，则 fen= 2如图 2-2，在 abc中， bac:abc:acb=3:5:10，且 abc ，则 1:2= 3如图 2-3 ，若 abc ade ，e=c，1=20，则 2= 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 27 页 - - - - - - -

15、 - -4如图 2-4，在正方形 abcd 中，e是 ad中点，f 是 ba延长线上一点， ab=2af ，在图中可通过（填“平移”， “翻折” ，或“旋转”）使 abe变到adf的位置，这时 be与 df之间的位置关系是5 如图 2-5， abc中， c=90 ， ac=bc ， ad平分 cab ， de ab于 e， 若 ab=4cm ，则bde的周长是6. 已知，如图 2-6，ad=ac ，bd=bc ，o为 ab上一点，那么，图中共有对全等三角形7. 如图2-7 ， abc ade ，则， ab= ， e=若bae=120 ， bad=40 ，则 bac= 8. 在abc和abd中，

16、 c= d=90 ，若利用“ aas ”证明 abc abd ，则需要加条件或； 若利用“ hl”证明 abc abd ，则需要加条件，或9. 把两根钢条 aa? 、bb? 的中点连在一起， 可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳） ， 如图 2-9， 若测得 ab=5厘米，则槽宽为米。10. 工人师傅砌门时， 如图所示，常用木条 ef固定矩形木框 abcd ， 使其不变形，这是利用，用菱形做活动铁门是利用四边形的。图 2-1 图 2-2 图 2-3 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 27 页 - - - - - - - -

17、 -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - -图 2-4 图 2-5 图 2-6 图 2-7 图 2-9 图 2-10 三、认真答一答1如图， ab=ad ，ac=ae ，且 dab= cae ，be与 cd交于点 p，ap的延长线交bc于 f，试判断 bpf与cpf的关系，并加以证明。2如图， am为abc的中线， ae ab ，af ac ，且 ae=ab ，af=ac ，ma的延长线交 ef于点 p，求证： ap ef。3. 已知：如图， c 为 be 上一点，点 a 分别在 be

18、两侧.abed,ab=ce,bc=ed. 求证:ac=cd. 4已知：如图，op 是 aoc 和 bod 的平分线， oa=oc，ob=od. acedb精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - -求证： ab=cd5我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。（1）请写出一个你学过

19、的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在abc中，点d、e分别在ab、ac上，设cd、be相交于o，若60a，12dcbebca，请你写出图中一个与a相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在abc中，如果a是不等于60o的锐角，点d、e分别在ab、ac上，且12dcbebca，探究： 满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论 . 6. 已知：如图，bd 为平行四边形abcd 的对角线， o 为 bd 的中点， efbd 于点 o，与 ad 、 bc 分别交于点e、f。求证： de=df 。7如图，在o 中， d、e 分别为半径oa 、ob 上的点，

20、且ad be点 c 为弧 ab 上一点，连接cd、ce 、co ， aoc boc 求证： cd ce精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - -8如图，已知在 abc 中 ab=ac ， d 为 bc 边的点 d 作 de ab,df ac,垂足分别为e、f。（1）求证： bed cfd; （2）若 a=90 ，求证：四边形dfae 是正方形。

21、9如图，已知abc 为等边三角形，点d、e 分别在 bc 、ac 边上，且ae=cd ， ad 与be 相交于点f(1)求证： abe cad ；(2)求 bfd 的度数10. 八（ 1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端a、b 的距离，设计了如下方案：（）如图1，先在平地上取一个可直接到达a、b 的点 c，连接 ac、bc，并分别延长 ac 至 d，bc 至 e，使 dc=ac ，ec=bc ，最后测出de 的距离即为ab 的长；（）如图2，先过 b 点作 ab 的垂线 bf，再在 bf 上取 c、d 两点使 bc=cd ，接着过d 作 bd 的垂线 de ，交 ac 的延长线于e，则

