第四章 中值定理与导数的应用(全)

1、第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理微分中值定理4.2 洛必达法则洛必达法则4.3 函数的单调性函数的单调性4.4 函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题4.5 曲线的凸凹性与拐点曲线的凸凹性与拐点4.6 曲线的渐近线和函数作图曲线的渐近线和函数作图4.1 微分中值定理微分中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理本节我们将介绍导数的一些更深刻的性质本节我们将介绍导数的一些更深刻的性质函数在某区间函数在某区间的整体性质与该区间内部某点处导数之间的关系。由于这些的整体性质与该区间内部某点处导数之

2、间的关系。由于这些性质都与自变量区间内部的某个中间值有关，因此被统称为性质都与自变量区间内部的某个中间值有关，因此被统称为中值定理中值定理。我们知道导数和微分是讨论小增量我们知道导数和微分是讨论小增量 y = f(x+ x) - f( x)的有效的有效工具，自然进而要问：这一工具是否也有助于对宏观增量工具，自然进而要问：这一工具是否也有助于对宏观增量f (b) - f (a) 的研究？微分中值定理对此做出肯定的回答。的研究？微分中值定理对此做出肯定的回答。 一、罗尔定理一、罗尔定理（rolle)引理（费马定理引理（费马定理）内内有有定定义义的的某某邻邻域域在在点点设设函函数数)()(00 xu

3、xxf有有如如果果对对于于任任意意的的处处可可导导并并且且在在),(,00 xuxx )()()()(00 xfxfxfxf 或或. 0)( 0 xf那么那么证证，如果如果时，时，不妨设不妨设)()()()()(000 xfxfxfxfxux 有有，于是，对于，于是，对于可以完全类似的证明）可以完全类似的证明）),(00 xuxx ，0)()(00 xfxxf时时从而当从而当0 x0)()(00 xxfxxf的的保保号号性性，便便得得到到可可导导的的条条件件，再再由由极极限限在在根根据据函函数数0)(xxf0)()(lim)()(00000 xxfxxfxfxfx0)()(lim)()(000

4、00 xxfxxfxfxfx。所以，所以，0)(0 xf0)()(00 xxfxxf时时从从而而当当0 xc0 x 上上连连续续，在在若若baxf,罗尔定理罗尔定理（rolle):ababc .如如图图轴轴过过该该点点的的切切线线平平行行于于，点点则则此此曲曲线线上上至至少少存存在在一一满满足足罗罗尔尔定定理理，几几何何上上，若若xcxf几几何何意意义义 内内可可导导，在在ba, ,bfaf 0 , fba，使使得得则则至至少少有有一一点点ccab ,afmm至至少少有有一一个个不不等等于于 ,afm 不妨设不妨设 bfaf mm 若若(2)最大值点必在最大值点必在 (a, b) 内，设为内，

5、设为, mf 即即0)( f 上上连连续续，在在baxf, .,mmxf最最小小值值有有最最大大值值证证 mxf 则则mm 若若(1)0)( xf结论成立结论成立.ababc ),()(,xffxba 上的任意上的任意因此对因此对从而由费马定理可知，从而由费马定理可知，注意：定理的三个条件有一个不满足，定理的结论就可能不注意：定理的三个条件有一个不满足，定理的结论就可能不成立。成立。0 xab1、由图可知，函数不满足连续的条件2、由图可知，函数 在x=0不满足可导的条件。xy 3、定义在0，1函数y=x，不满足端点函数值相等的条件。例例1 验证罗尔定理对函数验证罗尔定理对函数xysinln 在

6、区间在区间 65,6 上的正确性上的正确性。解解内内可可导导。，上上连连续续，在在，在在函函数数 656656sinlnxy且且. 2ln21ln65sinln6sinln 令令0cotsincos xxxy得得2 x 65,6 ,65,62 即即 . 0 f使使得得)cotsincossinln65,60sin65,6sinln(xxxyxyxxxy 定定义义域域内内的的一一部部分分；是是即即。时时，是是初初等等函函数数，且且当当函函数数 解解。实实根根，以以及及其其所所在在范范围围的的导导数数有有几几个个、不不求求导导数数，判判断断函函数数例例)3)(2)(1()(2 xxxxf. 0)3

7、()2()1( fff显显然然，上上满满足足罗罗尔尔定定理理条条件件。和和在在且且3 , 22 , 1)(xf内内。和和实实根根分分别别在在区区间间两两个个实实根根，因因此此这这两两个个为为二二次次多多项项式式，只只能能有有又又因因为为)3 , 2()2 , 1()(xf 一一个个实实根根。的的是是，使使得得内内至至少少存存在在一一点点在在一一个个实实根根。的的是是，使使得得内内至至少少存存在在一一点点因因此此，)(, 0)()3 , 2()(, 0)()2 , 1(222111xffxff 例例3 试试证证：不不为为零零。又又且且在在任任一一点点处处的的导导数数都都内内可可导导，上上连连续续

