第5章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法

1、第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法第第5章章 时域离散系统的基本网络结构与时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法状态变量分析法 5.1 引言引言 5.2 用信号流图表示网络结构用信号流图表示网络结构5.3 无奶长脉冲响应基本网络结构无奶长脉冲响应基本网络结构5.4 有限长脉冲响应基本网络结构有限长脉冲响应基本网络结构5.5 状态变量分析法状态变量分析法第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法5.1 引言引言 一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数

2、进行描述。如果系统输入输出服从N阶差分方程 0101( )()()( )( )( )1MNiiiiMiiiNiiiy nb x nia y nibzY zH zX za z其系统函数H(z)为 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 给定一个差分方程，不同的算法有很多种，例如： 1122113111( )10.80.151.52.5( )10.310.511( )10.310.5H zzzHzzzHzzz第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法5.2 用信号流图表示网络结构用信

3、号流图表示网络结构 观察(5.1.1)式，数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟，三种基本运算用流图表示如图5.2.1所示。 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法图5.2.1 三种基本运算的流图表示z1x(n)x(n 1)x(n)ax(n)ax1(n)x2(n)x1(n) x2(n)x(n)x(n 1)z1x(n)ax(n)ax1(n)x2(n)x1(n) x2(n)第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 和每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变量等于所有

4、输入支路的输出之和。在图5.2.2中， 122221221211202( )(1)( )(1)( )( )( )( )( )( )( )nnnnnx nanany nbnbnbn(5.2.1) 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 图5.2.2 信号流图(a)基本信号流图；(b)非基本信号流图第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有很多种信号流图相对应。从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图(Primiti

5、ve Signal Flow Graghs)。 (1) 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是z-1； (2) 流图环路中必须存在延时支路； (3) 节点和支路的数目是有限的。 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 例5.2.1 求图5.2.2(a)信号流图决定的系统函数H(z)。 解 将5.2.1式进行z变换，得到 11212221221211202( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )W zW z zW zW z zW zX zaW za W zY zbW zbW zbW z经过联

6、立求解得到：120121212( )( )( )1Y zbb zb zH zX za za z第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述：0( )()Miiy nb x ni 其单位脉冲响应h(n)是有限长的，按照(5.2.2)式，h(n)表示为 ,0( )0,nbnMh n其它n 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 另一类IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路。这类网络的单位脉

7、冲响应是无限长的。例如一个简单的一阶IIR网络差分方程为 y(n)=ay(n-1)+x(n) 其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。这两类不同的网络结构各有不同的特点，下面分类叙述。第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法5.3 无奶长脉冲响应基本网络结构无奶长脉冲响应基本网络结构 1.直接型 对N阶差分方程重写如下： 01( )()()MNiiiiy nb x nia y ni第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 图5.3.1 IIR网络直接型结构 b0b1b2z1z1z1

8、z1a1a2x(n)x(n 1)x(n 2)y(n)y(n 1)y(n 2)x(n)y(n)b0b1b2z1z1z1z1a1a2w2w1H1(z)H2(z)H2(z)H1(z)x(n)y(n)a1a2b0b1b2z1z1（ a ）（ b ）（ c ）第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 例5.3.1 IIR数字滤波器的系统函数H(z)为12312384112( )5311448zzzH zzzz画出该滤波器的直接型结构。 解 由H(z)写出差分方程如下：531( )(1)(2)(3)8 ( )4 (1)44811 (2)2 (3)y

9、 ny ny ny nx nx nx nx n第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法图5.3.2 例5.3.1图x(n)y(n)z1z1z1 4811 2454381第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 2. 级联型 在(5.1.2)式表示的系统函数H(z)中，公子分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数，现将分子分母多项式分别进行因式分解，得到1111(1)( )(1)MrrNrrC zH zAd z(5.3.1) 形成一个二阶网络Hj(z)；Hj(z)如下式：12012

10、1212( )1jjjjjjzzHza za z(5.3.2) 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 式中，0j、1j、2j、1j和2j均为实数。这H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式： H(z)=H1(z)H2(z)Hk(z) (5.3.3) 式中Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图5.3.3所示。 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 图5.3.3 一阶和二阶直接型网络结构(

11、a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构 x(n)y(n)z1x(n)y(n)z1z1( a )( b )j0j1j2j0j1j2j1j1j0第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 例5.3.2 设系统函数H(z)如下式： 12312384112( )1 1.250.750.125zzzH zzzz试画出其级联型网络结构。 解 将H(z)分子分母进行因式分解，得到 112112(20.379)(41.245.264)( )(10.25)(10.5)zzzH zzzz第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构

12、与状态变量分析法结构与状态变量分析法 3.并联型 如果将级联形式的H(z)，展开部分分式形式，得到IIR并联型结构。 图5.3.4 例5.3.2图 x(n)z12y(n)z14z10.3790.251.245.2640.5第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为12( )( )( )( )kH zH zHzHz(5.3.4) 1011212( )1iiiiizH za za z 式中，0i、1i、1i和2i都是实数。如果a2i=0则构成一阶网络。由(5

13、.3.4)式，其输出Y(z)表示为 Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+Hk(z)X(z)第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 例5.3.3 画出例题5.3.2中的H(z)的并联型结构。 解 将例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：111281620( )1610.510.5zH zzzz 将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图5.3.5所示。 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 图5.3.5 例5.3.3图 x(n)y(n)z1z11680.

