高等数学三第五章线形方程组

1、维欧氏空间概念建立中引进内积运算，在 nrn维向量的长度n维向量间的夹角n维向量间的关系n4 4欧氏空间欧氏空间一、一、向量的内积向量的内积定义定义1 1设 n 维向量=(x1, x2 , xn), =(y1, y2, yn).定义数：x1 y1+x2 y2+ xn yn为向量 与 的内积，记为 ( , ).即( , ) = x1 y1+x2 y2+xn yn.注：注：定义了内积的 n 维向量空间rn称为 n 维欧氏空间(euclid space)，仍记为 rn.性质性质(1)交换律(,)=(,); (2)分配律(, )=(,)(,);(2)与(3)等价于(+,)= (,) (,); 、r(4

2、)非负性(,)0, 且(,)=0=0.(3)内积满足如下结合律:(,)=(,)=(,); r定义定义2 2设 n 维向量=(a1,a2,an).称.),(|22221naaa为向量 的模(或长度).特别：特别：| | = 1的向量 称为单位向量，|为一单位向量称为 的单位化。当 0时，二、二、向量的长度与夹角向量的长度与夹角,rn,r,则(2)正齐次性|=|;(3)三角不等式|.长度的性质长度的性质: :(1)非负性| 0,若|=0 = 0;定理定理 1 (1 (chauchychauchy-schwarz-schwarz不等式不等式) )| | ),( |向量 和 线性相关. | | ),(

3、 |.|12121niiniiiniibaba重要不等式定义定义 3 3.| |),(arccos,记为 .设,为rn中两个向量，定义与的夹角为当(,)=0时，称与 垂直(正交)特别特别: :定理定理2 2 (勾股定理)设1,2,k为欧氏空间rn中两两正交的向量，即(i ,j )=0,ij，则|1+2+k|2=|1|2+|2|2+|k|2证证: :),(11kjjkiiki 1),(1kiii=|1|2+|2|2+|k|2|1+2+k|2= (1+2+k ,1+2+k),(1kjji例例1 1 已知=(1,2,2,3),=(3,1,5,1),求与的长度及它们的夹角.解：,23),(|6),(|

4、而 (, )=18故62318arccos,.422arccos1、正交向量组定义定义4 4若(a,b)=0，则称a与b是正交的，记作 ab。注：注：零向量与任何向量正交。定义定义5 5在欧氏空间中，一组两两正交的向量组称为正交向量组。三、标准正交基三、标准正交基定理定理4 4非零的正交组是线性无关的。证：设1,2,m是一组非零正交组，并设k11+ k22 +kmm= 0用 1 与等式两边作内积，得0=(0,1)=k1(1,1)+k2(2,1)+ki(i,1)+km(m,1) 类似地： 用i ( i=2,3, m)与等式两边作内积，得k1=0,得ki=0, (i=2,3,m),故1,2,m线性

5、无关。设1,2,m是一组线性无关的向量，利用这组向量可构造出正交向量组。1. 正交化(1)令1=1；(2)求2=211使0=(2,1)=(211, 1 )= (2, 1)1 (1, 1) .得1=(2,1)/(1,1), ;),(),(11112222、施密特(schmidt)正交化(3)求3=31122, 使=(3,1)1(1, 1)+2(2, 1) 0=(3, 1)=(31122,1)=(3,2)1(1, 2)2 (2, 2)0=(3, 2) = (31122, 2)得,),(),(11131),(),(22232222231111333),(),(),(),(4) 类似地，得：11112

6、2221111),(),(),(),(),(),(iiiiiiiii(i=1,2,m) 1, 2, , m 是一组正交组。2. 单位化取,|1111,|1222.|1mmm则1, 2 , , m 是一组正交的单位向量组。 以上方法称为施密特(schmidt)正交化方法它包括正交化和单位化两个过程。例例2 2将线性无关组1=(2,0),2=(1,1)化成正交的单位向量组解：解： (1) 正交化令1=1=(2,0)1111222),(),() 1 , 0()0, 2(42) 1 , 1 (2) 单位化),0, 1 (|1111),1 , 0(22则1, 2是一组正交的单位向量组。定义定义6 6在