8、，在在开开区区间间在在闭闭区区间间设设函函数数, 0)()(),(,)( bfafbabaxfy.),(0)(内有且仅有一个实根内有且仅有一个实根在开区间在开区间方程方程baxf 证证 至至少少存存在在函函数数的的零零点点定定理理可可知知，由由第第一一章章闭闭区区间间上上连连续续据据此此上上连连续续，且且在在闭闭区区间间由由于于, 0)()(,)( bfafbaxfy。有一个实根有一个实根内至少内至少在在，即方程，即方程使使一点一点000),(0)(0)(),(xbaxfxfbax ),(1bax 反反证证法法。假假设设还还有有再再证证实实根根仅仅有有一一个个，用用),(1001xxxx ，必

9、存在一点，必存在一点。那么由罗尔定理知道。那么由罗尔定理知道.0)(0)(),()(01只只有有一一个个实实根根方方程程恒恒不不为为零零相相矛矛盾盾，因因此此，这这就就与与题题设设导导数数，使使），（或或 xffbaxx例例4、0)( ),()()()( ),()( 31321321 fxxbxxxaxfxfxfbaxf，使使得得内内至至少少有有一一点点，证证明明在在其其中中，内内具具有有二二阶阶导导数数，且且在在若若函函数数证证0)( ),(,)(121121 fxxxxxf使使在在一一点点应应用用罗罗尔尔定定理理，至至少少存存在在0)( ),(,)(232232 fxxxxxf使使在在一一

10、点点应应用用罗罗尔尔定定理理，至至少少存存在在0)( ),(,)( 2121 fxf使使在在一一点点应应用用罗罗尔尔定定理理，至至少少存存在在0)()(, ff使使得得例例5 已知函数已知函数f(x)在闭区间在闭区间0，1上连续，在开区间（上连续，在开区间（0，1）内）内 可导，且可导，且f(1)=0。试证：在开区间（。试证：在开区间（0，1）内至少存在一点）内至少存在一点，使使得得 0)()( ff证证构造函数：令构造函数：令f(x)=xf(x)， 则则f(x)在在0，1上上满足罗尔中值定理的条件，于是在开区间（满足罗尔中值定理的条件，于是在开区间（0，1）内至少存在一点内至少存在一点cab

11、ab xfy 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(lagrange):几何意义几何意义: )( fabafbf 或或者者 )( abfafbf ，则则至至少少有有一一点点 , ba , , 内内可可导导，上上连连续续，在在在在若若babaxf使得使得ab 上至少有一点上至少有一点c,弧弧使曲线在使曲线在 c 处的切线平行于弦处的切线平行于弦 ab.证明思路证明思路把曲线的两个端点把曲线的两个端点 a、b 拉平拉平 )()( axabafbfafxfx 证证 0 abafbff abafbff )()( axabafbfafxfx 令令 . 满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件容易验证：容

12、易验证：x 由罗尔定理知由罗尔定理知在在 (a, b) 内至少存在一点内至少存在一点即即使得使得 . 0)( , )( abfafbf 即即拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 )( fabafbf 或或者者 )( abfafbf ，则则至至少少有有一一点点 , ba , , 内可导，内可导，上连续，在上连续，在在在若若babaxf使得使得 上上连连续续，在在若若baxf,罗尔定理罗尔定理 内内可可导导，在在ba, ,bfaf 0 , fba，使使得得则则至至少少有有一一点点称为称为拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.xfxfxxf )()()( xxxx 10 , 设设 10 )()()( xxx

13、fxfxxf,)( xxxfy 即即 10 中中值值公公式式上上应应用用在在 lagrange , xxx 注注 )( abfafbf (1)对于对于 ba 也成立也成立 (2)有限增量定理有限增量定理, 也叫也叫微分中值定理微分中值定理.推论推论 . , 0 上上是是一一个个常常数数在在则则上上若若在在区区间间ixfxfi 推论推论。为为常常数数一一个个常常数数，即即上上至至多多相相差差在在都都相相等等，则则这这两两个个函函数数与与上上每每一一点点的的导导数数在在区区间间与与若若函函数数)( ,)()()()()()(ccxgxfixgxfixgxf 证证 211212 0 xxxxfxfx

14、f , , ,2121xxxx 在区间在区间 i上任取两点上任取两点 . 上上是是一一个个常常数数在在区区间间知知ixf, , 21的的任任意意性性由由xx . 0ixccxfxf区间区间为常数，为常数，由此：由此： (3)证证例例1,在在1, x上应用上应用拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 )( 的的应应用用abfafbf x 1 时时，当当证明证明. xeex xf 设设xe)1( ,)( ,)1( xeeeexfefxx 因此由上式可得因此由上式可得由于由于,1ee exexeeex )1(于是于是. xeex xxffxf 1 ),1)( )1()( xxxxx 1ln1 0 时时，当

