大学数学：ch4-习题课(2)

1、习题课习题课(2)幂级数幂级数付氏级数付氏级数函数项级数函数项级数)(0 xunn 求和求和)(xS展开展开(在收敛域内进行在收敛域内进行)(0 xunn基本问题基本问题：判别敛散；：判别敛散；求收敛域；求收敛域；求和函数；求和函数；级数展开级数展开.为傅立叶级数为傅立叶级数.xnbxnaxunnnsincos)(当为傅氏系数为傅氏系数) 时时,时为数项级数时为数项级数;0 xx 当nnnxaxu)(当时为幂级数时为幂级数;nnba ,(1、求幂级数收敛域的方法、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数标准形式幂级数: 先求收敛半径先求收敛半径 R , 再讨论再讨论Rx 非标准形式幂级数非标准形式

2、幂级数通过换元转化为标准形式通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法直接用比值法或根值法处的敛散性处的敛散性 .211(1)nnnxn 如如21.2nnnnx 如如2、幂级数和函数的求法、幂级数和函数的求法 求部分和式极限求部分和式极限求和求和 映射变换法映射变换法 逐项求导或求积分逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导对和式积分或求导)(xS难难直接求和直接求和: 直接变换直接变换,间接求和间接求和: 转化成幂级数求和转化成幂级数求和, 再代值再代值求部分和等求部分和等 初等变换法初等变换法: 分解、套用公式分解、套用公式（在收敛区间内）（在收敛区间内） 数项级数数项级数

3、求和求和nnnxa03、函数的幂级数和付式级数展开法、函数的幂级数和付式级数展开法 直接展开法直接展开法 间接展开法间接展开法 利用已知展式的函数及幂级数性质利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式利用泰勒公式1. 函数的幂级数展开法函数的幂级数展开法2. 函数的付式级数展开法函数的付式级数展开法系数公式及计算技巧系数公式及计算技巧; 收敛定理收敛定理; 延拓方法延拓方法2111(,)2!xnexxxxn 13211( 1)sin(,)3!(21)!nnxxxxxn 2246111( 1)cos1(,)2!4!6!(2 )!nnxxxxxxn 11( 1)ln(1)( 11)nnnxxxn

4、 2(1)(1)12!(1)(1) (-1,1)!nxxxnxn 记住以下展开式记住以下展开式111( 3 3),(1)_.nnnnnna xnax 1.1.设幂级数的收敛区间为， 则幂级数设幂级数的收敛区间为， 则幂级数的收敛区间为的收敛区间为一、填空和选择题一、填空和选择题( 2,4) 313 x1111112,1.nnnnnnnnnnnnnnnxa xna xna xnaxan ，（） ，收收敛敛半半径径相相同同(D) 111212112 () 1nnnnnnna xb xRRRRabxRR 设设幂幂级级数数与与的的收收敛敛半半径径分分别别为为与与，当当时时，求求的的收收敛敛半半径径；当

5、当时时，能能否否例例求求收收敛敛半半径径？ 12min,RRR 解解设设 O1R1R 2R2R 收敛收敛、时，时，当当nnnnxbxaRx 11收敛。收敛。 1)(nnnxba 210,maxRRR 中一个收敛一个发散。中一个收敛一个发散。、时，时，当当nnnnxbxaRxR 110。发散发散 1)(nnnxba发散。发散。时，时，当当nnnxbaRx 1)(例例2.13( 1) n nnnxn 求幂级数的收敛半径.求幂级数的收敛半径.解解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,lim1nnaannnnalim极限不存在极限不存在1)(kkx,24212kkkxk

6、1)(kkx12112122kkkxk)()(1limxxnnn,)4(2x411R)()(1limxxnnn,)2(2x212R 原级数原级数 =1)(kkx1)(kkx 其收敛半径其收敛半径121min,4RRR注意注意: 3. 幂级数幂级数1112 ln1nnnnxn的收敛域为的收敛域为 . ( 2,222( 1)(1)nnnn 为偶数为偶数0 0为奇数为奇数3.(,)2xxeex 2.sincos(,)xxx x 解解121( 1)( ), (0)0,(21)nnnxS xSnn 令则令则121( 1)(21)nnnxnn 1 1. .求求的的和和函函数数. .122212( )2(

7、1)11nnnSxxxx 202( )(0)112arctanxSxSdxxxx 1211( 1)( )2,(0)021nnnxSxSn ( )2arctan1Sxxx00( )2arctan1xxSx dxxdxx2( )(0)2 arctanln(1)S xSxxx2( )2 arctanln(1)1S xxxxx与与和和函函数数。的的收收敛敛域域！求求 753!78!56342xxxx2解解,)!12(2)1()(1211 nnxxsnnn令令两边逐项求积分得两边逐项求积分得 xnnnxdxnnxdxxs012110)!12(2)1()()sin()(xxxs 故故21100121101

