清华机械工程控制基础课件第二章自动控制系统的数学模型

1、2021-11-23机械工程学时与学分：学时与学分：40/2.540/2.5 基本教学内容与学时安排基本教学内容与学时安排 一绪论一绪论 4 4 学时学时 二自动控制系统的数学模型二自动控制系统的数学模型 6 6 学时学时 三时间响应分析三时间响应分析 8 8 学时学时 四频率特性分析四频率特性分析 8 8 学时学时 五系统的稳定性五系统的稳定性 8 8 学时学时 六系统的性能指标与校正六系统的性能指标与校正 4 4 学时学时2021-11-23机械工程二、自动控制系统的数学模型2.0 基本概念2.1 系统的微分方程2.2 laplace 变换及系统传递函数2.3 系统的传递函数方框图及其简化

2、2.4 反馈控制系统的传递函数2.5 相似原理2021-11-23机械工程 2.02.0基本概念基本概念1)1)建立数学模型的意义建立数学模型的意义( (1)1)可可定性定性地了解系统的工作原理及其特性地了解系统的工作原理及其特性; ;(2)(2)更能更能定量定量地描述系统的动态性能地描述系统的动态性能; ;(3)(3)揭示系统的内部结构、参数与动态性能之间的关揭示系统的内部结构、参数与动态性能之间的关系系。2)2)系统数学模型的形式系统数学模型的形式（1 1）最基本形式是微分方程）最基本形式是微分方程, ,它在时域中描述系它在时域中描述系统统( (或元件或元件) )动态特性；动态特性；（2

3、2）传递函数形式，它极有利于对系统在复数）传递函数形式，它极有利于对系统在复数域及频域进行深入的研究、分析与综合域及频域进行深入的研究、分析与综合 。2021-11-23机械工程3) 3) 数学模型的建立方法数学模型的建立方法 建立系统数学模型有两种方法：建立系统数学模型有两种方法：分析法和实验法分析法和实验法, ,本本章仅就分析法进行讨论。章仅就分析法进行讨论。(1)(1)分析法分析法: :根据系统和元件所遵循的有关定律来推导根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式，从而建立数学模型。出数学表达式，从而建立数学模型。(2)(2)实验法实验法: :对于复杂系统，需要通过实验，并根据实对

4、于复杂系统，需要通过实验，并根据实验数据，验数据，拟合拟合出比较接近实际系统的数学模型。出比较接近实际系统的数学模型。2021-11-23机械工程 4) 4)线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统定义定义：描述系统的输入和输出之间动态关系的微分方程，如：描述系统的输入和输出之间动态关系的微分方程，如2.0.12.0.1 如果系数如果系数 均为常数，则式均为常数，则式(2-1)(2-1)为线性定常微分方程，简称常微分方程。相应的动态系为线性定常微分方程，简称常微分方程。相应的动态系统称为统称为线性定常系统线性定常系统。大多数物理系统均属于这一类，这是大多数物理系统均属于这一类，这是我们研究的重

5、点。我们研究的重点。 若若 是时间是时间t t的函数，则该方程为线性时变的，相应的系的函数，则该方程为线性时变的，相应的系统也称为统也称为线性时变系统线性时变系统；例如，宇宙飞船控制系统便是一个；例如，宇宙飞船控制系统便是一个时变系统，因为随着宇宙飞船上燃料的消耗，飞船质量发生时变系统，因为随着宇宙飞船上燃料的消耗，飞船质量发生变化，而且当飞船远离地球后，重力也在发生变化。变化，而且当飞船远离地球后，重力也在发生变化。 ()( )( ).1010( )( )( )( )( ) 2.0.1mnnooomiiia xta x ta x tb xtb x tb x t (0,1,2, ),(0,1,

6、2,)ija in bjm, ija b2021-11-23机械工程若若 中有系数依赖于中有系数依赖于 或它们的导函数，或者，在微或它们的导函数，或者，在微分方程中出现分方程中出现t t的其他函数形式，则该方程就是非线性的，的其他函数形式，则该方程就是非线性的，相应的系统也称为相应的系统也称为非线性系统非线性系统，下面模型，下面模型是非线性的。是非线性的。 线性及非线性这一特性并不随系统的表示方法而改变，它是线性及非线性这一特性并不随系统的表示方法而改变，它是系统本身的固有特性。线性系统与非线性系统的根本区别在系统本身的固有特性。线性系统与非线性系统的根本区别在于：于：线性系统满足叠加原理，而