15、当证证明明 ,1ln xxf 设设 xxffxf 0 ,00 xxxxx 11ln1证证例例2在在0, x上应用上应用拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 ,11xxf , 0)0( f 1)0(11)01ln(1lnxxx,111 x 又又11111 x例例3 证明恒等式证明恒等式 .1 , 1,2arccosarcsin xxx 证证 xxxfarccosarcsin 设设 1)x1( 0111122 xxxf所以所以 )1(-1 xcxf,2 )1 , 1(0 cx代代入入上上式式，算算得得取取. )1 , 1( ,2arccosarcsin xxx 2021arccos1arcsin 又又

16、,22)1arccos()1arcsin( . 1 , 1 ,2arccosarcsin xxx 综上得：综上得：0)()(, ff使使得得例例4 已知函数已知函数f(x)在闭区间在闭区间a，b上连续，在开区间上连续，在开区间(a,b)内可导，内可导， 且且f(a)=f(b)=0。试证：在开区间。试证：在开区间(a,b)内至少存在一点内至少存在一点0)()( fefe证证，使使得得 则则f(x)在在a，b上满足罗尔中上满足罗尔中值定理的条件，于是在开区间值定理的条件，于是在开区间(a,b)内至少存在一点内至少存在一点),()(xfexfx 构造函数构造函数，故故结结论论成成立立。又又因因0 e

17、 ffafbfafbf 三、柯西中值定理三、柯西中值定理(cauchy)： , , 内内可可导导，上上连连续续，在在在在及及若若babaxfxf. ) ,( )( 内内的的每每一一点点处处均均不不为为零零在在且且baxf , 至至少少有有一一点点则在则在(a, b)内内使得使得注注： , 1, , xfabafbfxxf则则设设就是拉格朗日中值定理，故拉格朗日中值定理是就是拉格朗日中值定理，故拉格朗日中值定理是柯西定理的特例。柯西定理的特例。 , xfxfdxdy 则则 ffdxdyx几何意义几何意义: bxaxfyxfx 曲线的参数方程曲线的参数方程c点处切线斜率为点处切线斜率为它等于弦它等

18、于弦 ab 的斜率的斜率.abcxyo afaf, ff, bfbf, af bf f xf的的方方程程为为ab afxfafbfafbfafy )()()()()( afxfafbfafbfafxfx 设设 0)()()( fafbfafbff )()()()( ffafbfafbf . 满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x 直接验证知直接验证知,由罗尔定理知由罗尔定理知在在 (a, b) 内至少存在一点内至少存在一点即即使得使得 . 0)( , 证证, 0)()( afbf0)()()( abfafbf证证 设设 ,3xxf ,上上满满足足柯柯西西定定理理的的条条件件在在及及则则baxf

19、xf ，使使得得即即至至少少有有一一点点ba, 故故例例5 设设 xf在在 baba 0 ,上连续上连续，在在 ba,内可导，证明内可导，证明 ,ba 使得使得 .3)(222 fbabaabafbf ffafbfafbf 2333 fabafbf .3)(222 fbabaabafbf 证证 ,ln xxf 设设 ,上上满满足足柯柯西西定定理理的的条条件件在在及及则则baxfxf ，使使得得即即至至少少有有一一点点ba, 例例6 设设 xf在在 baba 0 ,上连续上连续，在在 ba,内可导，证明内可导，证明 ,ba 使得使得 .lnabfafbf ffafbfafbf 1lnlnfaba

20、fbf故故 .ln)(abfafbf . 1)(),1 , 0(:. 121),1(0)0(,)1 , 0(, 1 , 0)( ffffxf使得使得至少存在一点至少存在一点证明证明且且内可导内可导在在上连续上连续在在若若例例7 证证,)()(xxfxf 构造函数构造函数 则则f(x)在在0，1上连续，在上连续，在(0,1). 021)1( ff内可导，且内可导，且. 0)(.1 ,21 fts则则上满足罗尔定理条件。上满足罗尔定理条件。在在), 0()( xf. 1)(, 01)(f ), 0( f- s.t.即即故至少存在一点故至少存在一点).(2)(),(,:,0 ,),(,)( fbaf

21、babababaxf使得使得必存在必存在证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设设例例8 证证 ,)(2xxg 设设,0ba ).,(, 02)(baxxxg 件。件。上满足柯西中值定理条上满足柯西中值定理条在在显然显然,)(),(baxgxf于是存在于是存在,2)()()( . ),(22 fabafbftsba).(2)()( fababafbf即即理条件，理条件，上满足拉格朗日中值定上满足拉格朗日中值定在在又因又因,)(baxf故存在故存在).()()( ),( fabafbf s.t.ba).,(,),(2)(bafbaf 一、未定式一、未定式 二、二、xa 时时 型未定式型未定式0

