2022年任意角的三角函数(第一课时)--新授课教案

1、学习必备欢迎下载1.2.1任意角的三角函数整体分析教材分析本节内容是数学 4 第一章 三角函数 的重要内容，是在中学学过的，用直角三角形的比来刻画锐角三角函数的基础上，利用任意角的基础，对三角函数进行重新定义；此外，本节仍是三角函数的起始课，对后续内容的学习起着奠基作用，本节课的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义，终边相同的角的同一三角函 数值相等；难点是用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数，三角函数符号，利用与单位圆有关的有向线段， 将对任意角的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示；通过对单位圆以及角的终边的探究，培育同学分析问题、解决问题的才能，要求同学有意识的应用数学结合思想、转化和化

2、归思想，体会解决数学问题的一 般方法与思路；课时安排本节内容用2 课时的时间完成，本教案为第1 课时，主要讲解任意角三角函数的定义及运用定义解决简洁的数学问题 .任意角的三角函数第一课时教学目标重点 :任意角的正弦、余弦、正切的定义.难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数 学问点：任意角的三角函数定义.才能点：利用角的终边和单位圆探寻任意角的三角函数的定义，数形结合的数学思想的运用.训练点：经受由锐角的三角函数到任意角的三角函数，由特别到一般的争论数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发同学的学习热忱.自主探究点：如何运用三角函数的定义求解任意角的三角函数.考试点：用定义法求证任意角的三角函数

3、、解决简洁的数学问题.易错易混点：在求解交点坐标时，同学一般在“符号”上简洁出错，在横、纵坐标与余、正弦的对应关系上，同学简洁混淆.拓展点：如何利用角的终边上的点来求解任意角的三角函数值.教具预备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、复习回忆、引入新课我们在中学通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数，请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？同学口述后在投影展现，老师依据投影进行强调：sin对边 ， cos= 邻边斜边斜边， tan= 对边 ；邻边我们现在已经把锐角推广到了任意角，那么锐角的三角函数，能不能推广到任意角呢？同学们试试看，可以独立摸索和探究，也可以小组相

4、互争论！留时间让同学独立摸索或者自由争论，老师巡回对同学作启示引导；针对刚才的问题点名让同学回答（同学一般会想到用直角坐标系来争论）；【设计意图】同学已经在中学学习过锐角的三角函数，现在学习任意角的三角函数是一种推广和拓展的过程；温故知新，让同学从现有的学问上，建构新学问，符合新课程的要求；【师生活动 】（同学口述，老师板书图形和比值）把锐角安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合）在直角坐标系中，在角终边上任取一点pa,b ，他与原点的距离ra2b20，作 pmx轴于 m ，构造一个 rt omp , 就omp=（锐角），的邻边 oma ，对边 mpb；依据锐角三角

5、函数定义，我们有：sinmpboproma， cosoprmpb， tan；oma【设计意图】此处做法简洁，思想重要；是懂得任意角三角函数定义的关键，使同学能够很好的体会数学发觉的重要思想和方法；二、探究新知（一）归纳定义摸索 ：对于确定的角，这三个比值是否会随点p 在的终边上的位置在转变而转变呢？明显， 我们可以将点取在是线段op 的长 r角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数；1 的特别位置上， 这样就可以得到用直sinmpb ， cosoma ， tanmpb ；opopoma摸索：上述锐角的三角函数值可以用终边上的一点的坐标表示；那么，角的概念推广之后，我们应当如何对中学的三角函数的定义

6、进行推广到任意角呢？探究：结合上述锐角的三角函数值的求法， 我们应如何求解任意角的三角函数值呢？我们可以在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离等于1，然后就可以类比锐角三角函数求出该角的三角函数；怎么样快速的找到与原点的距离等于1 的点呢？我们在此引入单位圆的定义；单位圆的定义 ：在直角坐标系中，我们称以原点o 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆；探究：如何利用单位圆定义任意角的三角函数？如右图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点p x, y，那么：（ 1） y 叫做的正弦（ sine ），记作 sin，即 siny ；（ 2） x 叫做的余弦（ cosine ），记作 cos，即

7、 cosx ；yytan x0（ 3）叫做的正切（ tangent ），记作 tan，即x；x设计意图 利用同学对锐角三角函数的懂得，从思维和形式上进行拓展，从认知结构上吧三角函数推广到任意角使同学能够有效的增强对于函数的懂得；（二）探究定义域函数的概念的三要素是什么？函数三要素：对应法就、定义域、值域；那么什么是三角函数的定义域？填写课本13 页，表 1.2-1正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们统称为三角函数；三角函数定义域sinrcosrtan|k,kz2设计意图 定义域是函数三要素之一，争论函数必需指出其定义域；指导同学依据定义自主探究出

