大学数学：ch7-4 高阶线性微分方程（2）VIP

1、1高阶线性微分方程一、高阶线性微分方程解的结构一、高阶线性微分方程解的结构二、高阶常系数线性微分方程的求解二、高阶常系数线性微分方程的求解三、高阶变系数线性微分方程的求解三、高阶变系数线性微分方程的求解2(1)123,:,:,:.:nnxx xxxxxx ( )( ) (1)dxA t xf tdt 12101000010( )0001( )( )( )( )nnnA ta tatata t ( ) (2)dxA t xdt 111( )( )( )nnnnnd xdxa tat xf tdtdt (1)111( )( )0nnnnnd xdxa tat xdtdt (2)000( )ff t

2、 12( )( )( )( )nxtxtx txt 所有关于所有关于微分方程微分方程组的相关组的相关结论都可结论都可平行推论平行推论到到n阶线阶线性微分方性微分方程上程上一、高阶线性微分方程解的结构高阶线性微分方程解的结构3结论结论12( ),( ),( )nx tx txtn如如果果是是 阶阶齐齐次次线线性性微微分分方方程程（2 2）;( )(1,2, ),ina tinatb个线性无关解 其中是上个线性无关解 其中是上连续函数连续函数则则它它的的通通解解为为1122( )( )( )( )nnY tc x tc x tc xt12,.nc cc这里是相应确定的常数这里是相应确定的常数( (

3、n阶齐次线性微分方程解的结构阶齐次线性微分方程解的结构) )*( )(1),(1)( )x tx t设是的任意的特解 则的通解可表为设是的任意的特解 则的通解可表为*1122( )( )( )( )( )nnx tc x tc x tc xtx t111( )( )( )nnnnnd xdxa tat xf tdtdt (1)111( )( )0nnnnnd xdxa tat xdtdt (2)4二、高阶常系数线性微分方程的求解高阶常系数线性微分方程的求解1、常系数常系数齐次线性微分方程的求解齐次线性微分方程的求解1110nnnnnd xdxaa xdtdt (3)(1)123,:,:,:.:

4、nnxx xxxxxx 121010000100001nnnAaaaa 12( )( )( )( )nxtxtx txt (3)dxAxdt 5A的特征方程为：的特征方程为：121100010det()0001nnnAEaaaa 121210(4)nnnnnaaaa 即即1110nnnnnd xdxaa xdtdt (3)kkkd xdt 恰好是将所要解的齐次方程（3）中的换成恰好是将所要解的齐次方程（3）中的换成(4)也称为微分方程也称为微分方程(3)的的特征方程特征方程.6(1)：A有有n个单特征值个单特征值12,n 互不相同互不相同12,nr rr 线性无关线性无关1212( ),ntt

5、tnX ter erert 是常系数线性方程组是常系数线性方程组的一个基解矩阵的一个基解矩阵.(3)dxAxdt 1110nnnnnd xdxaa xdtdt (3)12(,)Tiiinirrrr n阶线性微分方程(3)的基本解组阶线性微分方程(3)的基本解组121112121( ),( ),( )ntttnnx tr ex tr extr e 1212( )ntttnx tc ec ec e n阶微分方程(3)的通解阶微分方程(3)的通解12.nccc其中 ， ， ， 为任意常数其中 ， ， ， 为任意常数 (3)dxAxdt 7(2) A的特征方程有重根的特征方程有重根 121212,;,

6、.sssnnAn nnnnnn 假设矩阵 的特征值为相应重数为假设矩阵 的特征值为相应重数为, ,且且12( )( )( )( )0121( )()1!2!(1)!1,2,.,iiiiiintiiiiiniiAnntttx trrrrenin 设 是矩阵 的 重特征值，则设 是矩阵 的 重特征值，则方程组（3 ）必存在 个线性无关的特解为：方程组（3 ）必存在 个线性无关的特解为： (3)dxAxdt 1110nnnnnd xdxaa xdtdt (3)112iiintncc tc te inn阶微分方程(3)的通解中含有 项阶微分方程(3)的通解中含有 项8(3) 矩阵矩阵A有复特征值有复特