22、0三、未定式三、未定式. ,00四、其它未定式四、其它未定式 1 0 000 、4.2 洛必达法则洛必达法则31 xxx3sinlim0 xxx2sinlim200 0 xxx1lim2 1lim2 xxx4 型型未未定定式式。型型和和式式为为通通常常称称以以上上形形式式的的未未定定 00对于这类函数的求极限问题，不能用极限的除法法则求对于这类函数的求极限问题，不能用极限的除法法则求，下面给出这类函数的求极限的一种简单而又方便的方法：下面给出这类函数的求极限的一种简单而又方便的方法：洛必达法则洛必达法则。当在相应的自变量变化趋向下当在相应的自变量变化趋向下，零或都趋于无穷大零或都趋于无穷大,

23、通常称极限通常称极限)()(limxfxf两个函数两个函数f(x) 与与f(x)都趋于都趋于为为未定式未定式. 例如例如2241limxxx 一、定理一、定理(3) limxafxgx 存在存在 (或无穷大或无穷大);那么那么 limlimxaxafxfxg xgx 0,g a , 0 af不妨假定不妨假定由柯西中值定理，有由柯西中值定理，有证证这种求极限的方法称为这种求极限的方法称为型型未未定定式式的的00洛必达法则洛必达法则。设设；或或 )(0)(lim)(lim)1( xgxfaxax；都存在，且都存在，且及及的某去心邻域内的某去心邻域内在点在点0)()()()2( xgxgxfa,)(

24、)()()(lim存在与否无关存在与否无关和和与与求求agafxgxfax limlimxaxafxfg xg limafg limxafxgx fxfxf afg xg xg ag )(之之间间与与在在ax 解解例例1xxxsinlim0 xxxsinlim011coslim0 xx00 0 sinsinlim 0 bbxaxx例例2 sinsinlim0bxaxx )(sin)(sinlim0 bxaxx cos cos lim0bxbaxax ba 00解解 xxxsinlim0 ( )limlimlim( )xaxaxafxfxfxg xgxgx 并且可以依次类推进行计算并且可以依次类

25、推进行计算。(1)不是未定式不是未定式, 不能盲目应用洛必达法则不能盲目应用洛必达法则.(2)注注1特别提醒：特别提醒： 每次用洛必达法每次用洛必达法则前必须进行检验则前必须进行检验例例3 123lim 2331 xxxxxx 123lim2331 xxxxxx 12333lim221 xxxx 266lim1 xxx 23 00解解00所要满足的条件，则所要满足的条件，则、满足定理中满足定理中还能还能、型，且型，且时仍属时仍属当当如果如果)()()()(00)()(xgxfxgxfaxxgxf 例例4 sinlim 30 xxxx sinlim30 xxxx 3cos1lim20 xxx 6

26、sinlim0 xxx 61 解解0000 00 型型极极限限时时的的未未定定式式对对于于 x如果如果二二、三、三、)()(lim)()(lim)()()(lim)3(; 0)()()(|)2()(),()1(xgxfxgxfxgxfxgxgxfnxxgxfxxxx ；则则或或无无穷穷大大存存在在都都存存在在且且、时时，当当都都趋趋于于零零或或无无穷穷大大；时时，函函数数当当 )(的的相相应应形形式式。型型也也有有洛洛必必达达法法则则极极限限时时的的未未定定式式或或对对于于 xax例例5 1arctan2limxxx 1arctan2limxxx 1 解解 111lim22xxx 00 1li

27、m22xxx 例例6 0 lnlim nxxnx解解 lnlimnxxx 1 lim1 nxnxx 1limnxnx 0 例例7 0 , lim 为为正正整整数数nexxnx limxnxex 解解 lim1xnxenx ) 1(lim22xnxexnn !limxnxen 0 , 1 0 000 、可通过整理，化为可通过整理，化为00或或 型的未定式极限来计算型的未定式极限来计算。对于其它未定式，如对于其它未定式，如四四、例例8 0 lnlim 0 nxxnx解解nxxx ln lim 0 lnlim0 xxnx 101 lim nxnxxnxnx lim00 0 解解 xxxtansec

28、lim2 xxxxcossincos1 lim2xxxcossin1 lim2 xxxsincos lim2 0 xxxtansec lim 2 例例900例例10 xxx0lim 解解xxxeln0lim xxx0lim 00 xxxeln0lim xxxelnlim0 xxxlnlim0 xxx1lnlim 0 02011lim xxx 0lim 0 xx0e 1 xxx0lim 解解例例11 xxx1021lim 21lim10 xxx 1 xxxxxxee21lnlim21ln100lim00 xxe212lim0 2e 例例12 3cossintanlim 20 xxxxxx 3co

29、ssintanlim20 xxxxxx tanlim 30 xxxx 31seclim220 xxx 3tanlim220 xxx 31 解解00 xxxx2220cossinlim31 特别提醒：特别提醒： 洛必达法则与其它方洛必达法则与其它方法结合使用，会使计算法结合使用，会使计算简化、方便简化、方便例例13 cos1sin1lim 0 xxxx 2sinlim20 xxxxx sinlim2 30 xxxx cos1lim3220 xxx 31 解解00例例14 sinarcsinlim 30 xxxx arcsinlim30 xxxx 3111lim 220 xxx 111lim312

