大学数学：ch3-1(1) 定积分的可积条件(证明）

1、2012年12月23日南京航空航天大学 理学院 数学系1第第3章章 一元函数积分学及其应用一元函数积分学及其应用第第1节节 定积分的概念，存在条件与性质定积分的概念，存在条件与性质第第2节节 微积分基本公式与基本定理微积分基本公式与基本定理第第3节节 两种基本积分法两种基本积分法第第4节节 定积分的应用定积分的应用第第5节节 反常积分反常积分第第6节节 几类简单的微分方程几类简单的微分方程2第第1 1节节 定积分的概念，存在条件与性质定积分的概念，存在条件与性质1.1 1.1 定积分问题举例定积分问题举例1.2 1.2 定积分定义定积分定义1.3 1.3 定积分存在条件定积分存在条件1.4 1

2、.4 定积分的性质定积分的性质2012年12月19日南京航空航天大学 理学院 数学系31.3 1.3 定积分存在条件定积分存在条件1.1 , a b（可积的必要条件）（可积的必要条件） 区间上的可积函数一区间上的可积函数一定理定理定有界.定有界.注意注意 有界函数未必一定可积。有界函数未必一定可积。例如：例如：Dirichlet函数函数401:.,naxxxb称为称为 f 关于分割关于分割 的的DarbouxDarboux大和大和, ,1( )niiiSMx 称为称为 f 关于分割关于分割 的的Darboux小和小和,1( )niiismx 1inf( )|, ,1, 2,;iiimf xxx

3、xin , ,fa b设在上有界设在上有界对任意分割对任意分割定义定义1(1, 2,),iiiiiMminfxx 称称为为在在上上的的.振幅振幅其中其中1sup( )|, ,1, 2,;iiiMf xxxxin 1( , ):nkkkSfx 积分和积分和5大和的几何意义大和的几何意义:曲边梯形曲边梯形“外接外接”矩矩形形小和的几何意义小和的几何意义:曲边梯形曲边梯形“内接内接”矩矩形形面积之和面积之和.面积之和面积之和.xyOab( )yf xxyO( )yf xab6( )( , )( )sSS (1)(1)相应相应于于 的所有的积分和与达布和满足的所有的积分和与达布和满足不等式不等式下，达

4、布和下，达布和 ( )s( )Sk( , )S(2)(2)在固定的分法在固定的分法 是常数，是常数，此时由于此时由于 的选取的任意性，的选取的任意性， 积分和积分和 却是变化的，却是变化的，注意:7观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系8观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系9观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系1

5、0观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系11观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系121nkkkx 0, 0, ( ),d 01lim0nkkdkx 在区间在区间 ( )f x, a b定理定理1.2 函数函数 上可积的充上可积的充分必要条件为分必要条件为 01lim0nkkdkx 定理定理1.2（可积的充要条件）（可积的充要条件）( )f x, a b 0lim 0 dSs有界函数有界函数 在区间在区间 上

6、可积上可积11( )( )()nnkkkkkkkSsMmxx 13由大和与小和的几何意义知道,定由大和与小和的几何意义知道,定几何意义 几何意义 理1.2理1.2的一系列小矩形面积之和可以达到任意小, 只要的一系列小矩形面积之和可以达到任意小, 只要 , a b 对的分割足够地细.对的分割足够地细.( )yf x的几何意义为: 下图中包围曲线的几何意义为: 下图中包围曲线Oxabyiix ( )yf x1411.nniiiiixxba 每个每个abi ，从而，从而第一种方法第一种方法: :.1 niiix 证明可积性问题时证明可积性问题时, ,通常有三种方法可使通常有三种方法可使1,niiM

7、若若有有界界 即即对对任任意意分分割割第二种方法第二种方法: :11.nniiiiixdMM ,dM 则则当当时时1,niiM 第三种方法：前两种的综合！第三种方法：前两种的综合！= 取取15,iix 在在中中iix 而而在在中中，,)(2abi ,)(2mMxi ,iiiiiixxx若若第三种方法第三种方法: : , ,Mmfa b其中是在上的振幅 从而其中是在上的振幅 从而,1,2, .iMm in 于是于是 iiiiiixxx )()(2)()(2mMmMabab . 16( ),f xC a b( ),f xa b定理定理1.3 如果函数如果函数 则则 证证 根据在闭区间上连续函数性质

8、，根据在闭区间上连续函数性质， ( )f x, a b0 必在必在上一致连续，即上一致连续，即 0 , , x xa b xx ，只要，只要 ，有，有()()f xf xba 的任意分法的任意分法 , a b( )d 1( ),kkf xC xx1,kkxx ()kkmf()kkMf对于对于，只要，只要 ，注意，注意使得使得，从而有，从而有 kkkkkbMmaff 1,2,kn11nnkkkkkxxba 所以所以17单调，则单调，则 ( )f x, a b( ),f xa b定理定理1.5 如果函数如果函数 在区间在区间 f af b ,f xf af bC a b证证 不妨设不妨设 单调增加

9、。若单调增加。若 ，则，则从而由定理从而由定理1.3， ( ),;f xa b( )f x18单调，则单调，则 ( )f x, a b( ),f xa b定理定理1.5 如果函数如果函数 在区间在区间 0 ( )( )f bf a 取取 f af b 若若 ( )d 有有111 ()() ( )( )nnkkkkkkxf xf xf bf a证证则对任意分割则对任意分割1()(),1,2, ,iiif xf xin 于是于是 111()()( )( ).nniiiiif xf xf bf a 19定理定理1.4 如果函数如果函数 f x在区间在区间 , a b上有界上有界 并且除去有限个间断点外处处连续并且除去有限个间断点外处处连续 ( ),f xa b则则200, 取满足取满足0().2()baMm 只有一个间断点只有一个间断点, ,且为且为 b. .证证 不妨设不妨设 , fa b在上在上., ,fbb界 设在上的