7、征值类似于方程组的情形，先求出方程组类似于方程组的情形，先求出方程组(3)的复的基本的复的基本解组，再用复值解的实部和虚部代替复基本解组中解组，再用复值解的实部和虚部代替复基本解组中对应的共轭复值解。对应的共轭复值解。以下对各种类型特征根在通解中所对应以下对各种类型特征根在通解中所对应的项列表如下的项列表如下综合综合(1)(3), n次代数方程次代数方程（特征方程）在复（特征方程）在复数范围内数范围内有有n个根个根, 而特征方程的每一个根都而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项对应着通解中的一项,它们是线性无关的，其它们是线性无关的，其线性组合即为齐次线性微分方程的通解线性组合即为齐次线性微

8、分方程的通解.9特征方程的根特征方程的根微分方程通解的对应项微分方程通解的对应项一个单实根一个单实根对应一项对应一项一个一个k阶重根阶重根对应对应k项项一对单复根一对单复根对应两项对应两项一对一对k阶复根阶复根对应对应2k项项iitce112tkkecc tc t12cossintectct111121121222cos sintkkkkecc tc ttcc tc tt各种类型特征根在通解中所对应项列表各种类型特征根在通解中所对应项列表101110nnnnnd xdxaa xdtdt (3)1110(3):nnnnnd xdxaa xdtdt 求的通解求的通解的步骤如下的步骤如下121211

9、2121.(3):0(4)2.(2),)3.,nnnnnnnaaaa 写出的特征方程写出的特征方程求出的特征根（，求出的特征根（，根据特征根的情况 写出对应特征根的根据特征根的情况 写出对应特征根的线性无关的特解，线性无关的特解， 再作这些特解的线性组合即得通解。再作这些特解的线性组合即得通解。11例例1 1解解43222)250,(25)0i 即即123,4244 5)0122iii 1234):( )()(cos2sin2 )tiiix tcc te ctct通解通解(4)2 5 0 xxx求通解求通解125432)2210i 特特征征方方程程为为例例2 2解解424222 (1)2(1)

10、(1)0(21)(1)0(1) (1)0 即即即即1234)()()cos()siniiiiycc xxcc xx 二二重重共共轭轭复复根根xecxxccxxccy 54321sin)(cos)(: 通通解解(5)(4)(3)22 0yyyyyy求的通解求的通解)1, (),(),iiii 二重二重二重二重51xyc e 13121121212121,212)()(cossin)ttttixc ec eiixcc t eiiiiyectct :求其通解的步骤如下求其通解的步骤如下212121.(5):0(6)2.(6),3.,aa 写出的特征方程写出的特征方程求出的特征根求出的特征根根据特征根

11、的情况 通解分为三种情况根据特征根的情况 通解分为三种情况120(5)xa xa x 特别，对特别，对14例例3 3 2 30 xxx求微分方程的通解求微分方程的通解的的通通解解求求0222 yyy例例4 4例例5 5的的通通解解求求方方程程032 yyy15例例3 32):230i 特特征征方方程程解解12)1,3ii 312)ttiiixc ec e 通解：通解： 2 30 xxx求微分方程的通解求微分方程的通解16的的通通解解求求0222 yyy例例4 4解解2):2 220i 特特征征方方程程12)2ii 212):()xiiiycc x e 通解通解17例例5 5解解的的通通解解求求

12、方方程程032 yyy1,22412)122iii 2):230i 特特征征方方程程xexcxcyiii )2sin2cos(:)21通通解解182、常系数常系数非非齐次线性微分方程的求解齐次线性微分方程的求解(1)123,:,:,:.:nnxx xxxxxx ( ) (7)dxAxf tdt 121010000100001nnnAaaaa (3)dxAxdt 111( )nnnnnd xdxaa xf tdtdt (7)1110nnnnnd xdxaa xdtdt (3)000( )ff t 12( )( )( )( )nxtxtx txt 19111( )nnnnnd xdxaa xf t