30、220 xxxx ) 11(11lim31220 xxx61 解解 xxxsin1lim1 )()sin(lim xxxx cos1limxx sinlimxxxx 但但极限存在极限存在。若用洛必达法则，则若用洛必达法则，则例例15xxxxsinlim 解解注注2然洛必达法则的条件不成立然洛必达法则的条件不成立, 但所求极限可能仍存在但所求极限可能仍存在.洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法,但它不是万但它不是万能的，即能的，即洛必达法则的条件是充分而非必要的。洛必达法则的条件是充分而非必要的。有些题目虽有些题目虽不存在不存在xxx1lim2 例例16解

31、解 若用洛必达法则，则若用洛必达法则，则 xxxxxx 1lim1lim221lim2 xxxxxx1lim2 事实上事实上，111lim1lim222 xxxxx解解例例17xxxxsin1sinlim 20若用洛必达法则求，则有若用洛必达法则求，则有 xxxxsin1sinlim20 xxxxxcos1cos1sin2lim0 xxxcos1coslim0 极限不存在，极限不存在， xxx1lim2但但 xxxxsin1sinlim 20 xxxxxsin1sinlim0. 0 本题还可如下做本题还可如下做: xxxxsin1sinlim 20 xxxx1sinlim 2001sinlim

32、 0 xxx例例18).0(, 3)0(, 0)0()0(,0 , 00,)()(fgggxxxxgxf 试求试求且且设设0)0()(lim)0(0 xfxffx解解xxxgx)(lim0 20)(limxxgx xxgx2)(lim0 xgxgx2)0()(lim0 xgxgx)0()(lim210 )0(21g .23 .232)0(2)(lim0 gxgx错错 ;, , 0 , 1上上单单调调增增加加在在则则内内如如果果在在baxfxfba 一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法:设函数设函数 y=f(x) 在在a, b上连续上连续, 在在(a, b)内可导内可导. ., , 0

33、, 2上上单单调调减减少少在在则则内内如如果果在在baxfxfba oxyab xfy ab0)( xf 0 xf xfy xbaoyba4.3 函数的单调性函数的单调性证证 在在a, b上任取两点上任取两点, )( 2121xxxx 不妨设不妨设、由拉格朗日中值定理，有由拉格朗日中值定理，有)()()(1212xxfxfxf 0)()()( 1212 xxfxfxf 则则,)(总总为为正正若若xf , 0 12 xx),()( 21xfxf 即即同理同理， .,上上单单调调增增加加在在baxf, )(总总为为负负若若xf .,上上单单调调减减少少在在则则baxf则则 . 2 , 0 sin

34、上上的的单单调调性性在在判判定定 xxy 例例1解解 .2 , 0sin上上单单调调增增加加在在 xxy 0cos1 xy恒有恒有, )2 , 0( 内内在在 1 判定函数单调性（即确定其单调区间）判定函数单调性（即确定其单调区间）一般的解题的格式为：一般的解题的格式为： （1）确定函数定义域；）确定函数定义域； （2）求）求 （3）令）令 解得它的根解得它的根 （4）确定）确定f(x)的间断点、的间断点、 不存在的点不存在的点 （5）用）用 把函数的定义域划分为几个部分区间；把函数的定义域划分为几个部分区间； （6）在上面每个小区间上讨论函数的单调性。）在上面每个小区间上讨论函数的单调性。

35、;xf ,0 xf;ix xf ;kxkixx 、解：函数的定义域为：解：函数的定义域为： ， 令令 解得解得x1=？ , x2=？ , x3= ？, 当当x=？ 时，时， 不存在，不存在， 列表得结论。列表得结论。 xf ,0 xf xfxf 、二、利用函数单调性所解决的几个问题二、利用函数单调性所解决的几个问题:一般步骤为：一般步骤为：. 1 的的单单调调性性讨讨论论 xeyx例例2解解, 1 xey00 xy，得得令令 , 0 , 0 , yx , 0 , , 0 yx . , 定义域定义域.) , 0)(上上单单调调增增加加在在 xf .0 ,(上单调减少上单调减少在在 xf的的单单调

36、调性性讨讨论论32 xy 例例3解解3132 xy332x ,定定义义域域不不存存在在时时yx 0, 00 yx时，时，00 yx时，时， .) , 0上上单单调调增增加加在在 xf ,0 ,(上上单单调调减减少少在在 xf11xy1o32xy . 31292 23的的单单调调区区间间确确定定 xxxxf例例4解解2, 10 xy，得得令令 ,定定义义域域 121862 xxxf)2)(1(6 xx 0 ,2 , 1 xfx 0 ,1 , xfx , ) ,2 ,1 ,( 上上单单增增在在 xf . 2 , 1 上上单单减减在在x123y0 .2 , 1, 21 ,:单单减减区区间间为为、的的