7、非线性系统则不满足叠加原线性系统满足叠加原理，而非线性系统则不满足叠加原理。理。 线性化线性化：为了分析研究非线性系统，在一定范围内将一些非：为了分析研究非线性系统，在一定范围内将一些非线性因素忽略，近似地用线性数学模型来代替，这便是所谓线性因素忽略，近似地用线性数学模型来代替，这便是所谓数学模型的线性化。数学模型的线性化。 本质非线性系统：本质非线性系统：例如电气系统中某些元件存在继电特性、例如电气系统中某些元件存在继电特性、饱和、死区和磁滞等现象，只能采取非线性方法进行分析与饱和、死区和磁滞等现象，只能采取非线性方法进行分析与设计。设计。这方面内容，本课程不作要求这方面内容，本课程不作要求

8、。 , ija b( ),( )ix t x t2( )( )( )( )( )ooooix tx tx tx tx t2021-11-23机械工程 2.1 2.1系统的微分方程系统的微分方程一用分析法（解析法）一用分析法（解析法）列写微分方程的一般方法列写微分方程的一般方法(1)(1)确定系统或各元件的输入、输出变量确定系统或各元件的输入、输出变量。系统的给定输入量或。系统的给定输入量或扰动输入量都是系统的输入量，而被控制量则是输出量；扰动输入量都是系统的输入量，而被控制量则是输出量；(2)(2)进行适当的简化，忽略次要因素；进行适当的简化，忽略次要因素；(3) (3) 从系统的输入端开始，

9、按照信号的传递顺序，根据各变量所从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理，遵循的物理定理，列写出在运动过程中的各个环节的动态微列写出在运动过程中的各个环节的动态微分方程；分方程；(4)(4)消除中间变量消除中间变量，写出只含有输入、输出变量的微分方程；，写出只含有输入、输出变量的微分方程；(5)(5)标准化。标准化。整理所得微分方程，整理所得微分方程，输出量降幂排列输入量降幂排列输出量降幂排列输入量降幂排列一般将与输出量有关的各项放在方程左侧，与输入量有关的一般将与输出量有关的各项放在方程左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。各项放在方程的右侧

10、，各阶导数项按降幂排列。 2021-11-23机械工程例例1 1 图示为两个形式相同的图示为两个形式相同的rcrc电路串联而成的滤波网络，电路串联而成的滤波网络，试写出以输出电压和输入试写出以输出电压和输入电压为变量的滤波网络的电压为变量的滤波网络的微分方程。微分方程。 解：列写系统微分方程解：列写系统微分方程(1)(1)输入输入: :电压电压 输出输出: :电压电压 中间变量中间变量(1)(1)简化简化(3)(3)根据克希荷夫定律，可写根据克希荷夫定律，可写出下列原始方程式：出下列原始方程式：1, 2i i2u1u1 1 部件的数学模型部件的数学模型2021-11-23机械工程电路分析的基本

11、方法电路分析的基本方法-克希荷夫定律克希荷夫定律(1)克希荷夫第一定律克希荷夫第一定律(克希荷夫电流定律克希荷夫电流定律kcl)：在电路任何时刻，对任一结点，所有支路电流的代在电路任何时刻，对任一结点，所有支路电流的代数和恒等于零，即流出结点的取数和恒等于零，即流出结点的取+号，流入结点的号，流入结点的取取-号。号。n为支路数。为支路数。(2)克希荷夫第二定律克希荷夫第二定律(克希荷夫电压定律克希荷夫电压定律kvl)：在电路任何时刻，沿任一回路，所有支路电压的代在电路任何时刻，沿任一回路，所有支路电压的代数和恒等于零，即电压的参考方向与指定的绕行方数和恒等于零，即电压的参考方向与指定的绕行方向

