《信号分析与处理》备课教案(第二章)

1、第二章：单输入单输出系统的时域分析2.1.概述 系统分析的主要任务是解决在给定的激励作用下，系统将产生什么样的响应。即如果系统（这里指“线性时不变LTI系统”，以下相同）是确定的，激励是已知的，则响应一定也是确定的。 系统数学模型的时域描述主要有两种形式：“输入输出描述”与“状态变量描述”，本章只涉及“输入输出描述”，即采用微分或差分方程对系统进行描述。 为了确定一个线性时不变系统在时域中对给定激励的响应，首先要建立描述该系统的微分方程（对于连续系统）或差分方程（对于离散系统），并求出满足给定初始状态的解。这里，解就是系统的响应。 LTI连续/离散系统的时域分析，可以归结为：建立并求解线性微分

2、/差分方程。这也称之为系统时域响应求解的“经典法”。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故这一方法称之为“时域分析法”。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。 几个重要的概念： 由于对“线性时不变LTI系统”在时域中进行描述的数学模型就是“微分方程/连续系统”和“差分方程/离散系统”，因此这些方程的“解”就是系统的“时域响应”，进而又可以按照“解的形式”分解为“自由响应”和“强制响应”，也可以按照“响应产生的原因”分解为“零输入响应”和“零状态响应”。1、自由响应29 / 30 “微分方程/差分方程”的“齐次通解”就是系统的“自由响应/固有响应”，其只取决于系统

3、本身的特性。也就是说，对于同一个系统，在不同的激励作用下，系统“自由响应”的形式是相同的。（但系数仍与“激励形式和系统初始状态”有关）2、强制响应 “微分方程/差分方程”的“特解”就是系统的“强制响应/受迫响应”，其形式由系统的激励所决定。3、零输入响应 指激励输入为零时，仅由系统的初始状态所产生的系统响应。4、零状态响应 指系统的初始状态为零，仅由激励输入所引起的系统响应。5、全响应 系统全响应 = 自由响应+强制响应 = 零输入响应+零状态响应2.2.连续系统的时域分析 见书上P2430，由于该部分内容已在高等数学与电路原理课程中作过较详细的讨论，因此本课程中为“自学内容”。2.3.离散系

4、统的时域分析一、差分与差分方程1、差分 设有序列f(k)，则，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2)等称为f(k)的移位序列。 仿照连续信号的微分运算，如下式所示：定义离散信号的差分运算表达式如下：即一阶后向差分定义： 式中，称为差分算子。本课程主要用后向差分，简称为差分。2、差分方程 包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式 即，其中 上式称为阶（后向形式）差分方程。差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。 这种方法可以称之为差分方程的“迭代解法”，但是采用这种方法一般不易得到解析形式的解，

5、或称“闭合解”。二、差分方程的建立 一般情况下，实际的物理系统都是连续的模拟系统。对于SISO线形时不变连续系统，描述其的数学模型一般是微分方程形式；但是对于这样的数学模型，通过“差分法”即可以通过微分方程推导出差分方程，从而成为处理离散系统的数学模型。 例1: 考虑一个RC串联电路如图所示，我们首先建立描述这一连续系统的数学模型，由电路运算基本规律： ，代入上式并经整理，可得到： （2.3-1） 这是一个一阶微分方程，也就是描述RC串联电路系统输入输出关系的数学模型，这里为系统输入，为系统输出。 下面采用“差分法”将该微分方程离散化。考虑若将连续变量以步长为间距进行等分，可得到，所以产生了离

6、散变量，从而连续函数在各点的取值就构成了离散序列。在足够小的情况下，微分运算就可以表示为： ，将此式代入上面的（2.3-1）式，得： 整理后可得：取为单位时间，即，可得：令，可得： 从而得到描述离散系统的一阶线形常系数差分方程。 例2: 某人每月向银行存款，当月存入无利息，月底结算，月利息为元/月。设第k月存入f(k)元，月底结余为y(k)元，k-1月底结余为y(k-1)元，以f(k)为银行系统的输入，y(k)为输出，则y(k)与f(k)的关系为： 即： 此即为描述这一银行结余系统的差分方程。问题：1自由响应与强制响应的区别是什么？2零输入响应与零状态响应的区别是什么？3在时域中对于LTI系统

7、，“输入输出描述”方式的系统数学模型是什么？为什么？三、差分方程的经典解 对于形如下式描述的离散系统差分方程：完全解/全响应 = 齐次解/自由响应+特解/强制响应其全响应可由以下两种分解响应构成：完全解/全响应 = 零输入响应+零状态响应A、齐次解与特解的求解1、齐次解齐次方程为：具体考察一阶齐次差分方程 这里 显然，是一个公比为的几何级数，于是，一阶差分方程的齐次解的一般形式为 对于n阶齐次差分方程，齐次解是n个形如的函数组合而成，将代入n阶齐次差分方程，则有特征方程为： 其根称为差分方程的特征根。齐次解的形式取决于特征根，具体情况如下： 当特征根为单根时，齐次解的形式为： 当特征根为重根时

