高等数学ch10第二节

1、一、三重积分的定义一、三重积分的定义二、三重积分的计算二、三重积分的计算三、三重积分的换元法三、三重积分的换元法设设),(zyxf是空间有界闭区域是空间有界闭区域上的有界上的有界函数，将闭区域函数，将闭区域任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1v ，2v , ,nv ，其中，其中iv 表示第表示第i个小闭区域，也个小闭区域，也表示它的体积表示它的体积, , 在每个在每个iv上任取一点上任取一点),(iii 作乘积作乘积iiiivf ),( ，), 2 , 1(ni ，并作和，并作和, ,如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称

2、此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(zyxf在闭区域在闭区域上的上的三重积分三重积分，记为，记为 dvzyxf),(, ,一、三重积分的定义一、三重积分的定义即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv, 的平面来划分的平面来划分用平行于坐标面用平行于坐标面在直角坐标系中，如果在直角坐标系中，如果.lkjizyxv 则则三三重重积积记记为为 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .积元素积元素叫做直角坐标系中的体叫做直角坐标系中的体其中其中dxdydz直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中

3、将三重积分化为三次积分二、三重积分的计算二、三重积分的计算xyzo d1z2z2s1s),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzsyxzzs ,),(作直线作直线过点过点dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz函数，则函数，则的的只看作只看作看作定值，将看作定值，将先将先将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxf上的二重积分上的二重积分在闭区间在闭区间计算计算dyxf),(.),(),(),(),(21 d

4、yxzyxzdddzzyxfdyxf ,),()(:21bxaxyyxyd 得得 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意注意于两点情形于两点情形相交不多相交不多的边界曲面的边界曲面直线与闭区域直线与闭区域内部的内部的轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这是平行于这是平行于sz 例例 1 1 化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfi),(为三为三次积分，其中积分区域次积分，其中积分区域 为由曲面为由曲面 222yxz 及及22xz 所围成的闭区域所围成的闭区域.解解由由 22222xzyxz, 得得交交线线投投影影区区域域, 122

5、yx故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxi例例2 2 化化三三重重积积分分 dxdydzzyxfi),(为为三三次次积积分分，其其中中 积积分分区区域域 为为由由曲曲面面22yxz ,2xy ,1 y, 0 z所所围围成成的的空空间间闭闭区区域域. 1101222),(yxxdzzyxfdydxi.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如图，如图，xyz例例 3 3 将将 1010022),(yxdzzyxfdydx按按xzy, 的次序积分的次序积分.1d： 1002yxz解解1d 10100),(2dyzyxf

6、dzdxx原式原式 1101222),(xzxxdyzyxfdzdx.2d： 11222yxzxzx2d截面法的一般步骤：截面法的一般步骤：(1) 把积分区域把积分区域 向某轴向某轴（例如（例如z 轴）投影，得投轴）投影，得投影区间影区间,21cc；(2) 对对,21ccz 用过用过z轴且平行轴且平行xoy平面的平面去平面的平面去截截 ，得截面，得截面zd;(3) 计算二重积分计算二重积分 zddxdyzyxf),( 其结果为其结果为z的函数的函数)(zf；(4)最后计算单积分最后计算单积分 21)(ccdzzf即得三重积分值即得三重积分值.z例例 4 4 计计算算三三重重积积分分 zdxdy

7、dz，其其中中 为为三三个个坐坐标标面面及及平平面面1 zyx所所围围成成的的闭闭区区域域.解解（一）（一） zdxdydz,10 zddxdyzdz1| ),(zyxyxdz )1)(1(21zzdxdyzd 原式原式 102)1(21dzzz241 .xozy111 zdxdydz解解（二）（二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy111例例 5 5 计算三重积分计算三重积分dxdydzz 2，其中，其中 是由是由 椭球面椭球面1222222 czbyax所成的空间闭区域所成的空间闭区域.: ,| ),(czczyx

8、 1222222czbyax 原式原式,2 zdccdxdydzzxyzozd解解)1()1(222222czbczadxdyzd ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxdz 1222222czbyax 原式原式例例 6 6 计计算算三三重重积积分分dxdydzxy 21，其其中中 由由曲曲面面221zxy ，122 zx，1 y所所围围成成.将将 投投影影到到zox平平面面得得:xzd 122 zx,先先对对y积积分分，再再求求xzd上上二二重重积积分分,解解如图如图, 112221zxddydxdzxyxz原式原式dzzxxdxxx212211

9、11222 dxzzxxxx221132112| )3(1 1142)21(31dxxx.4528 ,0 r,20 . z三、三重积分的换元法三、三重积分的换元法的柱面坐标的柱面坐标就叫点就叫点个数个数，则这样的三，则这样的三的极坐标为的极坐标为面上的投影面上的投影在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点设设mzrrpxoymzyxm,),( 规定：规定：xyzo),(zyxm),(rpr1、利用柱面坐标计算三重积分、利用柱面坐标计算三重积分 .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如

10、图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxm),(rprzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,dzrdrddv 例例1 1 计算计算 zdxdydzi，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx与抛物面与抛物面zyx322 所围的立体所围的立体.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交线为知交线为 23242030rrzdzrdrdi.413 面上，如图，面上，如图，投影到投影到把闭区域把闭区

