2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题二第1讲三角函数的图象与性质Word版含解析

1、2019考向导航考点扫描三年考情考向预测2019201820171.三角函数的 图象与解析式江苏近几年局考二角函数试题一般是一个小题一个大题，大题一般都为基础题，处在 送分题的位置.从高考命题内容来看，三角函数的图象和性质，尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图象变换、特征分析 (对称轴、对 称中心)等是命题热点.2.三角函数的图象与性质第7题第16题同角关系：sin2 "+ cos2 a= 1,崇=tan a-(2)诱导公式：在 挈+ a, kCZ的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.(3)三角函数的图象及常用性质函数y= sin xy = cos x)/=tan x图象JkL-

2、iJyAit- 1产单调性在2+ 2k 71,2+ 2k %(kCZ)上单调递增；在2 + 2k% 325+ 2kTt(kCZ) 上单调递减在兀+ 2k% 2kTtke Z)上单调递增；在2 k Tt,兀+2k兀kC Z)上单调递减在 -2+ k兀,TT .-、，-2+kTt (kC Z)上单调递增对称性对称中心：(k7t,0)(kCZ);对称轴：x=2+ ku kCZ)对称中心：工+ k兀，0(kJ);对称轴：x= kTtkCZ)对称中心：与1t, 0(kJ)2.记住几个常用的公式与结论对于函数y=Asin(wx+(f)(A>0, w>0)要记住下面几个常用结论:(1)定义域：R

3、.(2)值域：A, A.当乂=善一(kCZ)时，y取最大值A;2k 工 j当乂=2一(kCZ)时，y取最小值一A.3周期性：周期函数，最小正周期为 2f(4)单调性:单调递增区间是2kL202k计2一0(k Z);co ' co单调递减区间是2kTt+2 4 2kTt+ 325- (f)coco(kC Z).(5)对称性：函数图象与 x轴的交点是对称中心，即对称中心是k 4与函数图象的交点纵坐标是函数的最值，即对称轴是直线x=2一，其中kC Z.3(6)函数y= Asin(cox+ (A>0, e0)中，A影响函数图象的最高点和最低点，即函数的最值;3影响函数图象每隔多少长度重复

4、出现，即函数的周期;4影响函数的初相.(7)对于函数 y=Asin(cox+(f)(A>0, e0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距 半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一.3.需要关注的易错易混点三角函数图象平移问题(1)看平移要求：看到这类问题，首先要看题目要求由哪个函数平移到哪个函数，这是判断移动方向的关键点.(2)看移动方向：在学习中，移动的方向一般我们会记为“正向左，负向右”，其实，这样不理解的记忆是很危险的.上述规则不是简单地看 y=Asin(cox+4)中。的正负，而是和它的平移要求有关.正确地理解应该是：平移变换中，将 x变换为x+6这时才是

5、“正向左，负 向右”.(3)看移动单位：在函数y= Asin( cox+昉中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以3和。之间有一定的关系， 。是初相位，再经过 3的压缩，最后移动的单位是 |I3导学导练。核心突破三角函数的图象与解析式典型例题例1 (1)(2018高考江苏卷)已知函数y=sin(2x+昉京力<2的图象关于直线x=?称,兀L -(2)(2019江苏省高考名校联考(八)已知函数f(x) = Asin(cox+昉A>0, w>0,网万的部分图象如图所示，则f 12r的值为【解析】(1)由函数y=sin(2x+ -2<4<2的图象关于直线x=3X寸称，

6、得sin 2+()=土，因为一会(<机 所以，<2j+ << 则24 -或<)=-£226 36326(2)由函数f(x)的部分图象可知，A=2, 2T =芋6c =2，得丁=为所以3=2.当x=6寸,兀一一一 7tl 一，、，兀一一一_ 一_ 兀5 兀f(x)=2,即 sin(2X6+ 0 = 1,又I4<2,所以 Q 6,故 f(x)=2sin(2x+-),所以 f( 1) = 2sin(, 6)=2sgm -近【答案】(1) 6 (2)43囱国画图3>0)的步骤和方法确定 y=Asin(cox+ <f)+b(A>0,M m