8、，齐次解的形式为： 2、特解 特解的形式与激励的形式相同,主要分为以下三种形式： 方程两边同时除以得： ，解得： 所以得特解(强制响应)：， 故全解为， 将初始条件代入上式，可得： 解得： 所以齐次解(自由响应)为： 因此，系统的全响应为： ， 总结求解的过程如下：（1）由差分方程得到“特征方程”，求解得到特征根。（2）由特征根得到“自由响应”的一般式（包含待定系数）（3）由激励确定“强制响应”的形式（包含待定系数）（4）将代入原差分方程，求得待定系数，从而求得“强制响应”（5）列出全响应表达式（此时仍有的待定系数待求出）（6）将初始条件代入上面的全响应表达式，求出的待定系数，最终求得“自由响

9、应”和“全响应”B、零输入响应与零状态响应的求解 根据定义，零输入响应是激励为零时（即无激励时），仅由系统的初始条件所产生的响应，因此零输入响应也就是满足初始条件的齐次方程的解。 对于零状态响应，因是在激励之下产生的响应，因此应是非齐次方程的解（即包含齐次解和特解两个部分）。设激励f(k)在k=0时接入系统，通常以y(1), y(2) , ，y(n)描述系统的初始状态,则对于零状态响应，必有： 由此“零状态响应意义下”初始条件可以确定零状态响应的待定系数。例：若描述某离散系统的差分方程为 已知激励，初始状态，求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：(1)先求零输入响应，由差分方程得特征方程

10、如下： ,解得：， 因此齐次方程的解为：将初始状态，代入上式，可得：， 解得：所以，零输入响应，（2）求零状态响应a、求出特解（强制响应） 因为，所以有将代入原差分方程，得： 方程两边同除以可得：，解得：所以，特解(强制响应)为：， b、 零状态响应(应由齐次解和特解两部分组成) 代入“零状态响应意义下”的初始条件,可得： 解得：故零状态响应为：， （4）求全响应 ， 总结求解的过程如下：（1）由差分方程得到“特征方程”，求解得到特征根。（2）由特征根得到“自由响应”的一般式（包含待定系数）（3）直接将初始条件代入，求出待定系数，从而直接得到“零输入响应”。（3）由激励确定“强制响应”的形式（

11、包含待定系数）（4）将代入原差分方程，求得待定系数，从而求得“强制响应”（5）列出“零状态响应表达式 = 齐次解+特解”形式（此时有齐次解的待定系数待求出），即 = +（6）将“零状态响应意义下”的初始条件代入上面的零状态响应表达式，求出待定系数，最终求得“零状态响应”（7）“全响应”=+思考题：在上面的例题求“零状态响应”时，能否用作为“零状态响应意义下”的初始条件来求解待定系数。书本上例题要求：P32 例2-6、例2-7、例2-8；P34 例2-9；P35 例2-102.4.系统的单位冲击响应与单位样值响应一、单位冲击响应 对于线形时不变连续时间系统，由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应

12、（即系统初始状态为零）称为单位冲激响应，简称冲激响应，用表示。冲激响应反映了系统特性，或称反映了系统的本质特征(指连续时间系统)。直观上理解，可以认为系统的冲激响应就表征了系统本身。System(初始状态为零)激励响应 冲激响应具体求解方法，见教材 P3637，该部分为“自学内容”。二、单位样值响应 对于线形时不变离散时间系统，由单位样值函数(k)所引起的零状态响应（即系统初始状态为零）称为单位样值响应，简称单位响应，用表示。单位样值响应反映了系统特性，或称反映了系统的本质特征(指离散时间系统)。直观上理解，可以认为系统的单位样值响应就表征了系统本身。System(初始状态为零)激励响应注意要

13、点：根据的定义，因此，作为系统的输入，仅在的时刻作用于系统，在以后，激励作用就已消失。例1 已知某系统的差分方程为：试求该系统的单位样值响应。解：根据的定义，当系统初始状态为零时，如果对系统的激励输入为，则系统的响应就是单位样值响应。因此有下式成立： （1） 考虑到实质上就是一种零状态响应（只不过输入是信号），系统初始状态为零，因此有：（1）递推求初始值和将方程（1）移项改写为： 因此有： 至此，在时刻，我们已经求出了在这一时刻的响应。（因为在时刻，系统作用有激励信号，因此必须单独求出）（2）用传统解法求解在以后的 对于在时，因为这时，即此时系统以没有激励输入作用，因此方程（1）就变为了齐次方

14、程，可以采用经典解法进行求解，此时的也就是齐次差分方程的齐次解。 其特征方程为：，解得：，因此得齐次解为：，将上面求出的初始条件 代入上式并求解，可得：因此，验证上式，当时，满足，因此上式可进一步表示为： ，或者， 至此，我们就求解出了该系统的单位样值响应。思考题：在本例题中，求解和能否用和作为初始条件来求解？能否用作为初始条件来求解？ 总结求解的过程如下：（1）将替换原差分方程的，将替换原差分方程的，得到单位样值响应满足的初始方程。（2）递推求得值。（3）用传统解法求解在以后的（4）将与以后的综合，得到状态下的。例2 若系统差分方程为：试求该系统的单位样值响应。解：根据的定义，应该有下式成立： 因为对于LTI系统，满足“叠加性”特性，因此可将系统分解为承受和分别激励作用的两种情况。当只有作用时，令系统的单位样值响应为，则满足下式： 这一方程的求