大学数学：补充_3（2） 直线方程

1、第三节第三节一、平面方程平面方程二、两平面的相互关系二、两平面的相互关系三、点到平面的距离三、点到平面的距离空间的平面与直线空间的平面与直线 四、空间直线的方程四、空间直线的方程 五、两直线、直线与平面的夹角五、两直线、直线与平面的夹角六六 平面束平面束八、八、两直线共面的条件，异面直线的距离两直线共面的条件，异面直线的距离七、点到直线的距离七、点到直线的距离四、空间直线的方程四、空间直线的方程xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程因此其一般式方程1 1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，直线可视为两平面交线，( (不唯一不唯一) ),(

2、0000zyxM2. 对称式方程对称式方程故有故有说明说明: 某些分母为零时某些分母为零时, 其分子也理解为零其分子也理解为零.mxx000 xxyy 设直线上的动点为设直线上的动点为 则则),(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为也称为点向式方程点向式方程)直线方程为直线方程为s已知直线上一点已知直线上一点),(0000zyxM( , , )M x y z例如例如, 当当0,0,mnp时时和它的方向向量和它的方向向量 , ),(pnms sMM/03. 参数式方程参数式方程设设得参数式方程得参数式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy

3、0tpzz0例例1 1. .用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线解解: :先在直线上找一点先在直线上找一点. .102340 xyzxyz 236yzyz 再求直线的方向向量再求直线的方向向量0 ,2yz 令令 x = 1, 解方程组解方程组, ,得得交已知直线的两平面的法向量为交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点是直线上一点 .( 1 , 0 ,2 ) 故故.s1(1 , 1, 1) ,n 2(2 ,1 , 3)n 12sn, sn12snn故所给直线的对称式方程为故所给直线的对称式方程为参数式方程为参数式方程为14 23xtytzt t14x 1y 23z 解题思路解题思路

4、: 先找直线上一点先找直线上一点; ;再找直线的方向向量再找直线的方向向量. .(4 ,1 ,3)12snn312111kji2L1L1. 两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角则两直线夹角 满足满足21, LL设直线设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角两直线的夹角指其方向向量间的夹角( (通常取通常取锐角锐角) )的方向向量分别为的方向向量分别为121212m mn np p222111mnp222222mnp),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s五、两直线、直线与平面的夹角五、两直线、直线与平面的夹角特别有特别有:12( 1) LL 21/)2

5、(LL1212120m mn np p111222mnpmnp21ss 21/ss(3) 重合：重合：111222:mnpmnp 212121():():()xxyyzz11111112222222:xxyyzzLmnpxxyyzzLmnp例例2. . 求以下两直线的夹角求以下两直线的夹角解解: 直线直线直线直线二直线夹角二直线夹角 的余弦为的余弦为113:141xyzL 220:20 xyLxz cos22 从而从而4 的方向向量为的方向向量为1L的方向向量为的方向向量为2L(2 ,2 ,1) 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112

6、kjis 当直线与平面垂直时当直线与平面垂直时, ,规定其夹角规定其夹角线所夹线所夹锐锐角角 称为直线与平面间的夹角称为直线与平面间的夹角; ;L2. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时当直线与平面不垂直时, ,设直线设直线 L 的方向向量为的方向向量为 平面平面 的法向量为的法向量为则直线与平面夹角则直线与平面夹角 满足满足.2222222AmBnCpmnpABC 直线和它在平面上的投影直直线和它在平面上的投影直(, , )sm n p ( ,)nA B C ),cos(sinnsnsns snAm+Bn+Cp0；L的方向矢量为的方向矢量为, , sm n p 的法矢量为的

7、法矢量为 ,nA B C (1) L与与 垂直垂直A/m=B/n=C/p； ,nA B C (2) L与与 平行平行Am+Bn+Cp0，Ax0 + By0 + Cz0 + D0； ,nA B C (3)直线在平面上直线在平面上Am+Bn+Cp0，Ax0 + By0 + Cz0 + D=0； ,nA B C s 000:,xxyyzzLmnp:0,AxByCzD 特别有特别有: :s s 解解: : 取已知平面的法向量取已知平面的法向量124xyz则直线的对称式方程为则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程直的直线方程. . 为所求直线的方向向量为所求直线的方向向量. . 132垂垂 )