12、一致的取向一致的取+号，相反的取号，相反的取-号。号。n为支路数。为支路数。也写为基尔霍夫定律2021-11-23机械工程222122111()i ri dtiidtcc2221i dtuc (4) (4)消去中间变量消去中间变量 式（式（2.1.12.1.1）就是系统的微分方程。）就是系统的微分方程。 2221122112212212()(2.1.1)d udur c r cr cr cr cuudtdt1112111()i riidtuc2021-11-23机械工程注意虽然电路又两个虽然电路又两个rc电路所组成，但不能把它看作两电路所组成，但不能把它看作两个独立的个独立的rc电路的连接。因

13、为第二级电路的电路的连接。因为第二级电路的i2 要影响要影响第一级电路的第一级电路的u1，列写方程式应考虑这个影响。这种，列写方程式应考虑这个影响。这种后一级对前一级的影响叫做后一级对前一级的影响叫做负载效应负载效应。存在负载效应。存在负载效应时，必须把全部元件作为整体加以考虑。时，必须把全部元件作为整体加以考虑。本例如果不考虑负载效应时，有：第一级：第二级：消去中间变量得到：显然与前面得到的结果不同。2021-11-23机械工程 例2 图示为电枢控制式直流电机原理图，设 为电枢两端的控制电压， 为电机旋转角速度， 为折合到电机轴上的总的负载力矩。当激磁不变时，用电枢控制的情况下， 为给定输入

14、， 为干扰输入， 为输出。系统中为电动机旋转时电枢两端的反电势； 为电动机的电枢电流； 为电动机的电磁力矩。 aulmaulmaim2021-11-23机械工程 (1) 输入变量为电压 ；输出变量为电机旋转角速度 ;中间变量 ; (2)根据克希荷夫定律，电机电枢回路的方程为 式中，l，r分别为电感与电阻。当磁通固定不变时， 与转速 成正比，即 式中， 为反电势常数。这样（2.1.5）式为 根据刚体的转动定律，电动机转子的运动方程为aadadili reudt(2.1.5)(2.1.5)ddekaadadili rkudtldjmmdt(2.1.6)(2.1.6)(2.1.7)(2.1.7)de

15、alum、adie、dk2021-11-23机械工程 式中，j为转动部分折合到电动机轴上的总的转动惯量。当激磁磁通固定不变时，电动机的电磁力矩与电枢电流成正比。即 式中，km为电动机电磁力矩常数（3）消除中间变量将（2.1.8）式代入（2.1.7）式得上式略去了与转速成正比的阻尼力矩。应用（2.1.6）式和（2.1.9）式消去中间变量ia，可得令 ，则上式为 式（2.1.11）即为电枢控制式直流电动机的数学模型。由式可见，转速既由ua控制，又受ml影响。m amk i(2.1.82.1.8)m aldjk imdt(2.1.92.1.9)221laldmdmddmdmdmddljrjlrumk

16、 kk kkk kk kdtdtdt (2.1.10)(2.1.10),(),1,admmddmml rt rjk ktkc tjc22lammdamamldmddt ttc uc tc mdtdtdt (2.1.11)(2.1.11)2021-11-23机械工程二微分方程的增量化表示二微分方程的增量化表示 前面从数学角度讨论了系统的模型。下面是考虑工程实际进一步讨论模型。 (1)电动机处于平衡状态，变量各阶导数为零，微分方程变为代数方程： 此时，对应输入输出量可表示为： 则有 这就是系统的稳态。 damlc uc m（2.1.122.1.12） 0aauu0llmm0000damlc uc

17、m（2.1.132.1.13）2021-11-23机械工程 （2）系统的稳态并不能长期稳定，闭环控制系统的任务就是要系统工作在稳态。当输入量发生变化时，输出量相应变化，输入输出量可以记为： 则式（2.1.11）可记为： 考虑到 ，上式可变为 2.14 式的意义是：对于定值控制系统，总是工作在设定值即稳态或平衡点附近，将变量的坐标原点设在该平衡点，则微分方程转换为增量方程，它同样描述了系统的动态特性，但它由于不考虑初始条件，求解及分析时方便了许多。 000damlc uc m22lammdamamld mddt ttcuc tcmdtdtdt (2.1.14)(2.1.14)20000002()