7、M + m（1）求A, b:确定函数的最大值 M和最小值 m,则A=-2, b = 2；（2）求co:确定函数的周期 T,则可得3= 2f；（3）求力：代入法：把图象上的一个已知点代入（此时A, co, b已知）或代入图象与直线 y=b的交点求解（此时要注意交点在上升区间还是在下降区间）.五点法：确定 。值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.具体如下：“第一点”（即图象上升时与 X轴的交点）是3X+-0; “第二点”（即图象的“峰点”）是3X+上:；“第三点”（即图象下降时与X轴的交点）是3X+ Q兀；“第四点”（即图象的“谷占“八、)是 CO x+ 4= 2j "第五点

8、” 是 co x+ 4= 2 兀.对点训练1. 定义在区间0,3nt止的函数y= sin 2x的图象与y= cos x的图象的交点个数是 .解析由 sin 2x= cos x 可得 cos x= 0 或 sin x= 2,又 xC 0, 3nt则 x= j 32,半或 x=, 寺1I5,詈，故所求交点个数是7.答案72. （2019江苏省高考命题研究专家原创卷（四）已知函数f（x）= Asin（cox+ （f）（A>0, e0 ,0<（K nt的部分图象如图所示，其中M, N是图象与x轴的交点，K是图象的最高点，若点M1的坐标为（3, 0）且4 KMN是面积为3的正二角形，则f 1

9、 =3解析由正三角形KMN的面积为正知，4KMN的边长为2,高为，3,即A = J3,最小正周期 T= 2X2 = 4,牛=2jjr=2?,又 M(3, 0), MN=2,所以 2r X 4+ 2卜兀+1,kCZ,()kC Z ,又 0< 怀兀，所以 后 2，即 f(x) = V3sin *+ 2 =V3cos2x, f 1 =V3cos 632,答案2考点2三角函数的图象与性质典型例题du J兀 兀 翱 2 (2019 南京、盐城高三模拟)设函数 f(x) = Asin(cox+ A>0, «>0, 2<。<2，xC R的部分图象如图所示.U 1TI

10、36(1)求函数y=f(x)的解析式；兀 7t . .一一1_.(2)当xC 5，Q时，求f(x)的取值氾围.【解】(1)由图象及A>0知，A=2.又' =亨一'=2，3>0，所以 T=2k?,得 3=1.所以 f(x)=2sin(x+ 昉.将点 3 2 代入,得3+ 4=2+ 2kTtKCZ),一TT即5+ 2k 兀 kCZ),6又一2<怀2所以=6-TT所以 f(x)=2sin x+ 6.(2)当 xC -2，2 时,x + ；e -3 学，所以 sin x +6 c 兴 1 ，即 f(x)C-V3, 2.囱施偃I目在江苏高考中，三角函数试题主要以两种形式

11、出现：一是注重考查三角函数定义、性质、 同角三角函数关系、诱导公式等基础知识；二是以基本三角函数图象和正弦型函数、余弦型 函数图象为载体，全面考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、图象变换 等基础知识，即考查三角函数图象性质和数形结合思想等.对点训练3. (2019 合肥*II拟)设函数 f(x) = sin 1一 6 2cos2至.(1)求y=f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线 x= 2对称，当xC 0, 1时，求函数y=g(x)的最大值.、什一 473ix 3 x .解(1)由题息知 f(x)= sin "3&q