14、520160.520z1第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法5.4 有限长脉冲响应基本网络结构有限长脉冲响应基本网络结构 FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程为1010( )( )( )( ) ()NnnNmH zh n zy nh m x nm第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 1.直接型 按照H(z)或者差分方程直接画出结构图如图5.4.1所示。这种结构称为直接型网络结构

15、或者称为卷积型结构。 图5.4.1 FIR直接型网络结构 x(n)y(n)z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N2)h(N1)第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 2. 级联型 将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。 例5.4.1 设FIR网络系统函数H(z)如下式： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出H(z)的直接型结构和级联型结构。 第第5章章 时域离散系统的基本网络

16、时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 解 将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 其直接型结构和级联型结构如图5.4.2所示。 图5.4.2 例5.4.1图z1z1z1x(n)0.60.51.623y(n)y(n)x(n)z1z1z10.9622.81.5( a )( b )第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 3. 频率采样结构 频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会

17、引起信号失真，此时原序列的z变换H(z)与频域采样值H(k)满足下面关系式： 设FIR滤皮器单位脉冲响应h(n)长度为M，系统函数H(z)=ZTh(n)，(5.4.1)式中H(k)用下式表示： 1101( )( )(1)1NNkkNH kH zzNWz(5.4.1) 2( )( ), 0,1,2,1jkNz eH kH zkN第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 要求频率域采样点数NM。(5.4.1)式提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。请读者分析IIR滤波网络，为什么不采用频率采样结构。将(5.4.1)式写成下式： 1011(

18、 )( )( )( )1( )( )1NckkNckkNH zHzHzNHzzH kHzWz (5.4.2) 式中 Hc(z)是一个梳状滤皮网络(参考第八章)，其零点为2,0,1,2,1jkkNkNzeWkN第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法图5.4.3 FIR滤波器频率采样结构 x(n)y(n)z1z1 z NH(0)H(1)H(N 1)0NW1NW1NNWz1N1第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 (1)在频率采样点k，H(ejk)=H(k)，只要调整H(k)(即

19、一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k)，就可以有效地调整频响特性，使实际调整方便。 (2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便于标准化、模块化。 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 然而，上述频率采样结构亦有两个缺点： (1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的。 (2)结构中，H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。 为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。 首称将单位圆上的

20、零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为r的圆上，取r1且r1。此时H(z)为1101( )( )(1)1NNNrkkNH kH zr zNrWz(5.4.3) 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 另外，由DFT的共轭对称性知道，如果h(n)是实数序列，则其离散傅里叶变换H(k)关于N/2点共轭对称，即H(k)=H*(N-k)。而且W-kN=W-(N-k)N，我们将hk(z)和 H N-k(z)合并为一个二阶网络，并记为Hk(z)，则1()111101122( )()( )11( )( )11()212 cos()kkN kNNkk

21、NNkkH kH NkHzrWzrWzH kHkrWzr Wzaa zrk zr zN第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 显然，二阶网络Hk(z)的系数都为实数，其结构如图5.4.4(a)所示。当N为偶数时，h(z)可表示为式中 012Re( )2Re( )kkkNaH karH k W 1,2,3,12Nk 11201111221()1(0)2( )(1)21112cos()NNNkkkNHHaa zH zr zNrzrzk zr zN (5.4.4) 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析

22、法结构与状态变量分析法 式中，H(0)和H(N/2)为实数。(5.4.4)式对应的频率采样修正结构由N/2-1个二阶网络和两个一阶网络并联构成，如图5.4.4(b)所示。图5.4.4 频率采样修正结构 1k0kz1z1 r 2)2cos(2kNrx(n)y(n)z1H(0)z N r r1/NH1(z)H2(z)z1 rH(N/2)( b )( a )(12zHN第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 当N=奇数时，只有一个采样值H(0)为实数，H(z)可表示为1(1)/201112211(0)( )(1)2112cos()NNNkk

