大学数学：Ch5习题课(1)

1、多元函数的定义多元函数的定义多元函数的极限多元函数的极限多元函数的连续性多元函数的连续性闭区域上连续函闭区域上连续函数的性质数的性质偏导数偏导数高阶偏导数高阶偏导数全微分全微分基本概念之间的基本概念之间的相互关系相互关系一、基本概念（包括定义、性质、定理等）一、基本概念（包括定义、性质、定理等）二、微分法二、微分法 简单显函数简单显函数z=f (x,y)求偏导数求偏导数复合函数微分法复合函数微分法隐函数微分法隐函数微分法1.1.多元函数的概念多元函数的概念 二元函数二元函数n元（数量值）函数元（数量值）函数 n元向量值函数元向量值函数2. 2. 多元函数的极限与连续性多元函数的极限与连续性 二

2、重极限二重极限n重极限重极限 二元连续函数二元连续函数n元连续函数元连续函数3. 3. 有界闭域（紧集）上多元连续函数的性质有界闭域（紧集）上多元连续函数的性质（1）有界性与最大、小值存在性质）有界性与最大、小值存在性质（3) 一致连续性一致连续性(2) 介值性介值性多元函数的导数与微分多元函数的导数与微分多元函数的导数与微分多元函数的导数与微分1. 1. 偏导数与高阶偏导数的概念与计算偏导数与高阶偏导数的概念与计算 定义定义; 记号记号; 几何意义几何意义 混合偏导数连续混合偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关 求一点处偏导数的方法求一点处偏导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定

3、义利用定义 求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法逐次求导法逐次求导法 求求多元复合函数多元复合函数偏导数的链式法则偏导数的链式法则利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算 ;利用微分形式不变性利用微分形式不变性 ;代公式代公式 求由方程求由方程( (组组) )确定的隐函数的导数或偏导数的方法确定的隐函数的导数或偏导数的方法隐函数隐函数( 组组) 存在定理存在定理2. 2. 方向导数与梯度的概念与计算公式方向导数与梯度的概念与计算公式0gradlflf梯度在方向梯度在方向 l 上的投影上的投影.方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数存在 可微可微3. 3. 多元函数全微分的概念

4、和计算多元函数全微分的概念和计算(1)多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导(2) 全微分形式不变性全微分形式不变性.),(),(22222的的二二阶阶偏偏导导数数连连续续其其中中、求求设设vufyxzxzxyyxfz 练习练习1练习练习2 求由方程求由方程2222 zyxxyz所确定的函数所确定的函数z=z(x，y)在点（在点（1，0，-1）处的全微分）处的全微分.),(),(22222的的二二阶阶偏偏导导数数连连续续其其中中、求求设设vufyxzxzxyyxfz xyvyxu ,2222xz yxz

5、2练习练习122111222242()fxyfyxfxyf221111222244fx fxyfy f12 2zfxfyx 12 ( 2 )zfyfxy 练习练习2 求由方程求由方程2222 zyxxyz所确定的函数所确定的函数z=z(x，y)在点（在点（1，0，-1）处的全微分）处的全微分.解解 将方程将方程两边求全微分得两边求全微分得, 0)(1222 zdzydyxdxzyxxydzxzdyyzdx因此，在点因此，在点（1，0， 1）处）处dydxdz2 例例1 1解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数设设)1(213xfxf

6、xyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 例例2. 设设其中其中 f 与与F分别具分别具,0),(, )(zyxFyxfxz解法解法1 方程两边对方程两边对 x 求导求导, 得得ddzx32(0)xf FF ddzx 1F32 xf FF 231 xfFF 21xffxfFF 122xF fxF ffF 有一阶导数或偏导数有一阶导数或偏导数, 求求dd

7、ddyzxffxfxx231ddddyzFFFxx f xf d(1)dyx .ddxz2ddyFx 3d0dzFx (99 考研考研)解法解法2 () ,( , , )0zxf xyF x y z方程两边求微分方程两边求微分, 得得化简化简消去消去 即可得即可得d yd.dzx2dFy 3d0Fz dxfy d0zdd(dd )zfxxfxy 123ddd0FxFyFz()dfxfx 1dFx 例例3. .设设( , , )uf x y z 有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数, 且且2sin ,zxt ln() ,txy求求2,.uuxx y 解解:uztxyux 1f 3(f 2 sinxt

8、 2cosxt)2ux y 12f 13(f 2cosxt)32f 33f21(cos)xtxy 2cos(2 sin)xtxtxy 3f 12 cosxtxy 22 ()xxy 1sinxyt ()xy cos1t1xy 1xy 解解 0cos0tan0tytxeezyxxz 0sin0sec)1(02tytxxezezyxxz0, 1, 00 zyxt21,1,0 zxy 0cos0tansec2)1()2(0) (222tyttxxexxezezezyxxxzz81304130 tzzz,2, 1 xy022,cos,tan, txzdtzdtytxeezyx求求已知：已知：例例4例例5