12、uot;28冶1x=；3sin 歹3 f1 一 ，一一- 一 rr27t所以y=f(x)的最小正周期T = *= 6.兀37x由 2kL2-<-3- - &2k+ 5, kez，得 6k-2ck+1，kCZ, 15所以y=f(x)的单调递增区间为6k 2, 6k + - , kC Z.(2)因为函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线 x= 2对称，所以当xC0, 1时，y=g(x)的最大值即为xC3, 4时，y=f(x)的最大值，当 xC 3, 4时,东一铲 学 兀，sin 3 ' 0,乎，f(x) C 1,即当xC 0, 1时，1函数y=g(x)的取大值为专题强化

13、Q精练提能兀，,、一1.函数 y= tan x 4的te义域是 .解析因为x子k兀+2t,所以户十竽kCZ.3 兀，l r答案x|xw kTt+ y, kCZ兀 一 ，,、，、一.，、一、一、，2. (2019徐州模拟)函数y=cos2x的单倜减区间为 兀 c兀 /口解析由 y = cos 4 2x = cos 2x- 4 得2k 共 2x 42k 7t+ 兀代 Z),解得k兀+'xw k兀+ 5f (k e Z).88所以函数的单调减区间为kTt+8C, k兀+ 5 (kCZ).Tt .5 兀答案k 计 8", k 兀+ -8 (k Z)兀，一、 一，一，.、，3. (20

14、19镇江市高三调研考试)定义在 0, 2的函数f(x)=8sin xtan x的取大值为解析f' x)= 8cos xcos2x + sin2x 8cos3x 1cos2xcos2x '(x)=0/日1PLe 兀得 cos x=又 xC 0, 2 ,所以x=：,且当xe 0, 3时,f (x)>0, f(x)单调递增,当xC3, 2时，f (x)<0, f(x)单调递减，所以f 3是f(x)的极大值,也是最大值，故f(x)兀 max= f _3 =答案3V34. (2019苏北三市高三模拟)已知函数f(x) = sin x(xC 0,兀加函数1、g(x) = 2ta

15、n x的图象交于A, B, C三点，则 ABC的面积为解析由题意知,xwg, 令 sin x= 1tan x, 可得 sin x=；所 x '222cos xxCsin x=0 或 cos x=；,一，、，、兀.、一则x= 0或兀或3,不妨设A(0, 0), B(00),兀0, 2色2U 2,兀，可得则4ABC的面13-13答案一/ 兀4234兀5. (2019江苏名校高三入学摸底 )已知在矩形 ABCD中，AB，x轴,且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数y= acos(a <)+ b(a, bCR, aw0)的一个完整周期的图象，则当 a变化时，矩形ABCD的面积为解析由题意得，矩

16、形ABCD的边长分别为函数 y= acos(a位)+b(a, bC R, aw。)的最小正周期2和|2a,故此矩形的面积为2 X|2a|=4.aa答案46. (2019山西四校联考)已知函数 f(x) = sin(x+昉«>0,|(H<-的部分图象如图所本,则y = f x+ 6r取得最小值时解析根据所给图象2兀3x的集合为所以 3=2,因此 f(x)= sin(2x一,7兀+昉，另外图象经过 ,，代入有2><1+后kTtkC Z),再由他<2t，得(f)=-6,所以f x+6=sin 2x + 至，当 2x+6= 2-+ 2k uk Z),即 x= 3

17、+ k 兀长6 Z)时，y= f x+6取得最小值.答案x|x= kL3, kC Z7. (2019 南京模拟)已知函数 f(x) = 4cos(cox+ (3>0, 0<(Knt为奇函数，A(a, 0), B(b, _ ，一 ，,10)是其图象上两点，若|ab|的最小值是1,则f 6 =.解析因为函数f(x) = 4cos( w x+帆3>0, 0<怀兀)为奇函数，所以cos后0(0<怀nt )所以 4=2,所以f(x)=4sin wx,又A(a, 0), B(b, 0)是其图象上两点，且|ab|的最小值是1,所 以函数f(x)的最小正周期为 2,所以3= Tt

