2020与名师对话离散型随机变量的均值与方差

1、第八节离散型随机变量的均值与方差高考概览： 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念； 2.能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题 知识梳理 1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X 的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值：称 E(X)x1p1x2p2 xipi xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平n(2)方差与标准差： D(X)(xiE(X)2pi 为随机变量 X 的方差，i 1它刻画了随机变量X 与其均值 E(X)的平均偏离程度，其算术平方根D X 为随机变量 X 的标准差2均值与方差的性

2、质(1)E(aXb)aE(X)b，(2)D( aX b)a2D( X)(a，b 为常数 )3两点分布与二项分布的均值、方差1辨识巧记 一个提醒均值 E(X)是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，即 X 作为随机变量是可变的，而 E(X)是不变的，它描述 X 值的取值平均状态 双基自测 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)期望值就是算术平均数，与概率无关()(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量()(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小()(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变

3、量的情况，因此它们是一回事 () 答案 (1)×(2)(3)(4)×2(选修 23P64 练习 T2 改编 )已知离散型随机变量X 的分布列为X123P33151010则 X 的数学期望 E(X)()35A. 2 B2 C.2D33313解析 E(X)1×52×103×102.答案 A13已知随机变量X 的取值为 0,1,2，若 P(X0)5，E(X)1，则 D(X)()22424A.5 B.5C.3D.314解析 设 P(X1)p，则 P(X2)1p55p.由E(X)，得 ×1× × 4p ，得p3，则D(X)1

4、051 p25151312(01)2×5(11)2×5(21)2×55.答案 A4设 XB(n，p)，若 E(X)12，D(X)4，则 n，p 的值分别为()21A 18 和3B16 和211C20 和3D15 和4np12，2解析 由np 1p 4，得 n18，p3.答案 A5(选修 23P69B 组 T1 改编 )抛掷两枚骰子，当至少一枚5 点或一枚 6 点出现时，就说这次试验成功，则在10 次试验中成功次数的均值为 _165解析 一次试验成功的概率P1369，所以 10 次试验中成5 50功次数的均值为 10×9 9 .50答案 93考点一离散型随

5、机变量的均值与方差【例 1】(2019 ·青岛一模 )为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过 1 小时免费，超过 1 小时的部分每小时收费标准为40 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算 )有甲、乙两人相互独立地来该滑雪1 1场运动，设甲、乙不超过 1 小时离开的概率分别为 4，6；1 小时以上12且不超过 2 小时离开的概率分别为 2，3；两人滑雪时间都不会超过3小时(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量(单位：元 )，求 的分布列与数学期望 E()，方差 D(

6、 )费用为 0元、 40元、利用互斥事件 思路引导 (1)80元三类的概率求和确定 的计算 各值的分求数学期(2)对应的概率取值布列望和方差 解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80 元，111两人都付 0 元的概率为 P14×624，121两人都付 40 元的概率为 P22×33，两人都付 80 元的概率为P3 111× 1121×11 ，426346241115则两人所付费用相同的概率为PP1P2P32432412.(2)由题设甲、乙所付费用之和为，可能取值为 0,40,80,120,160，4则：111P(0)4×624

7、；12111P(40)4×32×64；1112115P(80)4×62×34×612；11121P(120)2×64×34；111P(160)4×624.的分布列为04080120160P115112441242411511E()0×2440×480×12120×4160×2480.D( ) (0 80)2× 241 (40 80)2× 14 (80 80)2× 125 (12011400080)2×4(16080)2

8、5;24 3 .(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列， 正确运用均值、方差公式进行计算(2)注意 E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的应用对点训练 (2019 ·石家庄调研 )某校课改实行选修走班制，现有甲，乙，丙，丁四位学生准备选修物理，化学，生物三个科目每位学生只选修一个科目，且选修其中任何一个科目是等可能的5(1)求恰有 2 人选修物理的概率；(2)求学生选修科目个数 的分布列及数学期望 解 (1)所有可能的选修方式有 34 种，恰有 2 人选修物理的方式有 C42·22 种，从而恰有 2 人选修物理的

9、概率为C42·22834 27.(2)的所有可能值为 1,2,3，3 1P(1)3427，C32 C21C43C42C2214C32 24214P(2)3427(或 P(2)3427)，C31C42C214C42A334P (3)349(或 P(3)349)故 的分布列为123P114427279114465所以 E()1×272×273×927.考点二与二项分布有关的均值与方差【例 2】(2019 ·江西上饶模拟 )随着节能减排意识深入人心以及共享单车的大范围推广， 越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车为了研究广大市民对共享单车的使用情

10、况，某公司在我市随机抽取了 100 名用户进行调查，得到如下数据：每周使用1 次2 次3 次4 次5 次6 次及次数以上男4337830女6544620合计10871114506每周骑行共享单车6 次及 6 次以上的用户称为“骑行达人”， 视频率为概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4 名用户(1)求抽取的4 名用户中，既有男“骑行达人”，又有女“骑行达人”的概率；(2)为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女“骑行达人”每人奖励 500 元，记奖励总金额为 X，求 X 的分布列及数学期望 解在该市 “骑行达人 ”中，随机抽取 1 名用户，该用户为男32“骑行达人 ”的概率为5，女 “骑行