37、单单增增区区间间为为即即 xf 0 ,2 xfx，又例又例解解 ,定义域定义域032 xy）（除去（除去0 x .,上单调增加上单调增加在在 xf上上的的单单调调性性，在在讨讨论论 2 2 cos xxy的的单单调调性性讨讨论论 3xy 例例5解解0sin1 xy）（除去（除去0 , 2 ,2 yx . 2 ,2上上单单调调增增加加在在 xf3xy 0 xy注注 如果函数的导数在某区间上的有限个点处为零，在其余各如果函数的导数在某区间上的有限个点处为零，在其余各点处恒为正或负，则函数在该区间上仍为单增或单减。点处恒为正或负，则函数在该区间上仍为单增或单减。2 利用单调性证明不等式利用单调性证明

38、不等式一般要证明一般要证明 :xhxg a）设）设（一般用大端减小端）（一般用大端减小端） ;xgxhxf 的正、负；的正、负；b）讨论）讨论 xgxhxf c）求定义区间端点的函数值；）求定义区间端点的函数值；d）由函数的单调性及端点函数值，证得不等式）由函数的单调性及端点函数值，证得不等式。或或 例例6xxx132 1 时，时，证明证明证证 )13(2 xxxf 令令 211 xxxf 则则) 1(12 xxx , 0 , 1 xf内，内，在在 ,) , 1上上单单调调增增加加在在 xf 01 fxf又又xxx132 1 时，时，当当例例7.21)1(ln,0 2xxxx 时时证明证明证证

39、 221)1ln( xxxxf 令令 xxxf 111 则则xx 12 , 0 , 0 xf内，内，在在 ,) , 0(上上单单调调增增加加在在 xf 00 fxf又又.2)1(ln 0 2xxx x 时，时，当当证证 00 ,2tansin fxxxxf则则设设 01cos2sintansec2sin32 xxxxxxf 2, 0 xxf单调增加，单调增加， , 00 fxf 内内单单调调增增加加，在在 2, 0 xf , 00 fxf. 02tansin xxx即即.2tansin 20 xxxx 时时，当当例例8 00 , 2seccos2 fxxxf且且3 利用函数单调性讨论某些方程的

40、根利用函数单调性讨论某些方程的根 内内有有且且只只有有一一个个根根。在在方方程程1 , 00)( xf,1)(5 xxxf设设,01)1()0( ff且且,015)(4）（又又rxxxf 所所以以函函数数单单调调增增加加，得证得证。证证 内内有有且且只只有有一一个个实实根根。在在证证明明方方程程1 , 0015 xx例例9 上连续。上连续。，在在则则10)(xf 内内至至少少有有一一个个实实根根。在在1 , 0)(xf由零点定理，知由零点定理，知 上至多有一个根，上至多有一个根，在在则则101)(5 xxxf一般方法为：一般方法为： 先证明方程至少有一个根；先证明方程至少有一个根； 再证明方程

41、至多有一个根。再证明方程至多有一个根。4.4 函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题一、定义一、定义二、必要条件二、必要条件三、第一充分条件三、第一充分条件四、第二充分条件四、第二充分条件设设 f(x) 在区间在区间 (a, b) 内有定义内有定义, 0 x是是 (a, b) 内的一点内的一点. 如果对于如果对于0 x的一个去心邻域内的任何点的一个去心邻域内的任何点 x ,都有都有 )()(0 xfxf 则称则称)(0 xf是是 f(x) 的一个的一个极大值极大值 ( 极小值极小值 ). ,)()(0 xfxf 极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值, 使函数取得极值的点称为使函数

42、取得极值的点称为极值点极值点.一、函数极值的定义一、函数极值的定义0 xx)(xfy yo1x注注 极值具有局部性；极值具有局部性； 极值一定在给定的区间内部取得；极值一定在给定的区间内部取得； 极大值不一定比极小值大。极大值不一定比极小值大。 0lim00000 xxxfxfxfxx 000 xxxfxf证证 000 xxxfxf 0 , 000 xfxfxxf则则处处可可导导且且取取得得极极值值在在设设 (极小值的情况可类似证明极小值的情况可类似证明)时时， 0 xx , 0时时xx 0lim00000 xxxfxfxfxx0)( 0 xf假定假定)(0 xf是极大值。是极大值。定理定理1

43、（必要条件）（必要条件）二、函数极值的判定二、函数极值的判定驻点。驻点。 的的称称为为的的实实根根方方程程xfxxf0 注注 .，但但反反之之不不然然的的极极值值点点一一定定为为其其驻驻点点由由此此，xf .0, 003不不是是极极值值点点但但处处有有在在如如 xxfxxy处处连连续续，且且在在的的某某空空心心邻邻域域内内可可导导在在设设00,)(xxxf(1) )( , 0恒为正恒为正左邻域的值时左邻域的值时取取xfxx 处处取取得得极极大大值值在在那那么么 )( 0 xxf(2). )( 0处处没没有有极极值值在在则则函函数数xxf(负负),(正正),(极小值极小值); ,)( , 0恒恒