8、三角函数的定义域，有利于同学在懂得的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数定义的把握；三、例题讲解，懂得新知例 1：求 53的正弦、余弦和正切值；给同学肯定的时间自学，让同学自己摸索， 并试着总结解题步骤；然后老师讲评；步骤：（ 1）画图，先画出直角坐标系和单位圆，再画出角的终边；（ 2）求角的终边与单位圆的交点坐标；过交点向 x 轴作垂线，构造直角三角形；利用勾股定理求出直角边的长度；依据点的位置，确定坐标的正负；（ 3）写结论；利用定义，求解各三角函数的值；练习：求 76的三个三角函数值；设计意图 准时讲解例题，归纳总结步骤，然后进行同类型题目的练习，巩固和加深对三角函数定义的懂得；例 2

9、：已知角的终边经过点p0 3,4 , 求角的正弦、余弦和正切值；留给同学肯定的时间， 认真争论课本上的解法， 让其摸索并懂得课本所用到的方法， 并尝试着自己完成一次例 2 的解答； 然后再摸索例 2 的方框中所给的三个式子的用途，最终赐予讲解；老师要点拨同学画图，充分利用数形结合，但要提示同学 角的任意性；推广定义 ：设角的终边上任意一点的坐标为 x,y ，它与原点的距离为rx2y20 ，那么：（ 1） yr叫做的正弦，记作 sin，即 siny ；r（ 2） x 叫做的余弦，记作 cos，即 cosx ；ryytan x0（ 3）叫做的正切，记作 tan，即x；x这样定义三角函数，突出了点p

10、 的任意性，说明任意角的三角函数值只与有关，而与点p 在终边上的位置无关，老师要让同学充分懂得这一点；接着，让学利用上面的定义，再次完成例2，并总结步骤；先利用坐标求出 r 的值；再利用上面的公式直接写出结果；练习：已知角的终边过点p12,5，求角的三角函数值；设计意图 利用给出的拓展定义，快速的解题，让同学体会到，收成的欢乐，加深懂得和记忆；四、运用新知、才能提升例 3：已知角终边上的一点p 15a,8 a a0) ，求角的正弦、余弦和正切值；解： r| op |x2y2 15a28a217 | a |，tan158 ，815当0 时，sin,cos；1717当0 时，sin815,cos；

11、1717设计意图 利用这个例题，告知同学在含有参数的时候，要对参数的各种情形进行分类争论；五、课堂小结老师提问：本节课我们学习了哪些学问，涉及到哪些数学思想方法？同学作答：1. 学问：任意角的三角函数的定义，及其推广定义；2. 思想：数形结合的思想、分类争论的思想、特别与一般的思想老师总结 : 对于定义，我们要加强懂得，对于例题的解题步骤，我们要在课后准时的总结和识记，仍要加强对数学学问、思想方法的熟悉与自觉运用设计意图 依据艾宾浩斯遗忘理论， 回忆总结学问是必需的， 在课堂内准时的总结主要内容，有利于同学， 巩固学问，建构学问网络，优化学问结构，培育良好的学习习惯六、布置作业1阅读教材p12

12、 13；2.书面作业必做题： p20 习题 1.2a 组1.（ 2）、（ 4） ,2选做题： 1. 已知角的终边过点p3, m，且 sin2 m ，求 cos, tan；4设计意图 设计作业 1,2，是引导同学先复习，再作业，培育同学良好的学习习惯；书面作业的布置，必做题是为了让同学能够运用课堂上的学问，以及解题步骤，解决简洁的数学问题；选做题是为学有余力的同学， 得到更高层次的进展；七、教后反思1. 本教案的亮点是定义的引入，和例题的讲解；在例题的教学中，让同学先自学、再总结步骤，有一种豁然开朗的感觉，有了详细的步骤，再按此步骤解决练习题，效率大增；在例3 的教学中，加入了参数，既注意了与例 2 的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了同学的解题才能2. 本节课的课堂容量适中，主要是考虑同学们首次接受扩展后的三角函数，期望能够让他们得到充分的思考和消化，练习时间，在课堂上赐予他们充分的时间来摸索和自学，充分利用同学的主观能动性，然后赐予针对性地诊断与分析，让同学才能得到提升；八、板书设计一、复习回忆对边 ，邻边 ，1.2.1 任意角的三角函数（一） 三、任意角的三角函数的定义如右图，设是一个任意角，