22、测出de 的长即为ab 的距离 . 图 1 图 2 阅读后回答下列问题：（1）方案（）是否可行？请说明理由。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - -a e d 2 4 b f c 3 1 （2）方案（）是否可行？请说明理由。（3）方案（）中作bfab，ed bf 的目的是；若仅满足 abd= bde 90，方案（）是否成立？.11. 已知

23、，如图ab/cd ，be、ce 分别是abc、bcd的平分线，点e 在 ad 上，求证：bcabcd12. 一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图所示形式，使点b，f， c， d 在同一条直线上（1）求证： ab ed（2）若 pbbc，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明13如图，在abcd 中，对角线ac 、bd 相交于点o. 请找出图中的一对全等三角形，并给予证明. e f m b c p n d a b e d c f 0 3d，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 2

24、7 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - -14. 如图，直线l 切 o 于点 a，点 p 为直线 l 上一点，直线po 交 o 于点 c、b，点 d 在线段 ap 上，连结db ，且 ad=db （1）求证： db 为 o 的切线（2）若 ad=1 ，pb=bo ，求弦 ac 的长. 15. 已知：如图，直径为oa的m与x轴交于点oa、 ，点bc、把?oa分为三等份，连接mc并延长交y轴于点(0 3)d，（1）求证：omdbao；（2）若直线l：

25、ykxb把m的面积分为二等份，求证：30kbabcdoy x c b a m o 4 2 1 3 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - -16. 如图，四边形abcd 是矩形， pbc 和 qcd 都是等边三角形，且点p 在矩形上方，点 q 在矩形内求证：（1） pba= pcq=30 ； （2）pa=pq 17. 如图，o是rtabc的

26、外接圆，点o在ab上，bdab，点b是垂足，odac，连接cd求证：cd是o的切线d b a o c a c b d p q 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 27 页 - - - - - - - - -18.abc是等边三角形，点d是射线bc上的一个动点（点d不与点bc、重合），ade是以ad为边的等边三角形，过点e作bc的平行线，分别交射线abac、于点fg、，连接be（

27、1）如图（ a）所示，当点d在线段bc上时求证：aebadc；探究四边形bcge是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示， 当点d在bc的延长线上时， 直接写出 （1）中的两个结论是否成立？（3）在（ 2）的情况下，当点d运动到什么位置时，四边形bcge是菱形？并说明理由19. 如图，cf、在be上，adacdfbfec，求证：abdea g c d b f e 图（ a）a c b f e g 图（ b）a b c f e 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习

28、资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 27 页 - - - - - - - - -20. 如图，在 abe 中， ab ae,ad ac, bad eac, bc 、de 交于点 o. 求证： (1) abc aed ；(2) ob oe . 21. 如图，在rt abc 中， c=90，以 bc 为直径作 o 交 ab 于点 d，取 ac 的中点e，连结 de、 oe（1）求证： de 是 o 的切线；（2）如果 o 的半径是1.5cm，ed=2cm ，求 ab 的长22. 如图，abcd 是正方形 g 是 bc 上的一点， de

29、ag 于 e，bfag 于 f（1）求证：abfdae；（2）求证：deeffb23. 如图 9， 若 abc 和 ade 为等边三角形， m ， n 分别 eb， cd 的中点， 易证：cd=be ，amn 是等边三角形ocebdab a d o c a d e f c g 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 27 页 - - - - - - - - -（1） 当把 ade

30、绕 a 点旋转到图10 的位置时， cd=be 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由； （4 分）（2）当 ade 绕 a 点旋转到图11 的位置时， amn 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当ab=2ad时， ade 与 abc 及 amn 的面积之比；若不是，请说明理由。24. 如图 9， p 是 bac 内的一点，peabpfac， 垂足分别为点ef， ，afae求证： （1）pfpe；（2）点 p 在 bac 的角平分线上25. 已知：如图，在rtabc 和 rt bad 中， ab 为斜边， ac=bd ，bc ，ad 相交于点 e(1) 求证： ae=be ；

31、(2) 若 aec=45 ， ac=1 ，求 ce 的长 edcba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - -参考答案（一）精心选一选1. d 2. c 3. b 4. c 5. d 6.b 7.a （二）细心填一填1. 902. 1:4 3. 204. 旋转；垂直5. 4cm 6.3 7.ad ， c，80 8. cab= dab ， c

