2015高考数学（人教版a版）一轮配套题库：8-7抛物线

1、第七节抛物线时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2y22x6y90圆心的抛物线方程是()Ay3x2或y3x2 By3x2Cy29x或y3x2 Dy3x2或y29x解析设抛物线方程为x2ay或y2ax(a0)，把圆心(1，3)代入方程得a或a9，抛物线方程是y3x2或y29x.答案D2已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A2 B2C4 D2解析由题意可设抛物线方程为y22px(p0)，则23，p2.y24x，y4×28.|OM|

2、2.答案B3(2014·泸州诊断)抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是()A. B.C. D32 / 13解析设与直线4x3y80平行且与抛物线相切的直线为4x3yt0，与抛物线yx2联立得3x24xt0，由1612t0，得t，两条平行线的距离为所求最小距离，由两条平行线的距离公式得所求距离为.答案A4已知双曲线C1：1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析双曲线C1：1(a>0，b>0)的离心率为2，2，

3、ba.双曲线的渐近线方程为x±y0.抛物线C2：x22py(p>0)的焦点(0，)到双曲线的渐近线的距离为2，p8.所求的抛物线方程为x216y.答案D5(2013·天津卷)已知双曲线1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y22px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p()A1 B.C2 D3解析由双曲线的离心率e2可得，所以双曲线的渐近线方程为y±x，与抛物线x的交点坐标A(，p)，B(，p)，所以AOB的面积为××p，可得p2.答案C6(2013·全国大

4、纲卷)已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点若·0，则k()A. B.C. D2解析由题意知k0，设直线AB方程为xy2，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与抛物线方程联立得ky28y16k0，y1y2，y1y216，·(x12)(x22)(y12)(y22)(2)(2)(y12)(y22)0，整理并结合y1y2，y1y216得k24k40，解得k2，故选D.答案D二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7边长为1的等边三角形AOB，O为原点，ABx轴，以O为顶点，且过A、B的抛物线方程是_解析根

5、据题意可知抛物线以x轴为对称轴，当开口向右时，A，设抛物线方程为y22px，则有2p·，所以p.抛物线方程为y2x，同理可得，当开口向左时，抛物线方程为y2x.答案y±x8一个正三角形的两个顶点在抛物线y2ax上，另一个顶点在坐标原点，若这个三角形的面积为36，则a_.解析设正三角形边长为x，则36x2sin60°.x12.当a>0时，将(6，6)代入y2ax得a2；当a<0时，将(6，6)代入y2ax得a2，故a±2.答案±29(2013·浙江卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，过点P(1，0)的直线l交抛物线C于A，B

6、两点，点Q为线段AB的中点若|FQ|2，则直线l的斜率等于_解析设直线l的方程为xty1，联立得y24ty40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，所以yQ2t，将yQ代入xty1得xQ2t21，|FQ|2(xQ1)2y4代入得t0(舍)或t±1，所以直线的斜率为±1.答案±1三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10一抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线1(a>0，b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，又此抛物线与双曲线的一个交点为，求该抛物线与双曲线的方程解由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双

7、曲线的左焦点，p2c.设抛物线方程为y24c·x.抛物线过点，64c·.c1.故抛物线方程为y24x.又双曲线1过点，1.又a2b2c21，1.a2或a29(舍)b2.故双曲线方程为4x21.11(2014·唐山市期末)已知抛物线E：x22py(p0)，直线ykx2与E交于A、B两点，且·2，其中O为原点(1)求抛物线E的方程；(2)点C坐标为(0，2)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：kk2k2为定值解(1)将ykx2代入x22py，得x22pkx4p0.其中4p2k216p0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22pk，x1

8、x24p.·x1x2y1y2x1x2·4p4.由已知，4p42，p.所以抛物线E的方程x2y.(2)由(1)知，x1x2k，x1x22.k1x1x2，同理k2x2x1，所以kk2k22(x1x2)22(x1x2)28x1x216.12.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足kOPkOAkPA.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得PQA和PAM的面积满足SPQA2SPAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由解(1)设点P(x，y)为所求轨迹上的任意一点，则由kOPkOAkPA得，整理得轨迹C的方程为yx2(x0且x1)(2)设P(x1，x)，Q(x2，x)，M(x0，y0)，由可知直线PQOA，则kPQkOA，故，即x2x11，由O、M、P三点共线可知，(x0，y0)与(x1，x)共线，x0xx1y00.由(1)知x10，故y0x0x1.同理，由(x01，y01)与(x21，x1)共线可知，(x01)(x1)(x21)(y01)0，即(x21)(x01)·(x21)(y01)0，由(1)知x21，故(x01)(x21)(y01