18、,所以f(x) = 4sin水，所以f = = 4sin=2.66答案28. (2019苏北三市高三第一次质量检测)将函数f(x)= sin 2x的图象向右平移否个单位长度得到函数g(x)的图象，则以函数 f(x)与g(x)的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为7rA 、，、，一，一一，一、一一一 _兀，一-解析函数f(x)=sin 2x的图象向右平移 三个单位长度彳4到函数g(x) = sin 2x-的图象，63如图所示，点A的坐标为半，B, C之间的距离为一个周期Tt,所以三角形ABC的面积41.3.3兀为27tx 2X 2= 2-3兀答案29. (2019开封模拟)如果存在正整数和实

19、数。使得函数f(x) = sin2(cox+ 的图象如图所示(图象经过点(1, 0),那么3的值为解析由 f(x) = sin2(Wx+ 4)=1 - cos (2 3 x+ 2 4)以正整数3= 2或3.由函数f(x)的图象经过点(1, 0),得f=1-c0s(泞2 =0,得2-+ 2 4= 2k % k Z),即 2()= 2k 兀- 2 co(kC Z).由图象知 f(0)>"2，即2s 2，= -2>2,得 cos 2w<0,所以 3=2.答案210. (2019无锡市普通高中高三调研考试)已知直线y= a(x+2)(a>0)与函数y= |cos x|

20、的图1象恰有四个公共点A(X1y1)B(x2,y2),C(x3,y3) ,D(x4,y4),其中X1<X2<X3<X4,则X4+-tan X4解析易知直线y= a(x+2)过定点(2, 0),作出直线y=a(x+2)与函数y= |cos x|的图象，, 一一 , 一, .一一 八 ,兀如图所本.由图可知，直线y=a(x+ 2)(a>0)与y= |cos x|的图象在x=X4处相切，且X4C兀，则 a(x4+ 2) = cos X4一cos X4 p 兀 所以a=4zr'又在2,兀上，y = cos x, v = sin x,所以(一cos X4)Li、， . E

21、” cos X4. Qttcos X4八cos X41sin X4,所以 a=sin X4.因此 a= x 2 = sin X4,即 sin x = - X4-2, X4+sn-Q= X4+而7 =答案211. 已知函数 f(x) = V2sin 2x4 +1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；兀 兀 1, 一 4(2)画出函数y=f(x)在一2，2上的图象.解(1)振幅为 亚，最小正周期T=兀，初相为一j(2)图象如图所示.12. (2019 扬州市第一学期期末检测)已知函数 f(x) = cos 兀 /3” ,、. Asin-=2，所以 A=1,x+ 2y3sin xcos xsin2x

22、, xC R.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求方程f(x) = 0在(0,兀内的所有解.解f(x) = cos2x+ 2/sin xcos x sin2x=陋sin 2x+ cos 2x= 2sin(2x+6).兀兀 兀,I 兀兀一一.、.一、，一一、，(1)由一2+ 2k后 2x+ -< 2+ 2k Tt, kC Z ,得一3+k 后 xWg+k% kC Z,所以函数 f(x)的单. TTTT调递增区间为3+k兀，6+knt kCZ.(2)由 f(x)=0,得 2sin(2x+$= 0,得 2x+萨 k 兀，kC Z ,即 x因为xC (0,句，所以x=12戢xn113. (2019南通市高三调研)已知函数f(x)= Asin兀3X+ - (A>033 > 0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为兀，且经过点工V335 2(1)求函数f(x)的解析式;(2)若角a满足f(a)+43f兀，、a- 2=1，代(0，)求角a的值.解(1)由条件得，最小正周期T = 2又即2工=2兀，所以 CO一 _兀3= 1,即 f(x)= Asin x+ 3 .因为w的图象经过点3乎,所以所以f(x)= sin x+ 3 .(2)由 f(a) + V3f a2 =1,得 sin a+ 3 + 3sin a+ 3 5 =1,即