7、n 维欧氏空间 v 中若一个基的 n 个向量1, 2, , n 是两两正交的单位向量，即(i,j)=1.i=j0.ij则称该基为标准正交基。3、标准正交基e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),en=(0,0,1)就是一个标准正交基。例如：例如：rn中，证证: : ),(ii2)21(, 12)21(且),(21)21()21(，02121, 0),(),(4131，0),(),(4232. 0),(43故1, 2, 3, 4为r4的标准正交基.例例3 3 ),0 , 0 ,21,21(),0 , 0 ,21,21(21)21,21, 0 , 0(),21,21, 0 , 0(43为 r4

8、 的标准正交基.证明即|i|=1,i=1,2,3,4注：注：利用施密特正交化方法，可从欧氏空间的任一个基出发，找到一个标准正交基。),(jjx.,21nj，定理定理5 5若n维向量1,2,n 是一组标准正交基.则n维向量=(x1,x2,xn)在基1,2,n下的第j个分量为:证证: : ),(j),(1jniiix),(1jniiix),(jjjx.jx解解: :例例4 4证明证明1=(1,2,1),2=(1,3,1),3=(4,1,0),为r3的一组基并用施密特正交化方法构造r3的一组标准正交基。则r(a)=3.从而1,2,3 线性无关, 构成r3的一个基.令321a0141311211=1=

9、 (1,2,1),1112122),(),(= (1, 3, 1)46(1, 2, 1),1 , 1 , 1(35(1)正交化正交化222321113133),(),(),(),(1=(1,2,1),2=(1,3,1),3=(4,1,0),(2)单位化单位化|111),1 , 2 , 1 (61|222),1 , 1 , 1(31|333).1 , 0 , 1 (211=(1,2,1),),1 , 1 , 1(3523=(2,0,2).则1, 2 , 3 是一组标准正交基。即 ata=e，100010001此时有eaaaatt,1),1, 2 , 1 (611r),1 , 1 , 1(312r

10、) 1 , 0 , 1 (213r, , 为列作矩阵以12321316103162213161a21021313131616261aat21316103162213161定理定理6 6a 是正交矩阵定义定义7 7若ata=e (或aat =e),则称 a 为一个正交矩阵.设 a 为 n 阶实矩阵，是 rn 的一组标准正交基.a 的行(列)向量定理定理7 7由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，如果标准正交基到第二组基的过渡矩阵是正交矩阵，则第二组基也是标准正交基。5 5 线性变换线性变换一、线性变换的定义一、线性变换的定义t(+)=t()+t()(2) 对任意v, 及任意实数 k，有t

11、(k)=kt()则称t为v 的一个线性变换.定义定义1 1向量空间v到自身的一个映射t，称为v的一个变换。若t满足：(1) 对任意, v, 有向量 在 t 下的像，记为t()或t.注2： 用粗体大写字母t, a，b，c，表示线性变换，它构成一个线性空间，定义变换t：)()(xfxf)()()()()()(xgxfxgxfxgxft)()(xgtxft)()() )()(xfktxfkxfkxfkt全体的集合， xrn设表示定义在r上次数不超过n的多项式例例1 1：故t 为 的一个线性变换. xrn ,)(),(rkxrxgxfn对注1：定义式中（1），（2）可表示为)()()(,212121t

12、ktkkktrkkv证：证：t(+)=(+)a=a+a=t+t例例2 2：设a为一n阶实矩阵，对任意rn，令 t= a,则t为rn 中的线性变换.t(k)= (k)a=k(a)=k(t)故 t 为 rn 中的线性变换.v 中两类特殊的线性变换：1. 恒等变换 ee= , v2. 零变换 oo= 0 , v定理定理1 1设 t 是v 的一个线性变换，则(1)t把零向量变到零向量，把 的负向量变到 的像的负向量，即t 0=0；t()= t.(2)t保持向量的线性组合关系不变, 即t(k11+k22+kss)=k1t1+k2t2+ksts.(3)t把线性相关的向量组变为线性相关的向量组.定义定义2