18、()()()()()lla mmdaam amllddd mmtttc uuc tc mmdtdtdt0aaauuu0lllmmm02021-11-23机械工程2控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立3线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解初值定理：初值定理：终值定理终值定理:例：例：例：例：2021-11-23机械工程三非线性微分方程的线性化三非线性微分方程的线性化某些非线性系统，可以在一定条件下，进行线性化。图2.1.3是一个液压伺服系统，下面通过它讨论线性化问题。2021-11-23机械工程 (1)输入变量为阀心位移x；输出变量为活塞位移y;中间变量 (2)按照液压原理建立动

19、力学方程 负载动力学方程为 流量连续性方程为 q与p一般为非线性关系 mycyappq、qay( , )qq x p(2.1.15)(2.1.15) (2.1.16)(2.1.16) (2.1.17) (2.1.17)2021-11-23机械工程（3）线性化处理 将(2.17)在工作点领域做泰勒展开，当偏差很小时，可略去展开式的高阶项，保留一次项，并取增量关系，有： 式中 则(2.18)可以写成 当系统在预定工作条件 ， ， 下工作 即分别为q,x,p,故（2.1.19）可以写为0000( , )(,)()()oox xx xppppqqqq x pq xpxpxp (2.1.18)(2.1.

20、18)0 xxx 0ppp qcqkxkp (2.1.192.1.19)00(,)0q xp00 x 00p ,qxpqcqk xk p (2.1.202.1.20)2021-11-23机械工程 （4）消除中间变量 由(2.20)可得 整理后可得线性化后的动力学方程为：1()qcpk xqk2()qccakamycyxkk(2.1.21)(2.1.21)(2.1.22)(2.1.22)2021-11-23机械工程 图图2.1.4 q,p,x2.1.4 q,p,x三者线性关系三者线性关系2021-11-23机械工程 小偏差线性化时要注意以下几点： （1）必须明确系统工作点，因为不同的工作点所得线

21、性化方程的系数不同。本题中参数在预定工作点的值均为零 （2）如果变量在较大范围内变化，则用这种线性化方法建立的数学模型，在除工作点外的其它工况势必有较大的误差。所以非线性模型线性化是有条件的，即变量偏离预定工作点很小。 （3）如果非线性函数是不连续的（即非线性特性是不连续的），则在不连续点附近不能得到收敛的泰勒级数，这时就不能线性化。 （4）线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。 2021-11-23机械工程 2.2 2.2 系统传递函数系统传递函数 传递函数是经典控制理论最基本的数学工具。1.微分方程转化传统函数：将实数域中的微分、积分运算化为复数域中的代数运算，简化了分析、设计中的计

22、算工作量。2.传统函数导出频率特性：在频域对系统进行分析和设计. 一. 定义定义 输入、输出的初始条件为零，线性定常系统（环节或元件）的输出 的laplace变换 与输入 的laplace变换 之比，称为该系统（环节或元件）的传递函数g(s)。( )ix t0( )xs0( )x t( )ix s2021-11-23机械工程 数学说明数学说明：线性定常系统微分方程如下：线性定常系统微分方程如下： 输入、输出的初始条件均为零时，作输入、输出的初始条件均为零时，作laplacelaplace变换可得：变换可得： 由定义可得：由定义可得： 将式（将式（2.2.32.2.3）画成方框图，如图）画成方框

23、图，如图2.2.12.2.1所示。所示。 图2.2.1 系统框图 则： ( 2.2.4)( 2.2.4)1111011011()( )() ( ),nnmmnnomminnmmddddddaaaax tbbbb x tdtdtdtdtdtdt(2.2.1)(2.2.1)111100110()( )()( )nnmmnnmmia sasa saxsb sbsb sbx s(2.2.22.2.2)110101110( )( )( ),. ( )( )mmmmsnniinnsl x tb sbsbbxsg snml x tx sa sasaa(2.2.32.2.3)( )g s( )ix s( )o

24、xs( )( )( )ixsg s x s2021-11-23机械工程二二. .零点、极点和放大系数零点、极点和放大系数 g(sg(s) )因式分解因式分解： k为常数当 时，均能使g（s）=0,故称 为g(s)g(s)的零点的零点。当 时，均能使g（s）取极值： 故称 为为g(s)g(s)的极点的极点 1.g(s)的分母系数与微分方程左边系数是一致的，是系统的本质参数；2.极点方程与微分方程的特征方程是一致的，极点即微分方程的特征根；3.当系统输入信号一定时，系统的零、极点决定着系统的动态性能。1212()().()( )( ),( )()().()mink szszszxsg snmx s