32、ba= dba ， ac=ad ，bc=bd 9. 5 厘米10. 三角形的稳定性，不稳定性（三）认真答一答1. 相等，过 a 作 am dc ，an be，证明 dac bae ，所以利用全等三角形的对应高相等得到am=an ，所以 bpf= cpf 2. 延长 am 至 n，使 mn=am，证明 amc nmb ，所以 ac=nb ，再证明 eaf abn ，得到 e= ban ，因为 ban+ eap=90 ，所以 e+eap=90 ，所以apef 3证明：abedq，be在abc和ced中，abcebebced，abccedaccd4、证明：op 是 aoc 和 bod 的平分线，,a

33、opcopbopdopaobcod在aob和cod中，,oaocaobcodobodaobcodabcd精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - -5、解：（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可（ 2）与 a 相等的角是bod （或 coe ）四边形 dbce 是等对边四边形. （ 3）此时存在等对边四边形dbce. 证明 1：如图，作c

34、gbe 于 g 点，作 bfcd 交 cd 的延长线于f 点. dcb= ebc=12a，bc 为公共边 bgc cfb bf=cg bdf= abc+ dcb= abe+ ebc+ dcb= abe+ a gec= abe+ a bdf ceg bd=ce 故四边形dbce 是等对边四边形. 证明 2：如图，在be 上取一点f，使得 bf=cd ，连接 cf. 易证 bcd cbf ，故 bd=cf ， fcb= dbc. cfe= fcb+ cbf= dbc+ cbf= abe+2 cbf= abe+ a cef= abe+ a cf=ce bf=ce 故四边形dbce 是等对边四边形.

35、6证法一：在平行四边形abcd 中， ad/bc obf= ode o 为 bd 的中点 ob=od 在 bof 和 doe 中obfodeobodbofdoe bof doe of=oe efbd 于点 o de=df 证法二： o 为 bd 的中点bo=do efbd 于点 o bf=df bfo= dfo 在平行四边形abcd 中， ad/bc bfo= deo deo= dfo de=df 7证明： oa=ob ad=be oa-ad=ob-be即 od=oe 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 27 页 - - -

36、 - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 27 页 - - - - - - - - -在 odc 和 oec 中ococeocdocoeod odc oec cd=ce 8 （1） deab,df ac, bed= cfd=90 , ab=ac, b=c, d 是 bc 的中点 , bd=cd bed cfd. （ 2） deab,df ac aed= afd=90 a=90四边形dfae 为矩形 bed cfd de=df 四边形dfae 为正方形9。 （ 1）证明：abc 为等边三角形 bac= c=6

37、0, ab=ca, 在 abe 和 cad 中ab=ca, bae= c, ae=cd abe cad （ 2）解 bfd= abe+ bad 又 abe cad abe= cad bfd= cad+ bad= bac=60 10 （1）可以；（2）可以；（3）构造三角形全等，可以11. ab/cd abcbcd180又 be、ce 平分abcacd，ebcabcecbbcd1212，ebcecbabcbcd121218090()bec90（三角形内角和定理）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 27 页 - - - - -

38、- - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 27 页 - - - - - - - - -在 bc 上取 bfba ，连结 ef 在abe和fbe中abfbabefbebebeabefbe sas()12（全等三角形对应角相等）13180bec131801809090bec又，24901234（等量代换）在cfe和cde中fcedcecece()角平分线定义43cfecde asa()cdcf（全等三角形对应边相等）bcbfcfabcd12. （ 1）由于 abc 与 def 是一张矩形纸片沿对角线剪开而得到两张三角形，