13、2设 l(v) 是向量空间v的全体线性变换的集合,定义 l(v) 中的加法，数乘与乘法如下：加法: (t1+t2) =t1+t2;数乘: (kt)=kt乘法: (t1t2)=t1(t2)对 v, kr.可证；若 t1, t2 均为 v 的线性变换，则t1+t2，t1t2，均为 v 的线性变换.二、线性变换的矩阵二、线性变换的矩阵t =k1 t 1+k2 t 2+ +km t m设 v 为向量空间, dim(v)=m.1, 2, , m 为v 的一组基，t 为 v 的一个线性变换. =k11+k22+ +kmmvmmkkkttt2121),(t1 =a111+a212+ +am1mt2 =a12

14、1+a222+ +am2mtm =a1m1+a2m2+ +ammm 即(t1,t2,tm)=(1,2,m)a其中mmmmmmaaaaaaaaaa212222111211简记为(1,2,m)=(1,2,m)a设（1）（2）称矩阵a为线性变换t在基1, 2, , m下的矩阵.给定v的基1,2,m,线性变换t矩阵a定理定理3 3设 v 的线性变换 t有(t1,t2,tm)=(1,2,m)a向量在基1, 2, , m下的坐标为(x1, x2, , xm)，t t在此基下的坐标为(y1, y2, , ym), 则nmxxxyyy2121a= (1, 2, , m ) a =x11+x22+ +xmmt

15、=x1 t 1+x2 t 2+ +xm t mmmxxxttt2121),(mxxx21= (1, 2, , m )myyy21nmxxxayyy2121证明：所以例例3 3：设 r3 的线性变换tt(x1, x2, x3)=(a11x1+a12x2+a13x3, a21x1+a22x2+a23x3, a31x1+a32x2+a33x3) 求 t 在标准基1, 2, 3下的矩阵. 解：解：t1=t(1, 0, 0)=(a11, a21, a31)= a111+a21 2+ a31 3t2=t(0, 1, 0)=(a12, a22, a32)= a121+a22 2+ a32 3t3=t(0,

16、0, 1)=(a13, a23, a33)= a131+a23 2+ a33 3故 t 在标准基 1, 2, 3 下的矩阵为333231232221131211aaaaaaaaaa),(),(321321ttt333231232221131211aaaaaaaaa特例：特例：线性变换 t=k 数量矩阵ke恒等变换 t= 单位矩阵e零变换 t=0 零矩阵o三、线性变换在新基下的矩阵三、线性变换在新基下的矩阵1,2,m；1,2,m定理定理4 4 设向量空间v有两组基，分别为则b=c1ac证明： (1,2,m)b=t(1,2,m)(1,2,m)=(1,2,m)c且t(1,2,m)=(1,2,m)at

17、(1,2,m)=(1,2,m )t=(1,2,m)c=(1,2,m)ac=(1,2,m)c1ac故b=c1ac定义定义5 5设 a, b 为两 n 阶方阵，若存在可逆矩阵 c，使 b=c1ac , 则称方阵 a 与 b 相似，记为ab.(1) aa (反身性)(2) ab ba (对称性)(3) ab, bc ac (传递性)ac1bc=b=(fd)-1 c (fd)a=d-1dcf )=d-1d(f-1性质：性质：解：解：从e1, e2, e3 到1, 2, 3的过渡矩阵211243132c例例5 5线性变换t在r3中基e1,e2,e3下的矩阵为6788152051115a求t在基1=2e1

18、+3e2+e3 , 2=3e1+4e2+e3 , 3=e1+2e2+2e3 下的矩阵.故线性变换 t 在 1, 2, 3 下的矩阵b=c1ac300020001三、线性变换的特征值与特征向量三、线性变换的特征值与特征向量问题问题: : 线性变换在何种基下对应对角矩阵?定义定义6 6设 t 是向量空间 v 的一个线性变换,如果存在数 及 n 维非零向量 ，使得t = 成立，则称 为t的一个特征值，而 称为 t 对应于特征值 的一个特征向量。注：若 为 t的属于特征值 的一个特征向量, 则k (k0)也为t的属于特征值 的特征向量.t (k )= kt = k = (k )若 1, 2, , m为