23、kHaa zH zr zNrzk zr zN(5.4.5) 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法5.5 状态变量分析法状态变量分析法 1. 状态方程和输出方程 状态变量分析法有两个基本方程，即状态方程和输出方程。状态方程把系统内部一些称为状态变量的节点变量和输入联系起来；而输出方程则把输出信号和那些状态变量联系起来。 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 图5.5.1是二阶网络基本信号流图，有两个延时支路，因此建立两个状态变量w1(n)和w2(n)。下面建立流图中其它节点

24、w2和输出y(n)与状态变量之间的关系。 22221121221120222 0111 020(1)(1)( )( )( )(1)( )( )( )( )()( )()( )( )nnananx nnny nbnbnbba bnba bnb x n (5.5.1) (5.5.2) (5.5.3) 将以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)写成矩阵形式：11222101(1)( )0( )(1)( )1nnx nnnaa (5.5.4) 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法图5.5.1 二阶网络基本信号流图 x(n)y(n)z1z

25、1b0b1b2w1w2w2 a1 a2第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 图5.5.2示出更为一般的二阶网络基本信号流图，两个延时支路输出节点定为状态变量w1(n)和w2(n)。按照信号流图写出以下方程： 111111122122221122221122( )(1)(1)( )( )( )( )(1)(1)( )( )( )( )( )( )( )nnnananb x nnnnananb x ny ncncndx n第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法图5.5.2 一般

26、二阶网络基本信号流图 x(n)y(n)z1z1b1b2c1c2da22a12a21w1(n)w2(n)w1w2第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 将以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)写成矩阵形式：11121112222122(1)( )( )(1)( )aannbx nnnbaa(5.5.6)1 212( )( )( )( )Ty nc cnndx n(5.5.7)再用矩阵符号表示： (1)( )( )( )( )( )W nAW nBx nY nCW nDx n(5.5.8)(5.5.9) 111212212212,T

27、aaAB bbaaCccDd第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 式(5.5.8)和式(5.5.9)分别称为图5.5.2二阶网络的状态方程和输出方程。 如果系统中有N个单位延时支路，M个输入信号：x1(n),x2(n),xM(n)，L个输出信号y1(n),y2(n),，yL(n)，则状态方程和输出方程分别为 (1)( )( )( )( )( )W nAW nBX nY nCW nDX n(5.5.10)(5.5.11) 式中121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )TNTMTLW nnnnX

28、 nx n x nxnY ny n y nyn第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法11 12111 1212122221 222121211 1211112121 222212221212,NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNa aab bbAa aaBb bba aab bbc ccd ddCc ccDd ddc ccddd图5.5.3 状态变量分析法y(n)x(n)z1W(n1)W(n)dABC第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 例5.5.1 建立图5.

29、5.4流图的状态方程和输出方程。 图5.5.4 例5.5.1图x(n)y(n)z1a1b0z1b1b2a2w1(n1)w1(n)w2(n)第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 信号流图中有两个延时支路，分别建立两个状态变量w1(n)和w2(n)(如图5.5.4所示)，然后列出延时支路输入端节点方程如下： 1112221(1)( )( )( )(1)( )nananx nnn将上式写成矩阵方程： 121122(1)( )1( )(1)( )010aannx nnn (5.5.12) 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本

30、网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 输出信号y(n)的方程推导如下： y(n)=b0w1(n+1)+b1w1(n)+b2w2(n) 将上面w1(n+1)的方程代入上式： y(n) =a1b0w1(n)+b0a2w2(n)+b0 x(n)+b1w1(n)+b2w2(n) =(a1b0+b1)w1(n)+(a2b0+b2)w2(n)+b0 x(n)11 012 0202( )( ),( )( )ny na bb a bbb x nn第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 例 5.5.2直接写出图5.5.4信号流图的 A、B、C

31、和D参数矩阵。 解 111121221222, , ,baaABCc cDdaab 要注意：从wi(n)到输出节点可能不止一条通路，要把所有通路增益加起来，即111 0220 0,cba b cba b d表示从输入节点到输出节点的通路增益，这里d=d0，最后得到四个参数矩阵为121,100aaAB 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 例5.5.3 已知系统函数H(z)为 1121122(1)(1 1.440.7)( )(10.5)(10.90.81)zzzH zzzz(1)画出H(z)的级联型网络结构；(2)根据已画出的流图写出

32、其状态方程和输出方程。 112112(1) 1 1.440.7( )210.510.90.81zzzH zzzz第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 图5.5.5 例5.5.3图 x(n)z12y(n)z1z11.4140.70.9w1(n)w2(n)w3(n)0.51第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 在延时支路输出端建立状态变量w1(n)、w2(n)和w3(n)(如图5.5.5所示)。写出状态变量 w1(n+1) =-0.5w1(n)+2x(n) w2(n+1)=w