9、设变换设变换 可把方程可把方程 ayxvyxu20622222 yzyxzxz简化为简化为 ，求常数，求常数a.02 vuz解解 ,vzuzxz ,2vzauzyz ,22222222vzvuzuzxz ,4422222222vzavuzauzyz .)2(2222222vzavuzauzyxz 将上述结果代入原方程，经整理后得将上述结果代入原方程，经整理后得. 0)6()510(2222 vzaavuza依题意依题意a应满足应满足062 aa0510 a且且解之得解之得 a=3.1. 设函数设函数 f 二阶连续可微二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数求下列函数的二阶偏导数2.zx y 22

10、2(1)()(2)()(3)(,)yzxfxyzf xxyzf xx 2. 设设求求,sin,cosvuzveyvexuuyzxz,0sin2,x zxyxtexyedtt ( , , )uf x y z 有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数 , ( )yy x 及及( )zz x 分别由下两式确定分别由下两式确定求求d.dux又函数又函数( 2001考研考研 ）3. 设设.,0),(),(. 4tFyFtfxFtftFxfdxdyFfyxtyxFttxfy 证证明明具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数的的函函数数，其其中中所所确确定定的的是是由由方方程程，而而设设解答提示解答提示: )()

11、1 (2xyfxz : )()2(2xyxfzxyxyfxyz2)(2xyfyz2 fxyxyfxy )1(22222fxy 232fy 2yxz2yxz2 fy2)(22xyfxy 2)1(22xyfxy22第第 1 题题2222fxyyxz) (2xy21f 2222fxy : ),()3(2xyxfz 22fxyyzxvuxuvxz得由,sin,cosveyvexuu得由,vuz vveuvexuudsindcosd求求,sin,cosvuzveyvexuuyzxz,2. 设设vveuveyuudcosdsindyvuyuvyz利用行列式解出利用行列式解出 du, dv ：解解vevev

12、eveveyvexuuuuuuucossinsincoscosdsinddux yxdd veucosveusinuy 代入代入即得即得 ;zx vx yxvdddveusinveucosvy uvxx将及将及代入代入即得即得 .zy uvyy将及将及0sin2,x zxyxtexyedtt ( , , )uf x y z 有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数 , ( )yy x 及及( )zz x 分别由下两式确定分别由下两式确定求求d.dux又函数又函数( 2001考研考研 ）3. 设设解解: 两个隐函数方程两边对两个隐函数方程两边对 x 求导求导, 得得 123d()1dsin()xuy

13、exzfffxxxz ()()0 xyeyxyyxyxe sin()xzxz (1)z ,yyx ()1sin()xexzzxz 解得解得因此因此,00 dxdtFdxdyFFdxdtffdxdytyxtx1yttxttxtyttxtxFfFFfFfFFfFFffdxdy :x将上式两方程对 求导数将上式两方程对 求导数 ,0, ,0yfx ttt xyy xF x y t 解法解法14.( , )( , , )0,yf x ttF x y tx yf F 设设，而而 是是由由方方程程所所确确定定的的的的函函数数，其其中中具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数 证证明明.fFfFdyxttxfF

14、Fdxtyt )( tyxtxFdyFdxFfdxfdy 得得代入代入）由（由（)1(2tyxFdyFdxFdt (1)0 (2)xtxytdyfdxf dtF dxF dyFdt解法解法2xttxttyf Ff FdydxFf F , ,0yfx ttt xyy xF x y t xttxttyf Ff FdydxFf F EX,1),(2 xxf,2),(21xxxf 1. 已知已知).,(22xxf 求求2. , 1)1 , 1(f,),(,()(xxfxfx ,2) 1 , 1 (xf求.1)(dd3xxx),(yxfz 在点)1 , 1(处可微 , 且设函数,3) 1 , 1 (yf

15、(2001考研考研)EX1,1),(2 xxf,2),(21xxxf 1. 已知已知求求).,(22xxf 解解 由由1),(2xxf两边对两边对 x 求导求导, 得得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf2. ) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 1x 351, 1)1 , 1(f,),(,()(xxfxfx ,2) 1 , 1 (xf求.1)(dd3xxx),(yxfz 在点)1 , 1(处可微 , 且设函数,

16、3) 1 , 1 (yf解解: 由题设23)32( (2001考研考研)及及其其相相互互关关系系哪哪些些是是自自变变量量，分分清清哪哪些些是是中中间间变变量量，).1(等等号号：抽抽象象函函数数常常采采用用简简便便记记121121 , , , ).3(ffff分分清清偏偏导导与与全全导导记记号号).2(4).) i对于高阶偏导数对于高阶偏导数运用四则运算法则，把一阶偏导数拆开运用四则运算法则，把一阶偏导数拆开12),iifff记住仍与 的复合关系一样记住仍与 的复合关系一样隐函数微分法隐函数微分法(1)( , )0( )( , )( ),( , )0)( , )xyyF x yyy xFx yyxFx yFx y 由确定隐函数则由确定隐函数则有有(2)( , , )0( , )( , , )( , , ),( , , )( , , )( , , )0)