数项级数审敛法

1、第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法一一.正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法每一项都非负其部分和数列有界定理1(基本定理)正项级数 收敛的充要条件是1nnu证(充分性)1nnu是正项级数,因此nnkknuuuus 211单调增加单调有界数列必有极限,则级数收敛.(必要性)由收敛数列必有界的性质可知定理2(比较审敛法)1nnu设 和 都是正项级数,1nnv且)., 2 , 1( nvunn1nnu1nnv若 收敛,则 收敛;1nnu1nnv若 发散则 发散.证:设 收敛于,1nnv则 部分和1nnunnuuus 21 nvvv211nnu

2、由定理1,收敛.1nnv1nnu反之,若 发散则 必发散.否则与上面的结论矛盾.注意: 定理2可以与第一节的性质相结合,灵活运用. pppn131211例: p-级数的敛散性解0p时,级数显然发散.因为 , 而 发散,则 p-级数发散nnp1111nn1p时, )1519181()71615141()3121(1ppppppppp它的各项不大于下面的等比级数各项 31211)21()21(211)818181()41414141()2121(1pppppppppppp收敛收敛因此 p-级数的部分和有界,故收敛. 发散 收敛1p1p10 p时,例. 判断级数敛散性:1)2)(1(1).1 (nn

3、n21)2)(1(1nnn而 收敛121nn收敛1) 1(1).2(nnn11) 1(1nnn而 发散 3121) 1(11nn发散nnn1sin1).3(1231111sin1nnnnn而 收敛1231nn收敛定理3(比较审敛法极限形式)设 和 都是正项级数,1nnu1nnv如果)0(limllvunnn则 和 同时收敛或同时发散.1nnu1nnv证lvunnnlim,2l对存在自然数n, 当 nn 时,22llvullnnnnnvluvl232即由比较审敛法可知结论例如前面例(3),由1111sin1limnnnnn也可以得出结论例1)11ln(nn1)11 (limln1)11ln(li

4、mnnnnnn而 发散11nn发散定理4.(比值审敛法)设 是正项级数,1nnu如果nnnuu1lim则:10).1 (1).2(收敛;发散;1).3(无法确定.(证明略)例. 判断级数敛散性:10!).3(1nnnnn:!10).1 (1nnn:10!).4(1nnn:!).2(1nnnnnnnuu1lim1010!)!1(10lim1nnnnnnnnuu1limnnnuu1limnnnuu1lim!1010)!1(lim1nnnnn11!) 1()!1(lim1ennnnnnn11010!) 1(10)!1(lim11ennnnnnnnn收敛收敛发散发散定理5.(根值审敛法)设 是正项级数

5、,1nnu如果nnnulim则:10).1 (1).2(收敛;发散;1).3(无法确定.(证明略)例 证明 nn13121132收敛并估计以 近似代替和 s 所产生的误差ns01limlimnunnnn解则级数收敛 321)3(1)2(1)1(1|nnnnnnnrnnnnnnnnn)1(1)1(1)1(1)1(1321 二二.任意项级数及其审敛法任意项级数及其审敛法各项为任意实数的级数1. 交错级数:11) 1(nnnu,.)2 , 1, 0( ,) 1(1nuunnnn或定理6 (莱布尼兹定理)若交错级数11) 1(nnnu满足:0lim).(,.)2 , 1( ;).(1nnnnuiinu

6、ui则级数收敛,且其和 ,其1us 1|nnur证)()()(21243212nnnuuuuuus 1543212)()(uuuuuusn 单调有界12limussnnsussnnnnn)(limlim122121limussnn则同理.|121 nnnnuuur交错级数例如 nn1)1(41312111,.)2 , 1( ;111).(1nunnuinn01limlim).(nuiinnn收敛且s1如果nssnn1)1(41312111 则11|nrn2. 绝对收敛与条件收敛对于一般的任意项级数1nnu考虑1|nnu正项级数1|nnu收敛,则1nnu绝对收敛1nnu收敛,而 发散,则1|nn

7、u1nnu条件收敛例如111)1(nnn1211)1(nnn绝对收敛条件收敛定理7. 如果 绝对收敛,则 必收敛1nnu1nnu证设|)|(21nnnuuv则|, 0nnnuvv由1|nnu收敛知1nnv收敛而|2nnnuvu则1nnu收敛注意:(1) 逆命题不成立 (2) 如果用比值或根值审敛法判定 发散1|nnu1nnu则 发散(证明略)例12sinnnn221sinnnn121nn收敛收敛12sinnnn绝对收敛例1ln)1(nnnn1ln)1(nnnn对1lnnnn,.)4, 3(1lnnnnn发散而11nn发散1ln)1(nnnn对0lim).(,.)4 , 3( ;).(1nnnn

8、uiinuui收敛条件收敛)2.(ln)(xxxxf).(0ln1)(2exxxxf单调减少思考.12| )1(|,12| )(| )( |, 0)( 0,)( 21)( ! 21)0( )0()(0)0( , 0)0(0)(0)(lim22220法知原级数绝对收敛由正项级数的比较判别则令使上连续在包含原点的小闭区间又之间与介于从而邻域内有连续二阶导数在及nmnfnxxmxfmxfmxfxxfxfxffxfffxxfxxfx.1,0)(lim,0)(. 110绝对收敛证明且邻域内有连续二阶导数在设nx)n(fxxfxxf.12sinlim1sin)(sin)(sin)(sin1121122222222故原级数发散一致，应为发散的敛散性与记nnnnnnnnnnnvuvuvnnnnnnnnnnnnnnnnnnu122)(sin. 2nnnn.)(,)(.)(0111的收敛性知原级数收敛及由而别法知其收敛且由正项级数的比较判为正项级数，nnnnnnnnnnnnnnnnaacaaccacabac收敛证明收敛，且及设111,.3nnnnnnnnncbcaba收敛证明收敛设112|,.4nnnnnaa.1),