44、正正或或恒恒负负邻邻域域的的值值时时取取xfxx 定理定理 2 （充分条件一（充分条件一) )( , 0恒为负恒为负右邻域的值时右邻域的值时取取xfxx 证证 根据函数单调性的判定法根据函数单调性的判定法,)(0附附近近左左正正右右负负在在若若xxf ,)(0附附近近左左增增右右减减在在则则xxf.)(0处处取取得得极极大大值值在在故故xxf其它情况可类似证明其它情况可类似证明. .0)( xf0)( xf0 xy0 x(a)0 xy0 x0)( xf0)( xf(b)0)( xf0 xy0 x0)( xf(c)0)( xf0)( xf0 xy0 x(d);)()( )2(的的不不可可导导点点

45、及及求求出出xfxf ；极极大大值值点点还还是是极极小小值值点点该该点点是是否否为为极极值值点点，是是的的符符号号，以以确确定定在在驻驻点点及及不不可可导导点点左左右右分分别别考考察察 )()4(xf (5) 算出各个极值点处的函数值算出各个极值点处的函数值,即为极值即为极值. ;)(, 0 )3(的的所所有有驻驻点点求求出出令令xfxf 求函数的极值的步骤求函数的极值的步骤;)( )1(的定义域的定义域求出求出xf . 593 23的的极极值值求求 xxxxf例例1解解 963 2 xxxf)3)(1(3 xx 0 y令令 3 , 1 21 xx驻驻点点得得(2)(1)(xf )( xf00

46、极大极大极小极小x 1- , 1 3)3 , 1( ), 3( 101 极极大大f 223 极小极小f定理定理 3 （充分条件二）（充分条件二） ; , 0 100为为极极大大值值时时xfxf 0lim0000 xxxfxfxfxx证证设设 f(x) 在在0 x处具有二阶导数且处具有二阶导数且, 0)( , 0)(00 xfxf那么那么(1) 极极限限保保号号性性 0000 xxxfxfx 附近，有附近，有在在 . , 0 200为为极极小小值值时时xfxf ;0 , 0 xfxx时时 0 , 0 xfxx时时因此因此由定理由定理2知知.)(0处处取取得得极极大大值值在在xxf(2)可类似证明

47、可类似证明. 66 xxf 0121 f而而 0123 f .101为为极极大大值值 f .103为为极极小小值值 f在例在例1中，也可如下做：中，也可如下做：注注 判判定定。失失效效，还还应应用用定定理理，则则定定理理但但是是极极大大值值还还是是极极小小值值，的的符符号号判判定定一一定定是是极极值值点点，且且可可用用则则处处若若驻驻点点230, 0000000 xfxfxfxxfx , 00 xxxf ,0异号异号与与即即xxxf . 1)1( 32的极值的极值求求 xxf例例2解解 22)1(6 xxxf1 , 0 , 1 321 xxx得得 )15)(1(622 xxxf , 00 f

48、.00为极小值为极小值 f.方方法法二二失失效效，用用方方法法一一 ，01 f 0 1 xfx有有的的左左右右两两侧侧附附近近时时，都都在在 .1 不不是是极极值值 f 0 1 xfx的左右两侧附近时，的左右两侧附近时，在在 .1 不不是是极极值值f0)( xf令令xy110 . )2(132的的极极值值求求 xxf例例3解解 , 23223 xxfx时，时， 单单调调增增加加；x f , 0 , 2 xf内，内，在在 .12为为极极大大值值 f , 0 2 , xf内，内，在在xy021f(x) 单调减少单调减少连连续续。在在而而 2 )( xxf三、最大值与最小值三、最大值与最小值 .,

49、, 求求最最大大值值和和最最小小值值上上连连续续在在baxf1.最大（小）值点最大（小）值点端点端点内部内部驻点，导数不存在的点驻点，导数不存在的点abxy0求出端点、驻点和不可导点处求出端点、驻点和不可导点处的函数值，其中最大（小）的的函数值，其中最大（小）的就是函数的最大（小）值就是函数的最大（小）值 . 4 3 141232 23上上的的最最大大值值和和最最小小值值，在在求求 xxxy例例4解解 12662 xxxf)1)(2(6 xx 0 xf令令 ;233 f ;342 f ;71 f .1424 f .711424为为最最小小值值为为最最大大值值，比比较较得得 ff1 , 2 21

50、 xx驻点驻点得得abxyo例例5 选选何何处处，运运费费最最省省？：为为费费之之比比公公路路上上每每公公里里货货运运的的运运运运费费与与已已知知铁铁路路每每公公里里货货运运的的d , 5 3 解解xad 设设2220 xcd 则则 xkxky 100340052运运费费)1000( x)34005(2 xxky0 y令令 kmx15 得驻点得驻点2100511500 kyx,38015kyx ,4000kyx .15时时运运费费最最省省因因此此kmxad abcdkm20km100工厂工厂铁路铁路公路公路x2. 实际问题中的最大值最小值问题实际问题中的最大值最小值问题xy0 xb)(0 xf