25、spspsp(1,2,.,)jszjm(1,2,.,)jzjm(1,2,., )isp inlim( )ispg s (1,2,., )ip in2021-11-23机械工程 放大系数是系统稳态时输出与输入之比放大系数是系统稳态时输出与输入之比。当输入为单位阶跃函数当输入为单位阶跃函数 由终值定理可求得系统稳态输出为：由终值定理可求得系统稳态输出为： g(0)g(0)分别由定义及分解式得：分别由定义及分解式得： 放大系数为放大系数为g(0)g(0) ，它由微分方程的常数项决定。，它由微分方程的常数项决定。 系统响应：系统响应：已知输入的情况下，可由微分方程求解；可由传已知输入的情况下，可由微分

26、方程求解；可由传递函数求出输出的拉氏变换，再进行拉氏反变换求得。递函数求出输出的拉氏变换，再进行拉氏反变换求得。( )1ix t ( )1/ix ss则有000lim( )lim( )lim( )( )lim( )(0)ooitsssx tsxssg s x sg sg001212()().()(0)()().()bmankzzzgppp2021-11-23机械工程三典型环节的传递函数三典型环节的传递函数典型环节：典型环节：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节，振荡环节和延时环节。系统总可以分解为典型节，振荡环节和延时环节。系统总可以分解为典型环节组成。环

27、节组成。 下面介绍这些环节的传递函数及其推导下面介绍这些环节的传递函数及其推导： 2021-11-23机械工程1比例环节（或称放大环节，无惯性环节，零阶环节比例环节（或称放大环节，无惯性环节，零阶环节）输出不失真也不延迟而按比例反映输入的环节输出不失真也不延迟而按比例反映输入的环节称为比例环节，其动力学方程为：称为比例环节，其动力学方程为：k k为环节的放大系数或增益。其传递函数为为环节的放大系数或增益。其传递函数为：( )( ),ix tkx t( )( ).( )ix sg skx s （2.2.52.2.5） 2021-11-23机械工程2 2、惯性环节（或一阶惯性环节）、惯性环节（或一

28、阶惯性环节） 动力学方程为一阶微分方程动力学方程为一阶微分方程 的环节为惯性环节，其传递函数为：的环节为惯性环节，其传递函数为： 式中，式中，k k为放大系数；为放大系数；t t为惯性环节时间常数，惯性环节的方为惯性环节时间常数，惯性环节的方框图如图框图如图2.2.42.2.4所示。所示。itxxkx( ),1kg sts（2.2.62.2.6） 图2.2.4惯性环节2021-11-23机械工程3 3微分环节微分环节 具有输出正比于输入的微分，即具有具有输出正比于输入的微分，即具有 的环节称为微分环节，显然，其传递函数为：的环节称为微分环节，显然，其传递函数为： 式中，式中，t t为微分环节的

29、时间常数，微分环节的方框为微分环节的时间常数，微分环节的方框图如图图如图2.2.72.2.7所示所示( )( )oix ttx t( )( )( )oixsg stsx s（2.2.72.2.7）图2.2.7微分环节2021-11-23机械工程4、积分环节积分环节 具有输出正比于输入对时间的积分，即具有具有输出正比于输入对时间的积分，即具有 的环节称为积分环节，显然，其传递函数为：的环节称为积分环节，显然，其传递函数为： 式中，式中，t t为积分环节的时间常数，积分环节的方框为积分环节的时间常数，积分环节的方框图如图图如图2.3.132.3.13所示。所示。1( )( )oix tx t dtt( )1( )( )oixsg sx sts图2.2.13 积分环节（2.2.82.2.8） 2021-11-23机械工程5 5、振荡环节（或称二阶振荡环节）、振荡环节（或称二阶振荡环节） 振荡环节是二阶环节，其传递函数为振荡环节是二阶环节，其传递函数为： 或写成 为无阻尼固有频率；为无阻尼固有频率；t t为振荡环节的时间常数，为振荡环节的时间常数， 为阻尼比。方框图见图为阻尼比。方框图见图2.2.172.2.17。 阶跃输入时，输出有两种情况阶跃输入时，输出有两种情况： （1 1）当）当0101g s g s h s1|( )( )