33、1(n+1)-w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n) =-1.5w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)+2x(n) w3(n+1)=w2(n) 将以上三个方程写成矩阵方程：112233(1)( )0.5002(1)1.50.90.81( )2( )0100(1)( )nnnnx nnn 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法输出方程为y(n)=w2(n+1)-1.414w2(n)+0.7w3(n)将上面得到的w2(n+1)方程代入上式，得到：y(n)=-1.5w1(n)-0.514w2(n)-0.11w3(n)+2

34、x(n)将y(n)写成矩阵方程，即是要求的输出方程。y(n)=-1.5-0.514-0.11w1(n)w2(n)w3(n)T+2x(n) 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 例5.5.4 已知FIR滤波网络系统函数H(z)为 解画出直接型结构如图5.5.6所示，在延时支路输出端建立状态变量w1(n)、w2(n)和w3(n)。根据参数矩阵中各元素的意义，直接写出状态方程和输出方程如下：30( )iiiH za z112233(1)( )0001(1)100( )1( )0100(1)( )nnnnx nnn y(n)=a1 a2 a

35、3w1(n) w2(n) w3(n)T+a0 x(n)第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 图5.5.6 例5.5.4图 y(n)x(n)z1z1z1w1(n)w2(n)a1a2a3a0w3(n)第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 2. 由状态变量分析法转换到输入输出分析法 把单输入单输出的状态方程和输出方程重写如下： W(n+1)=AW(n)+Bx(n) (5.5.14) y(n)=CW(n)+dx(n) (5.5.15) 将上面两式进行Z变换 zW(z)=AW(z)

36、+BX(z) (5.5.16) Y(z)=CW(z)+dX(z) (5.5.17) 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 式中 W(z)=W1(z)W2(z)WN(z)T Wi(z)=ZTwi(n) X(z)=ZTx(n) Y(z)=ZTy(n) 由(5.5.16)式得到： W(z)=zI-A-1 BX(z) (5.5.18) 将上式代入(5.5.17)式，得到：11( )( )( )( )( )( )Y zC zIABX zdX zY zH zC zIABdX z(5.5.19) 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基

37、本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 例5.5.5 已知二阶网络的四个参数矩阵如下：2122 011 00010,1,ABaaCba bba bdb 求该网络的系统函数。解 2111212212111011()11( )zzIAazazazIABazz zaazza zaH zC zIABd 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 系 统 频 响 决 定 于 H ( z ) 的 零 、 极 点 分 布 。 设H(z)=B(z)/A(z)，其极点为A(z)=0的解。由(5.5.19)式得到： A(z)多项式称为A 矩阵的特征

38、多项式，其根为A矩阵的特征值，因此A矩阵的特征值就是H(z)的极点。如果A矩阵全部特征值的模均小于1，系统因果稳定，否则系统因果不稳定。21201201221212121b zb zbbb zb zza zaa za z( )det()A zzIA(5.5.20) 第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 z2-3z+2=0 特征值 1=1, 2=2 极点 z1=，z2=2 将状态方程重写如下： W(n+1)=AW(n)+Bx(n)321032det01AzzIAz第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量

39、分析法结构与状态变量分析法 方程式左端是n+1时刻的状态变量矢量，右端是n时刻的状态变量矢量和输入x(n)的线性组合。由起始值 W(n0)，用递推法求出W(n)的时域解： n=n0时，W(n0+1) =AW(n0)+Bx(n0) n=n0+1时，W(n0+2)=AW(n0 +1)+Bx(n0 +1) =AAW(n0)+Bx(n0)+Bx(n0 +1) =A2W(n0)+ABx(n0)+B x(n0 +1) n= n0 +k时W(n0+k+1)=A k+1 W(n0)+AkBx(n0)+ A k-1 Bx(n0+1)+ABx(n0+k-1)+Bx(n0+k)第第5章章 时域离散系统的基本网络时域

40、离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 令n=n0+k+1，则 0000101101( )()()( )()()nnnnlin nn nliW nAW nABx nlW nAW nABx nl将n换成n，则(5.5.21) 为求单位脉冲响应，将(5.5.15)式中的x(n)用(n)代替，W(n)用(5.5.21)式中的零状态响应代替，且令n0=0，此时y(n)=h(n)，得到：第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法111( )()( )00( )00nllnh nCABnldnnh ndnCABn(5.5.22) (5.5.23)第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 例5.5.6 求图5.5.7所示的N阶FIR格形网络的系统函数以及单位脉冲响应。图5.5.7 例5.5.6图 z1z1w1w2k1k1k2k2z1z1wN1kN1kN1wNkNx(n)y(n)第第5章章 时域离散系统的基本网络时域离散系统的基本网络 结构与状态变量分析法结构与状态变量分析法 解