51、)(xfy aoo)(xfy a)(0 xf0 xbyx注注1) 若若f(x)在一个区间内可导且只有一个驻点在一个区间内可导且只有一个驻点0 x且且是是f(x)的极大值点的极大值点 (极小值点极小值点),就是就是f(x)在在则则)(0 xf该区间上的最大值该区间上的最大值(最小值最小值).,0 x2) 实际问题中实际问题中, 若根据问题的性质可以断定可导函数若根据问题的性质可以断定可导函数)(xf确有最大值确有最大值(或最小值或最小值), 并且一定在定义区间内部取得并且一定在定义区间内部取得,而此时而此时在定义区间内部只有一个驻点在定义区间内部只有一个驻点则可断定则可断定就是所求的最大值就是所

52、求的最大值(或最小值或最小值)。)(xf)(0 xf,0 xyxxl22 周长周长52212 xxy 852122xl0 l令令440 x得得xxy852 85xx 8522xxxxl 0 x由实际情况最小周长一定存在，由实际情况最小周长一定存在， 内驻点唯一，内驻点唯一，且在且在, 0.440最小最小时，时，lx 解解例例6某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆。某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆。？长长最最小小，所所用用材材料料最最省省为为多多少少时时才才能能使使截截面面周周问问底底 x .5 2m截截面面积积为为xy ,上上连连续续在在区区间间设设ixf1.1.凹凸性的定义凹凸性的定义如果对

53、如果对i i上任意两点上任意两点, , 21xx2)()(2 2121xfxfxxf 恒有恒有2)()(2 2121xfxfxxf 恒有恒有 221xfxf 1x2x 1xf 2xf)2(21xxf 凹凹的的；向向上上上上的的图图形形是是在在则则称称)(ixf .)(凸凸的的向向上上上上的的图图形形是是在在则则称称ixf 221xfxf 1x2x 1xf 2xf)2(21xxf 4.5 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点 递增递增xf 递减递减xf 0 xf 0 xf ., , 0,2上上的的图图形形是是凸凸的的在在则则内内若若在在baxfxfba 则则内内有有一一阶阶和和二二阶阶导导数数在

54、在上上连连续续在在设设, , ,babaxf 上上的的图图形形是是凹凹的的；在在则则内内若若在在baxfxfba, , 0,1 2. 定理定理例例1.ln的的凸凸凹凹性性判判断断xy 解解xy1 21xy . 曲曲线线是是凸凸的的 0 0 y内，内，在定义域在定义域例例2. 3的的凸凸凹凹性性判判断断xy 解解,6 ,32xyxy . )0 , 00内内是是凹凹的的，曲曲线线在在时时， yx;0 ,( , 00内内是是凸凸的的曲曲线线在在时时， yxxyo3xy 求求拐拐点点的的步步骤骤： ；求求xf 1 内内的的实实根根；求求出出方方程程在在令令baxf, 02 就就不不是是拐拐点点。点点则

55、则是是拐拐点点，若若符符号号相相同同，若若符符号号相相反反，则则点点的的符符号号，左左右右两两侧侧，判判定定对对上上面面求求出出的的实实根根000000,3xfxxfxxfxx 曲线凹向与凸向的分界点曲线凹向与凸向的分界点,称为称为拐点拐点.例例3.14123223的的拐拐点点求求 xxxy，12662 xxy，有有令令21 0 xy；时，时，0 21 yx。时，时，0 21 yx.) 2120 ,21( 是是曲曲线线的的拐拐点点点点 ) 21(12612 xxy解解231212xxy , 323624362xxxxy32 , 0 021 xxy得得令令例例4. 14334的的拐拐点点及及凸凸

56、凹凹性性求求 xxy解解定义域为定义域为) ,( ，凸凸区区间间为为、凹凹区区间间为为 32, 0,320 , .)2711 , 32( 1 , 0 是是曲曲线线的的拐拐点点、xy y 0 , 32,0 ,32 例例5. 4有有无无拐拐点点讨讨论论xy 解解2312 ,4xyxy 令令0 y得得 x = 00 0 xx或或不论不论都有都有0 y故故 4xy 没有拐点没有拐点二阶导数等于零的点二阶导数等于零的点, 不一定是拐点不一定是拐点.注注1 1例例 6的的拐拐点点求求3xy 解解, 3132xy , 9232xxy , 0时时 xyy ,都不存在都不存在,0) ,(内内在在 0 y上上是是凹凹的的曲曲线线在在0 ,( , ) , 0( 内内在在 0 y上上是是凸凸的的曲曲线线在在) , 0( 二阶导数不存在的点二阶导数不存在的点, 也可能是拐点也可能是拐点.且曲线在且曲线在 x=0 连续连续,故点故点 (0, 0) 是曲线的拐点是曲线的拐点.注注24.6 曲线的渐近线和函数作图曲线的渐近线和函数作图 一、曲线的渐近线一、曲线的渐近线(1)水平渐近线水平渐近线.)()(lim)(lim,)(lim的的一一条条水水平平渐渐近近线线是是函函数数则则），（或或若若xfybybxfbx