2022年偏微分方程数值解法试题与答案

1、一填空（1553分）1若步长趋于零时，差分方程的截断误差0lmr，则差分方程的解lmu趋近于微分方程的解lmu. 此结论 _（错或对）；2一阶 sobolev空间)(,),()(21lfffyxfhyx关于内积1),(gf_是 hilbert 空间；3对非线性（变系数）差分格式，常用_系数法讨论差分格式的_稳定性；4 写出3xy在区间2,1上的两个一阶广义导数：_ ，_ ；5隐式差分格式关于初值是无条件稳定的.此结论 _（错或对）。二（13 分）设有椭圆型方程边值问题xunuuyuuyxyxyuxuyyxx2,1122.00,3.002 .003. 002222用1.0h作正方形网格剖分。（

2、1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化；（ 2）用截断误差为)(2ho的差分法将第三边界条件离散化；（ 3）整理后的差分方程组为dcbauuuu三 （12）给定初值问题xutu，10 ,xxu取时间步长1 .0，空间步长2 .0h。试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(txu在2 .0,2 .0tx处的近似值。b d a c 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - -1所选用的差分格式是：2计算所求近似值：四 （12 分）试讨论差分方程haharuuru

3、uklklklkl11,1111逼近微分方程0 xuatu的截断误差阶r。思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2 ）展开的。思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格式。五 （12 分）对抛物型方程22xutu，考虑 du fort-frankel格式)(121111211klklklklklkluuuuhuu试论证该格式是否总满足稳定性的von-neumann 条件？六（12 分） （1）由 green 第一公式推导green 第二公式：dsnvunuvvdxdyuvdxdyugg)()(2（2）对双调和方程边值问题0,)

4、,(),(,),(),(),(2121212yxnuuyxgnuyxgugyxyxfu，g21选择函数集合（空间）为：推导相应的双线性泛函和线性泛函：),(vua)(vf相应的虚功问题为：极小位能问题为七 （12 分）设有常微分方程边值问题1,1,)(byaybxaxfyy精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - -将区间,ba作剖分：bxxxxan2101若要求节点基函数为分段三次多项式且有一阶连续导数，试写出基函数所应满足的插值条件：2画出基函数在,ba上的图形：3将有限元解*hy用基函数

5、的形式表示出来：八 （12 分）设有常微分方程边值问题1)1(,0)0(10,2yyxxyy1.转化为相应的变分问题选择函数集合（空间）为：推导相应的双线性性泛函和线性泛函：),(zya)(zf2.将1,0二等分，采用线性元的有限元方法，导出有限元方程并求解。参考解答二 （1）1 .0)4(10)4(12031210012cdaabcuuuuuhuuuuuh即801.148.14dcacbauuuuuu（ 2）52.02.42599.02 .42dcbdbauuuuuu或08. 12.3404. 12.34dcbauuuu（ 3）52.0599.0801.18 .12.4210102.4214

6、010114dcbauuuu或精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - -08.104.1801. 18.12.3400002.3414010114dcbauuuu2238108.14104.121801.1hhhh三1.125. 05. 025. 0)1(2)1()1(01000101200012101121uuuururrurruuru四 box 格式，二阶五练习题。总满足。六 1在green第一公式ggyyxxvdsnudvuvuvdu中将vu与位置对换，并进一步换uu在原green公式

7、中换uu2取2122121,gnuguhuuhf0,0,121220nuuhuuh20hv,由green第二公式有vfvu,2ggdsnvvdfdsnvnudvu2gdsnvnudvuvua2),(，)(vfgdsnvvdf虚工问题：求2fhu，使20,hvvfvua极小位能：求2fhu，使uiufuuauifhu2min,21七 11,2, 1 ,0,0,1)(niijijaji1, 1 ,0,0)(niaji精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - -niaji,2,1,0)()1(nii

8、jijdxdjai,2 ,1,0,1)1(2niiiniiihxmxyxy0)1(0*)()()(niiinniiixmxxxy1)1()1(010*)()()()(八 1. 取010,11, 00,11011yyhyyhyyhyyhe,10h作内积,2xyy，分部积分10210dxxdxyyfya,虚工问题：求1ehy，使10,hfya极小位能：求1ehy，使yiyfyyayiehy1min,212. 构造分段线性的结点基函数,1并补充20,则21*120*)(yxyyiii,15.0125.00015.0225.00221xxxxxxx，有限元方程为：),()(),(211*111afya*1133y25192+231311