8、2( )( 1)(21)!2 ( 1)(21)!nxxnnnxnnnxS x dxdxnnxdxn 即即),(cossin xxxx),(sin xxx)!12()1()!12()1(1211211 nxxnxnnnnnn24212!4!(2 )!nxxxn 求求：的的收收敛敛域域与与和和函函数数),()0(10)!22()!2(lim)()(lim)1(221 xRxnxnxxuxunnnnnn),(2)!2()!2(2!)1(1!)(,!0202000 xeenxnxxneenxenxexxnnnnnnnxxnnxnnx解解3.2421( )2!4!(2 )!nxxxs xn 求求：的的收

9、收敛敛域域与与和和函函数数3.321( )3!(21)!nxxsxxn 222( )12!(22)!nxxsxn 242( )12!4!(2 )!nxxxs xn( )( )0sxs x解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x011111( 1)5(5)11532 (5)22221 ()2nnnnxxxxx 32( )(2)(3)32xf xxxxx211032( )( 1) (5)5623(3,7)nnnnnxf xxxxx 解解0111( 1)5(5)1123(5)333nnnnxxxx 1233( )1(1)22fxxx解解23111 3(2

10、3)!11( 1). 1,122 42 4 6(2 )!nnnxxxxxn 由由1233( )1(1)22fxxx有有233111 3(1111222 42 4 6(23)!( 1)1.(2 )!nnxxxnxn （）（）（）（）（）（）（）（）0,234131111( )(1)12222 431 31(23)!1( 1).2 4 64(2 )!4nnxxf xfxxnxn 2 2（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）0,232321( )1(1)3 333(1)(2).(1)2 2221(1)0,2!nnf xxxnxn 又解又解: 直接代公式得直接代公式得的值。的值。求求设设)0(,)1

11、(1)()100(3fxxxf 23)1(1)1(2)()(xxxf 一一方法方法 111)(nxx二二方法方法 112)1(1nnxx 223)1()1(2nxnnx 21223)1(21)1(21)1(1)(nnxnnxnnxxxf112 nxnnxn 02)1(nnxnf 0)(!)0(!)0()1()(2nfnn !100)101()0(2)100( f例例3例例4111(1)( )lnarctan412.(2)ln(1)1xf xxxxxxxx 将将展展开开为为 的的幂幂级级数数将将展展开开为为的的幂幂级级数数。解解(1)1)(arctan21)11(ln41)( xxxxf4421

12、11121111141xxxxx 1114 xxnn)11(14)( )0()(0114140 xnxdxxdxxffxfxnnnnx0)0( f对上式两边积分得对上式两边积分得 11414)(nnnxxf( 11)x )1ln(ln1lnxxxx )1(2ln)1(1ln xx解解(2) 11)1()1()1(1ln(nnnnxx2 , 0(,111 xx即即211ln2ln)1(2ln xx而而 112)1()1(2lnnnnnnx3 , 1(1211 xx即即， 2 , 0() 1()211 () 1(2ln1ln11 xnxxxnnnn2( )arctanln 1.f xxxx六、将展

13、开成麦六、将展开成麦克劳林级数克劳林级数解解,32)1ln(32 xxxx,)1(32)1ln(216422 nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642)1(1 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x 1210222)1(2112)1(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故故 02202222)1(2112)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022 nnnnnx)11( x12111( 1)2(21)!(1)nnnnxnx 七七、将将级级数数的的和和函函数数展展开开成成的的幂幂级级数数解解设法用已知展开式

14、来解设法用已知展开式来解的展开式，的展开式，是是分析分析xnxnnnsin)!12()1(1121 112111211)2()!12()1(2)!12(2)1(nnnnnnnxnnx2sin2x 211sin2 x21sin21cos221cos21sin2 xx 01202)21()!12()1(21cos2)21()!2()1(21sin2nnnnnnxnxn 01202)1()!12(2)1(21cos)1()!2(2)1(21sin2nnnnnnnnxnxn),(21( )2( 11)12nf xxxn 八、将函数内展开成八、将函数内展开成以为周期的付氏级数，并由此求级数的和以为周期的付氏级数，并由此求级数的和解解,)11(2)(是是偶偶函函数数 xxxf 100)2(12dxxa, 5 101cos)2(12dxxnxan 10cos2xdxnx 10sin2xnxdn1)1(222 nn 12,42, 022knnkn), 2 , 1( k, 0 nb 122)12cos()12(4252kxkkx故故 122.)12()12cos(425kkxk)11( x, 0 x取取由上式得由上式得 122,)12(14252kk 122,8)12(1kk 121212)2(1)12(11kknkkn而而,141)12(11212 kkkk