11、达人 ”的概率为5.(1)抽取的4 名用户中，既有男 “骑行达人 ”，又有女 “骑行达人”的概率为 P1 3 4 2 4528.55625(2)记抽出的女 “骑行达人 ”人数为 Y，则 X500Y.由题意，得B4，2，Y5i2 i 3 4 i(i0,1,2,3,4)P(Yi)C4 55Y 的分布列为Y01234P812162169616625625625625625X 的分布列为X0500100015002000P8121621696166256256256256252 8E(Y)4×55，X 的数学期望 E(X)500E(Y)800.7二项分布的期望与方差的求解技巧(1)如果 B(

12、n，p)，则用公式 E()np；D()np(1p)求解，可大大减少计算量(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(ab)aE()b以及 E()np 求出 E(ab)，同样还可求出D( ab)对点训练 一家面包房根据以往某种面包的销售记录， 绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率；(2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量

13、 X 的分布列、数学期望及方差解(1)设 A1 表示事件 “日销售量不低于100 个”，A2 表示事件“日销售量低于50 个”，B 表示事件 “在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于100 个且另 1 天的日销售量低于50 个”，8因此P(A 1)(0.0060.0040.002)×500.6，P(A 2)0.003×500.15，P(B)0.6×0.6×0.15×20.108.(2)X 可能取的值为 0,1,2,3，相应的概率为P(X0)C30·(10.6)30.064，P(X1)C31·0.6(10.6)

14、20.288，P(X2)C32·0.62(10.6)0.432，P(X3)C33·0.630.216.分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为 XB(3,0.6)，所以数学期望 E(X) 3×0.61.8，方差 D(X)3×0.6×(10.6)0.72.考点三均值与方差在决策中的应用【例 3】 (2018 ·全国卷 )某工厂的某种产品成箱包装， 每箱 200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品

15、作检验设每件产品为不合格品的概率都为 p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f(p)，求 f(p)的最大值点 p0.(2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以 (1) 中确定的 p0 作为 p 的值已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不9合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25 元的赔偿费用若不对该箱余下的产品作检验， 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求 E(X)；以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据， 是否该对这箱余下的所有产品作检验？思路引导(1)由二项分布的概率公

16、式求f p 借助导数求出 p0余下的 180件产品中不确定 X与Y由均值的性(2)合格数 Y符合二项分布的等量关系质求 E XE X 与检验费用比较，作出决策 解(1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f(p)C220p2(1p)18.因此f(p) C2202p(1 p)18 18p2(1 p)17 2C220 p(1 p)17(110p)令 f(p)0，得 p0.1.当 p(0,0.1)时， f(p)>0；当 p(0.1,1)时，f(p)<0.所以 f(p)的最大值点为 p00.1.(2)由(1)知， p0.1.令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数， 依题意

17、知 YB(180,0.1)，X20×225Y，即 X4025Y.所以 E(X)E(4025Y)4025E(Y) 490.10如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400 元由于 E(X)>400，故应该对余下的产品作检验利用均值、方差进行决策的2 个方略(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断(2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策对点训练 (2019 ·郑州市第一次质量预测)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、 周二两天内采摘完毕， 基地员工一天

18、可以完成一种植区的采摘由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20 万元15 万元10 万元7.5 万元若基地额外聘请工人， 可在周一当天完成全部采摘任务 无雨时收益为 20 万元；有雨时收益为 10 万元额外聘请工人的成本为 a 万元已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为 20 万元的概率为 0.36.(1)若不额外聘请工人，写出基地收益 X 的分布列及基地的预期收益；(2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由 解(1)设下周一无雨的概率为p，由题意， p20.36，p 0.6，11基地收益 X 的可能取值为 20,1

19、5,10,7.5，则 P(X20)0.36，P(X15)0.24，P(X10)0.24，P(X7.5) 0.16，所以基地收益X 的分布列为X2015107.5P0.360.240.240.16基 地 的 预 期 收 益 E(X) 20×0.36 15×0.24 10×0.24 7.5×0.1614.4，所以基地的预期收益为14.4 万元(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，则其预期收益E(Y)20×0.610×0.4a16a(万元 )，E(Y)E(X)1.6a，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6 万元时，不外聘工人；成本低于

20、 1.6 万元时，外聘工人；成本恰为1.6 万元时，是否外聘工人均可以课后跟踪训练 (七十七 )基础巩固练一、选择题1(2019 ·广东茂名第二次模拟 )若离散型随机变量X 的分布列为X01Paa222则 X 的数学期望 E(X)()11A 2 B2 或2C.2D112aa2解析 因为分布列中概率和为1，所以22 1，即 a2a210，解得 a 2(舍去 )或 a1，所以 E(X)2.故选 C.答案 C2已知随机变量 X 的分布列为X123P0.20.40.4则 E(6X8)()A 13.2B21.2 C20.2 D22.2解析 由题意知 E(X)1×0.22×0