13、dtdt (7)利用高阶方程与一阶方程组的关系，利用高阶方程与一阶方程组的关系，(7)的求解可归的求解可归之之为方程组为方程组(7)的求解的求解:Step1 求求1110nnnnnd xdxaa xdtdt (3)12( ),( ),( )nx tx txt的基本解组的基本解组 (3)dxAxdt 为为的基解矩阵的基解矩阵1212(1)(1)(1)12( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnx tx txtxtxtxtX txtxtxt Step2 求导得求导得( ) (7)dxAxf tdt 20Step30 x t 满满足足初初始始条条件件 ( )=( )=

14、 的的解解0( )( )() ( )ttx tX t CX tfd （按第（按第7.3节公式计算（节公式计算（7）通解：）通解：00( )()() ( ).ttx tX ttXtfd ( )( ) (0)dxX tA t xXEdt 其中是满足条件的基解矩阵。其中是满足条件的基解矩阵。( )1x t 取的第 个元素，即为方程（7）的一个特解.取的第 个元素，即为方程（7）的一个特解.问题问题:这个过程太繁琐！这个过程太繁琐！对方程（对方程（7）的一些常见类型介）的一些常见类型介绍求其特解的绍求其特解的待定系数法待定系数法111( )nnnnnd xdxaa xf tdtdt (7)( ) (7

15、)dxAxf tdt 以下仅以二阶以下仅以二阶方程为例！方程为例！21二阶常系数二阶常系数非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程12( )(7)xa xa xf t01( )( )xf tt e 型型0( )( )cos( ) n2sittf tettett 或或型型讨论讨论（7）的一个特解求法）的一个特解求法.1011( )(0)mmmmtb tb tbtbm 次多项式次多项式其中其中,. 为常数为常数)(法法不不用用积积分分而而用用代代数数的的方方*:x待定系数法求待定系数法求方法方法22)( )( )atiiia f tt e实数实数(2)0形式的特形形式的特形： ) ( )1( )cos

16、sinitf ttt ，或或)0,( )( )iif tt(1):形式的特形形式的特形)0( )( )if tt)( )1( )tiitf te ()( )( )itiif tvt e 1011( )(0)mmmmtb tb tbtbm 次多项式次多项式23( )( )tf tet 0 01 1型型12( )(7)xa xa xf t1011( )(0)mmmmtb tb tbtbm 次多项式次多项式设设*()(txZ t eA Z(t)为待定多项式为待定多项式( )?Z t那么次数应是几呢 系数应怎样确定。那么次数应是几呢 系数应怎样确定。2412( )(7)xa xa xf t令令( )

17、( )(7):tACe 将代入方程约去得将代入方程约去得*( )( )txZ t eA *()( )( )( )txeZ tZtB *2()( )2( )( )( )txeZ tZtQtC ( )(6)i 若若 不不是是的的特特征征根根*( )txZ t e 2112( )(2)( )() (8)( )Zta ZxaaZ tt （ ）（ ）2120aa1011( )mmmmZ tB tB tBtB 01(,)mB BB待定系数待定系数21206aa（ ）（ ）25令令212)(6),0aiai （若若 是是方方程程的的特特征征单单即即根根1( )(220,(8)( )( )Zta Ztxp 而

18、方程而方程( )txZ t e 2121,0, 2()(06)aaiiia 必必有有若若 是是方方程程的的特特征征重重根根(8)( )Ztt 方程方程( )txZ t e 1011( )()mmmmZ tt B tB tBtB 令令21011( )()mmmmZ ttB tB tBtB 2112( )(2)( )() (8)( )Zta ZxaaZ tt （ ）（ ）26其中其中12,( )txa xa xt e 综上所述 方程综上所述 方程具有如下形式的解：具有如下形式的解：*( )ktmxt Zt e 012 不是特征根不是特征根是特征单根是特征单根是特征重根是特征重根k ( )()( )

19、mZtt 系数待定 与同次的多项式系数待定 与同次的多项式1011( )mmmmmZtB tB tBtB 27例例1解解2( )( ),0, ( )1tf tt ett 是型是型21,210,0i 特征方程特征根，特征方程特征根，0而不是特征根而不是特征根102xBB t 2210()xBB tB t 令令02,xB 代代入入所所给给方方程程得得，21xt 221200(12)BB tB tBt2*1xxtx求的一个特解求的一个特解102011BBB 28例例2解解( )( )( )2tf tt ett 是是2123201,2() 特征方程特征方程特征根单根特征根单根1220()( )ttt