39、所以abc def ， 所以 a d， 在anp 和dnc 中， 因为 anp dnc ， 所以 apn dcn ，又 dcn 90 ，所以 apn 90 ，故 ab ed（ 2）答案不唯一，如abc dbp ；pem fbm ； anp dnc 等等以abc dbp 为例证明如下：在abc与dbp 中，因为 a d， b b，pbbc ，所以 abc dbp 13.例： aob cod. 证明：四边形abcd 为平行四边形，oa=oc ，ob=od ，又 aob= cod ， aob cod. 14 （1）证明 : 连结 od pa 为 o 切线 oad = 90精品学习资料 可选择p d

40、f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 27 页 - - - - - - - - - oa=ob ，da=db ，do=do ， oad obd obd= oad = 90，pa 为 o 的切线（ 2）解：在rtoap 中， pb=ob=oa opa=30 poa=60 =2c ，pd=2bd=2da=2 opa= c=30 ac=ap=3 15. 证明：（ 1）连接bm，bc、把?oa三等分，1560，又o

41、mbm，125302，又 oa 为m直径，90abo，12aboaom，360，13，90domabo，在omd和bao中，13.omabdomabo，omdbao（asa）（ 2）若直线l把m的面积分为二等份，则直线l必过圆心m，(0 3)d，160，33tan603odom，(3 0)m，把( 3 0)m，代入ykxb得：30kb精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 27 页

42、 - - - - - - - - -a c b d p q 16. 证明： (1)四边形 abcd 是矩形，abc= bcd=90 pbc 和 qcd 是等边三角形，pbc= pcb= qcd=60 ，pba= abc pbc=30 ，pcd= bcd pcb=30 pcq= qcd pcd=30 pba= pcq=30 (2)ab=dc=qc， pba= pcq ， pb=pc ，pab pqc，pa=pq 17. 证明：连接coodaccodacocaodobq，acocaocoddobq又ododocob，codbod90ocdobdoccd，即cd是o的切线18. （1）证明：abc和

43、ade都是等边三角形，60aeadabaceadbac，又eabeadbad，dacbacbad，eabdac，aebadc法一：由得aebadc，60abec又60bacc，abebac，ebgca g c d b f e 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 27 页 - - - - - - - - -又egbc，四边形bcge是平行四边形法二：证出aegadb，得egabb

44、c由得aebadc得becg四边形bcge是平行四边形（ 2）都成立（ 3）当cdcb（2bdcd或12cdbd或30cad或90bad或30adc）时，四边形bcge是菱形理由：法一：由得aebadc，becd又cdcb，becb由得四边形bcge是平行四边形，四边形bcge是菱形法二：由得aebadc，becd又四边形bcge是菱形，becbcdcb法三：四边形bcge是平行四边形，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

45、- - - - - - - 第 23 页，共 27 页 - - - - - - - - -becgegbc，6060fbebacfabc ，60ffbe，bef是等边三角形又abbc，四边形bcge是菱形，abbebf，aefg30eag，60ead，30cad19. 证明：acdfq，acedfb，acbdfe又bfec，bfcfeccf，即bcef又ad，abcdefabde20. 证明： (1) bad eac bac= ead 在 abc 和 aed 中a b c f e 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 27 页

46、 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 27 页 - - - - - - - - -abaebaceadacad abc aed(sas) (2)由(1)知 abc= aed ab=ae abe= aeb obe= oeb ob=oe 21. 证明： （1）连结 od由 o、e 分别是 bc、 ac 中点得 oe ab 1=2， b= 3，又 ob=od 2=3而 od=oc ，oe=oe oce ode oce= ode 又 c=90 ，故 ode =90 de 是 o 的切线（ 2）在 r

47、tode 中，由32od，de=2 得52oe又 o、e 分别是 cb、ca 的中点ab=2 5252oe所求 ab 的长是 5cm22. 证明： （1） de ag ，bfag ， aed= afb=90 abcd 是正方形， de ag， baf+ dae=90 ， ade+ dae=90 ， baf = ade 又在正方形abcd 中， ab=ad 在 abf 与 dae 中， afb = dea=90 ，baf = ade ，ab=da ， abf dae （ 2） abf dae ， ae=bf ，de=af 又 af=ae+ef ， af=ef+fb ， de=ef+fb 23. 解： （1）cd=be