19、t 的特征向量，且构成 v 的基由ti= i it（ 1, 2, , m）m21=（ 1, 2, , m）t在特征向量这组基下对角矩阵定理定理5 5设 v 为 m 维向量空间，t为 v 的一个线性变换. 那么存在 v 的一组基，使得 t在这组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 t 有 m 个线性无关的特征向量.特征值，特征向量 的求法：设1,2,m为v 的一组基(t1,t2,tm)=(1,2,m)a=(1,2,m)amxxx21 =x11+x22+ +xmmt=x1t1+x2t2+xmtmmmxxxttt2121),(=(1,2,m)mxxx21=(1,2,m) mxxx21满足：amxxx21

20、=mxxx21即 (a e)x= 0定义定义7设 a r nn，如果存在数 及 n 维非零向量 x，使得a x= x成立，则称 为矩阵 a 的一个特征值，而 x称为矩阵 a 对应于特征值 的一个特征向量。注：t = a x= x( a e ) x = 0其中a 为在基1, 2, , m下的矩阵. x为的坐标定义定义3 3欧氏空间 v 的线性变换t称为正交变换，若对任意, v, 均有(t, t )=( , )定理定理2 2设a是欧氏空间的一个线性变换，则下面几个命题等价：(1)t是正交变换；(2)t保持向量的长度不变，即对于任意的 v, |t|=| |; (3)如果1,2,m是v的标准正交基,则

21、t1, t2,tm也是v的标准正交基；(4)t在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.一、非齐次线性方程组的解的存在性一、非齐次线性方程组的解的存在性m 个方程，n 个未知量的非齐次线性方程组(1)a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm1 1 线性方程组的线性方程组的消元法消元法称 mnmmnnaaaaaaaaaa212222111211为方程组(1)的系数矩阵 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211为方程组(1)的增广矩阵a=mb

22、bb21定义定义1若非齐次线性方程组(1)有解，则称该方程组是相容的。否则，则称不相容。例例1解方程组2x1 x2 + 3x3 = 14x1 + 2x2 + 5x3 = 42x1 +2x3 = 6解：解： 用消元法2x1 x2 + 3x3 = 14x1 + 2x2 + 5x3 = 42x1 + 2x3 = 6620245241312a2x1 x2 + 3x3 = 14x2 x3 = 2x2 x3 = 5r2 2r1r3 r1511021401312(2) 2(1)(3) (1)2x1x2+x3=13x3=18x2x3=5(2)31(2) (3)2x1x2+x3=1x2x3=5x3=651101

23、83001312r2 4r3r231r2r3610051101312(2)4(3)x1 = 9x2 = 1x3 = 6610010109001此时3)()(arar(未知数的个数)是方程组的唯一解例例2讨论方程组是否有解。2x1 + x2 + x3 = 2x1 + 3x2 + x3 = 5x1 + x2 + 5x3 = 72x1 + 3x2 3x3 = 15解：解：15332751151312112ar(a) = 3, r(a) = 4初等行变换0002100621051311对应的方程组化成x1 + 3 x2 + x3 = 5x2 2x3 = 62x3 = 20 x1 + 0 x2 + 0

24、x3 = 1方程组无解!例例3 3讨论方程组是否有解x1 + x2 + x3 x4 = 1x1 x2 x3 + x4 = 02x1 2x2 + 2x3 2x4 = 2解解a222220111111111132rr r2 r1000001220011111r ( a ) = r ( a ) = 2 4 (未知量个数)对应的方程组化成对应的方程组化成x1 x2 + x3 x4 = 1 2x3 + 2x4 = 14321xxx1 + x3 = 1 + x2 + x4 2121xx4321xx有两个自由未知量任取24cx ,12cx r ( a ) = r ( a ) = 2 4 (未知量个数)得方程组解其中c1, c2 可任意选定1121cxx2 = c12321cxx4 = c2在非齐次线性方程组(1)中，若定理定理 2rarar)()(1) 若r = n 则方程组(1)有唯一组解(2) 若r n 则方程组(1)有无穷多个解定理定理 1非齐次线性方程组(1)有解)()(arar例例4 4讨论， 取何值时，方程组 无解？有唯一解？有无穷多个解？x1 + 2x3= 1x1 + x2 3x3 = 22x1 x2 + x3= 解：解：122311