第五章无穷级数

1、第二节 傅里叶级数一、以一、以2为周期的函数展开成傅里叶级数为周期的函数展开成傅里叶级数 二、以二、以2 l 为周期的函数展开成傅里叶级数为周期的函数展开成傅里叶级数 ,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx上的积分等于零，即乘积在区间中任何两个不同函数的, 0cos nxdx, 0sin nxdx), 3 , 2 , 1( n定理定理 （三角函数系的正交性）（三角函数系的正交性） 三角函数系 一、以以2为周期的函数展开成为周期的函数展开成傅里叶级数傅里叶级数 1. f(x)的傅里叶级数的傅里叶级数2. 傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性解解)(xf 2),

2、 .0, 1, 0, 1)( xxxf所给函数满足收敛定理的条件，它在点所给函数满足收敛定理的条件，它在点 kx ), 2, 1, 0( k处不连续，在其他点连续，从而由收敛处不连续，在其他点连续，从而由收敛定理知道定理知道 的傅里叶级数收敛，并且当的傅里叶级数收敛，并且当)(xf kx 时时级数收敛于级数收敛于, 02)1(1211 当当 kx 时级数收敛于时级数收敛于).(xf计算傅里叶系数如下：计算傅里叶系数如下： nxdxxfancos)(1 00cos11cos)1(1nxdxnxdx);, 2 , 1(0 n nxdxxfbnsin)(1 00sin11sin)1(1nxdxnxd

3、x)1(1 2nn , 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,4nnn 将求得的系数带入，就得到将求得的系数带入，就得到 的傅里叶级数展开式的傅里叶级数展开式)(xf)12sin(1213sin31sin4)( xkkxxxf ).,2, 0;( xx3.在在-, 或或0, 上的函数展开成傅里叶级数上的函数展开成傅里叶级数 解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. 拓广的周期函数的傅氏级拓广的周期函数的傅氏级数展开式在数展开式在收敛于收敛于 .)(xf, xy0 2 2 nxdxxfancos)(1 00cos1cos)(1nxdxxnxdxx)1(cos22

4、nn1)1(22 nn dxxfa)(10 001)(1xdxdxx, , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(42kknkknk nxdxxfbnsin)(1 00sin1sin)(1nxdxxnxdxx, 0 12)12cos()12(142)(nxnnxf)( x所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为4. 正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数解解 (1)(1)求正弦级数求正弦级数. .,)(进进行行奇奇延延拓拓对对xf 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122nnnn当

5、当当当3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0( x5sin)2(514sin43sin)2(312sin2sin)2(2xxxxxy 1 xy(2)(2)求余弦级数求余弦级数. .,)(进行偶延拓进行偶延拓对对xf 00)1(2dxxa, 2 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nn , 5 , 3 , 14, 6 , 4 , 202nnn当当当当5cos513cos31(cos412122 xxxx)0( x1 xy)7cos715cos513cos31(cos412222xxxxy 二、以以2l为周期的函数展开成为周期的函数展开成傅里叶级数傅里叶级数 例4 设f(x)是以4为周期的函数, 它在2, 2)上的表达式为 20 02 0)(x k x xf(常数 k0) 将f(x)展开成傅里叶级数. 解 这是l=2,由公式得0202011022adxkdx. k201cos22nkxdxna(1,2,)n 20sin|02knxn201sin22nnbkxdx(1 cos)knn20cos|2knxn 21,3,5,02,4,6,knnn当当k2 xy2044 0,ak0na (1,2,)n 21,3,5,0