21、.43×0.42.2，E(6X8)6E(X)86×2.2821.2.答案 B3已知 的分布列如下表，若22，则 D()的值为 () 101P111236151020A. 3B.9C. 9D. 91111解析 E() 1×20×31×63，D( )(113)2×12(0 13)2× 13(113)2×1659，D( ) D(2202)4D() 9 ，故选 D.答案D4(2019 ·四川绵阳二模 )某风险投资公司选择了三个投资项目，1设每个项目成功的概率都为 2，且相互之间没有影响，若每个项目成功都获利 20

22、 万元，若每个项目失败都亏损 5 万元，该公司三个投资项目获利的期望为 ()13A 30 万元B22.5 万元C10 万元D7.5 万元1 解析 设该公司投资成功的个数为X，则 XB 3，2 .1 3E(X)3×22，3该公司三个投资项目获利的期望为2×(205)22.5 万元故选 B.答案B5(2019 ·日照模拟 )甲、乙两自动车床生产同种标准件， X 表示甲机床生产 1000 件产品中的次品数， Y 表示乙机床生产 1000 件产品中的次品数，经过一段时间的考察， X、Y 的分布列分别是X0123P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20据此

23、判断 ()A 甲比乙质量好B乙比甲质量好C甲比乙质量相同D无法判定 解析 E(X)0.1 0.20.30.6，E(Y)0.30.40.7，E(X)<E(Y)，甲车床生产的零件次品较少，故选A.答案A二、填空题6已知随机变量的分布列为14123P0.5xy15若 E() 8，则 D()_.解析 由分布列性质，得 xy0.5.11511x8，又 E() 8，得 2x3y 8 ，可得3y8.15 212152115 2355 18·8· 3·64.D( )2888答案 55647(2017 ·全国卷 )一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取

24、一件，有放回地抽取100 次， X 表示抽到的二等品件数，则 D(X)_. 解析 有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p0.02，n 100，则 D(X)np(1p)100×0.02×0.981.96. 答案 1.968一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0、两个面上标有数字 1、一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2 次，则向上的数之积 X 的数学期望是 _3 解析 随机变量 X 的取值为 0,1,2,4，则 P(X0)4，P(X1)1119，P(X2)9，P(X4)36，4因此 E(X)9.答案 49三、解答题159袋中装着标有数字 1,2 的小球各 2 个

25、，标有数字 3 的小球 4 个从袋中任取 2 个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用 表示取出的 2 个小球上的最大数字，求：(1)取出的 2 个小球上的数字不相同的概率；(2)随机变量 的分布列和均值 解 (1)记“取出的 2 个小球上的数字不相同 ”为事件 A ，所以 P(A) C21C21C12C21C4125.C87(2)由题意， 可能的取值为： 1,2,3.C221P(1)C2828，C22C12C125P(2)C2828，C24C14C1411P(3)C2814.所以随机变量的分布列为 123P1511282814151111因此 的均值为 E()1×282×

26、283×14 4 .10(2017 ·天津卷 )从甲地到乙地要经过 3 个十字路口， 设各路口111信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为2，3，4.(1)设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数， 求随机变量 X的分布列和数学期望(2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2辆车共遇到 1个红灯的概率 解(1)随机变量 X 的所有可能取值为0,1,2,3.16P(X0) 11 × 11 × 11 1，2344P(X 1) 1×11× 1111×1× 111123423421111× 1

27、3×424，1111111111P(X2)1 ×××1 ×××1 ，23423423441111P(X3)2×3×424.所以，随机变量X 的分布列为X0123P111114244241111113随机变量 X 的数学期望 E(X)0×41×242×43×2412.(2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数， Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ 1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1) P(Y1)(Z0)11111111 4&#

28、215;2424×448.11所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 48.能力提升练11签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任意取3 支，设X 为这 3 支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为 ()A 5B5.25C5.8D4.6 解析 依题意，知 X 的所有可能取值为3,4,5,6，1722P(X3)C321 ，P(X4)C333，C620C620P(X5)C423C521C610，P(X6)C62.331331所以 E(X)3×204×205×106×25.25.答案B12甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得

29、1 分，负者得0 分，比赛进行到有一人比对方多2 分或打满 6 局时停止设甲在每21局中获胜的概率为3，乙在每局中获胜的概率为3，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的期望 E(X)为()241266274670A. 81B. 81C. 81D.243解析 依题意，知 X 的所有可能值为 2,4,6，2 212设每两局比赛为一轮， 则该轮结束时比赛停止的概率为3 35 9.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P(X2)59，45204216P(X4)9×981，P(X6) 981，52016266故 E(

30、X)2×94×816×81 81 .答案B13(2018 ·吉林四平期末 )某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动参选的志愿者回答三个问题， 其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设 为回答正确的题18数，则随机变量 的数学期望 E()_. 解析 由已知得 的可能取值为 0,1,2,3.1122112112111P( 0)2×2×312，P(1)2×2×32×2×32×2×35112111111411112，P(2)2×2×3 2×2×32×2×312，P(3)2×2×3125414 12.E()0×121×122×123×123.答案 4314(2019 ·佛山模拟 )某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中 2 道题的便可通过已知 6 道备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成， 2 道题不能完成；应聘者乙每题正确2完成的概率都是