20、BB t etxZe 设设100(2),2(8)ZBB tZB代代入入1( )(1)2Z ttt2 3 2txxxte求的通解求的通解0100102(2 2( 3)(2)2(2)BBB ttBBB tt 化化简简得得，01001120:2211BBBBB 比比较较系系数数*2(1)2ttxte2112( )(2)( )() (8)( )Zta ZxaaZ tt （ ）（ ）29212:ttYc ec e齐次方程的通解为齐次方程的通解为*2(1)2ttxte特解为特解为2212:(1)2ttttxc ec ete故原方程通解为故原方程通解为30例例3解解( )( )( )41tf tt ett

21、是型是型22101()特征方程特征方程特征根二重特征根二重r 2210()( )ttxetZ t etBB 设设 2 4txxxte求求2101010( )23( )26,(8)( )4, 264ZttBt BZtBtBZttBtBt 代代入入得得，即即102064BB 即即*223txtte3122()3ttycc t et e:故通解故通解2112( )(2)( )() (8)( )Zta ZxaaZ tt （ ）（ ）10023BB 31( )(1)11( )nntnnxa xaxat e 推广推广：方程：方程具有如下形式的特解：具有如下形式的特解：*( )ktxt Z t e 1011

22、( )mmmmZ tB tB tBtB (1) 不是特征根,k=0不是特征根,k=0(2)k 是 重特征根是 重特征根1011( )()kmmmmZ ttB tB tBtB 01(,)mB BB待定系数待定系数3232232233.td xd xdxedtdtdt32230,其特征方程其特征方程特征方程的根为特征方程的根为1230,1,3. 所以齐次方程的通解为所以齐次方程的通解为3123.ttYCC eC e 设特解为设特解为2,txbe 代入原方程，得代入原方程，得.21 b所给方程的通解为所给方程的通解为321231.2tttyCC eC ee 21,2txe 即即例例4 4解解33o2

23、 ( )( )cos( )( )sinttf tt etf tt et或或1011( )mmmmtb tb tbtb 其中 其中 cossinitttetete 和分别为的实部和虚部和分别为的实部和虚部2211( ),( )*( )( )cos( )s n)i(ktZ tZtxtt eZ ttZttt 令 令 其中为与同阶的待定多项式其中为与同阶的待定多项式ik 是特征方程的 阶重根是特征方程的 阶重根0ik（若不是特征方程的根，则取）.（若不是特征方程的根，则取）.34 f t 的类型的类型 mt 次次多多项项式式 tt e cossinttt evtt evt 或或 *xt使用待定系数法应

24、设置的待解的形式使用待定系数法应设置的待解的形式 *xZ t 0 0不是特征根与 同次数的多项式不是特征根与 同次数的多项式k0 0是 重特征根是 重特征根 *kxt Z t 不是特征根不是特征根 *txZ t e iv 不是特征根不是特征根 *cossintxeZ tvtZ tvt k 是 重特征根是 重特征根 *ktxt Z t e 2ivknk 是 重特征根是 重特征根1 1 *1212cossinktxt eZtvtZtvtZZ 与均为与 同次数的多项式与均为与 同次数的多项式 *( )f txt针对自由项的常见类型设置特解形式列表针对自由项的常见类型设置特解形式列表3532costx

25、xxet 的的一一个个特特解解121,2 特特 征征 方方 程程 的的 根根*00(cossin )txebtdt 设设例例5解解1,1, ( )1t 00000*00000 ()cos()sin()sincos 22sin()cos xtedbtdbtdbtdbttetxdb 代入原方程代入原方程0000*0000cossinsincoco()()ssisnttxedebtdtbtdbdtbtt 3600000000 2cos2sin 3()cos()sin 2(cossin )costtttedtbtedbtdbtebtdtet 21,21, 12000 dbb*11(cossin )22txett 00000000 23()22cossinco(2s)ddbbbdbtdtt00000000000023()21. .,21)20(0ddbbdbi ebdbbdb374 sinx