11、域xoy .20, 3043:22 rrzr，:2d, 422 yx.222020:22 zrr:1d,1622 yx,824020:21 zrr所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图， 2d1d例例计算计算 dxdydzyxi)(22， 其中其中 是是曲线曲线 zy22 ，0 x 绕绕oz轴旋转一周而成轴旋转一周而成的曲的曲面面与两平面与两平面, 2 z8 z所围的立体所围的立体.解解由由 022xzy 绕绕 oz 轴旋转得，轴旋转得，旋旋转转面面方方程程为为,222zyx 所围成的立体如图，所围成的立体如图， ,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxiii

12、12821drfdzrdrdi,345 22222drfdzrdrdi,625 原式原式 i 345 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzrrdrd2、利用球面坐标计算三重积分、利用球面坐标计算三重积分的球面坐标的球面坐标就叫做点就叫做点，个数个数面上的投影，这样的三面上的投影，这样的三在在点点为为的角，这里的角，这里段段逆时针方向转到有向线逆时针方向转到有向线轴按轴按轴来看自轴来看自为从正为从正轴正向所夹的角，轴正向所夹的角，与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点点点为原为原来确定，其中来确定，其中，三个有次序的数三个有次序的数可用可用为空

13、间内一点，则点为空间内一点，则点设设mrxoympopxzzommorrmzyxm ),(,r 0.20 ,0 规定：规定：为常数为常数r为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，pxyzo),(zyxmr zyxa，轴上的投影为轴上的投影为在在点点，面上的投影为面上的投影为在在设点设点axppxoym.,zpmyapxoa 则则 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 dd

14、rdrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如图，如图，例例 3 3 计计算算 dxdydzyxi)(22，其其中中 是是锥锥面面222zyx ， 与与平平面面az )0( a所所围围的的立立体体.解解 1 采采用用球球面面坐坐标标az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar dxdydzyxi)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 解解 2 采用柱面坐标采用柱面坐标 ,:222ayxd dxdydzyxi)(2

15、2 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr例例 4 4 求曲面求曲面22222azyx 与与22yxz 所围所围 成的立体体积成的立体体积.解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采采用用球球面面坐坐标标，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重积积分分的的性性质质知知 dxdydzv, adrrddv202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：

16、使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的的 一般地，当积分区域一般地，当积分区域 关于关于xoy平面对称，且平面对称，且被积函数被积函数),(zyxf是关于是关于z的奇函数，则三重积分的奇函数，则三重积分为零，若被积函数为零，若被积函数),(zyxf是关于是关于z的偶函数，则的偶函数，则三重积分为三重积分为 在在xoy平面上方的半个闭区域的三重平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍积分的两倍.奇偶性奇偶性例例利用对称性简化计算利用对称性简化计算 dxdydzzyxzyxz1)1l

17、n(222222其中积分区域其中积分区域1| ),(222 zyxzyx.解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 6 6 计算计算 dxdydzzyx2)(其中其中 是由抛物是由抛物面面 22yxz 和球面和球面2222 zyx所围成的空所围成的空间闭区域间闭区域.其其中中yzxy 是是关关于于y的的奇奇函函数数, 且且 关关于于zox面面对对称称, 0)(dvyzxy,同同理理 zx是是关关于于x的的奇奇函函数数, 且

18、且 关关于于yoz面面对对称称, 0 xzdv由由对对称称性性知知 dvydvx22,则则 dxdydzzyxi2)(,)2(22 dxdydzzx在柱面坐标下：在柱面坐标下：,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投影区域投影区域 xyd： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdi).89290(60 三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素dxdydzdv （计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）小结小结（1） 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz （2） 球面坐标的体

19、积元素球面坐标的体积元素 ddrdrdxdydzsin2 （3） 对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法 柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标小结小结思考题思考题 为为六六个个平平面面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z围围成成的的区区域域，),(zyxf在在 上上连连续续，则则累累次次积积分分_ dvzyxf),(.选择题选择题:;),()(201222 xxdzzyxfdydxa;),()(202212 xxdzzyxfdydxb;),()(201222 xxdzzyxfdydxc.),()(202212 xxdzzyxfdydxd思考题思考题则则上的连续函数上

20、的连续函数为为面对称的有界闭区域，面对称的有界闭区域，中关于中关于为为若若,),(3 zyxfxyr ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf为奇函数时为奇函数时关于关于当当 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf为为偶偶函函数数时时关关于于当当.1面面上上方方的的部部分分在在为为其其中中xy zz2一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若 由曲面由曲面22yxz 及平面及平面1 z所围成所围成, , 则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(化为三次积分是化为三次积分是 _. .2 2、 若若 是由曲面是由曲面0( cxycz),),12222 byax, ,0 z所所围成的在第一卦限内的闭区域围成的在第一卦限内的闭区域, ,则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(可化为三次积分为可化为三次积分为_._.3 3、 若若10 , 10 , 10: zyx, ,则则 dxdydzzyx)(可化为三次积分可化为三次积分_,_,其值为其值为_._.练练 习习 题题 4 4、若、若 : :是由是由),0(,