8、1,3,2(nn例例3. 求过点求过点(1,2 , 4) 且与平面且与平面1. 空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000222(0)mnp 内容小结内容小结 ,1111111pzznyymxxL：直线直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2. 线与线的关系线与线的关系直线直线夹角公式夹角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121cosssss , 0DzCyBxACpBnAm平

9、面平面 :L L / 夹角公式：夹角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx3. 面与线间的关系面与线间的关系直线直线 L :),(CBAn ),(pnms 0 ns0nsnsns L六、平面束六、平面束 过直线过直线111122220:0A xB yC zDLA xB yC zD 的平面束的平面束1111()A xB yC zD2222()0A xB yC zD方程方程 12,0 不不全全为为1 2 例例4. 求过直线求过直线L:0405zxzyxzyx84 且与平面且与平面4夹成夹成角的平面方程角的平面方程.解解过直线过直线 L 的平面束方程的平面束方程04)1 (5)1 (zyx其

10、法向量为其法向量为已知平面的法向量为已知平面的法向量为选择选择使使43. 012720zyx从而得所求平面方程从而得所求平面方程n1n4012 114cosnnnn.1,5,11nL8,4, 1n例例5. 求直线求直线0101zyxzyx在平面在平面上的投影直线方程上的投影直线方程.解解 过已知直线的平面束方程过已知直线的平面束方程从中从中选择选择01)1(1)1 (1)1 (得得001zyxzy这是投影平面这是投影平面0)1()1()1 ()1 (zyx0) 1(1zyxzyx即即0zyx使其与已知平面垂直：使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程从而得投影直线方程, 1 kji),(0000

11、zyxM到直线到直线的距离的距离111:xxyyzzLmnp为为 点点2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML七、点到直线的距离七、点到直线的距离例例6 求点求点M（1，-1，0）到直线）到直线的距离的距离.解解所以所以0sMMds 2s 0101012ijksMM 1, 2, 1 632d 12101xyz 八、八、两直线共面的条件，异面直线的距离两直线共面的条件，异面直线的距离 1 1 空间两直线的相关位置空间两直线的相关位置11111112222222:xxyyzzlmnpxxyyzzlmnp设设空间两

12、直线空间两直线l1与与l2的相关位置有的相关位置有1s 2s 2l1lM1M2,(),iiiiiiiiiMx y zlsm n p (1,2)i 11112222,M Mxx yy zz 异面异面共面共面相交、平行和重合相交、平行和重合l1与与l2异面异面l1与与l2共面共面当且仅当三矢量当且仅当三矢量 不共面不共面1212,M Ms s 当且仅当三矢量当且仅当三矢量 共面共面1212,M Ms s 定理定理 空间直线空间直线l1与与l2的相关位置的充要条件为的相关位置的充要条件为(1) 异面：异面：0 (2) 共面：共面：0, 2121211112220 xxyyzzmnpmnp 其中其中0

13、l 2. 2. 二异面直线间的距离二异面直线间的距离 定义定义 空间两直线上的点之间的最短距离叫做空间两直线上的点之间的最短距离叫做这这 两条直线之间的距离两条直线之间的距离.显然显然,两相交或重合的直线间的两相交或重合的直线间的距离等于零；距离等于零；1s 2s 2l1lM1M2N2N1d与两条异面直线都垂直相交的直线叫做与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两异面两异面直线的公垂线直线的公垂线.两平行直线间的距离等于其中两平行直线间的距离等于其中一直线的任一点到另一直线的一直线的任一点到另一直线的距离（距离（点到直线的距离点到直线的距离)12dN N 11111112222222:pnpxxy

14、yzzLmnxxyyzzLm设设,iiiism n p 012sss012lM M 投投影影012sM M 投投影影1212ssM M 投投影影121212()M Mssss 212121111222222111111222222xxyyzzmnpmnpnppmmnnppmmn 0l1s 2s 2L1LM1M2N2N10s 0l2L1LM1M20s 2s 1s 012sss12110220nssnss(,)iiiiM Mxx yy zz 111222:0:0M M nM M n 两异面直线的公垂线两异面直线的公垂线l 0方程方程两异面直线的公垂线方程两异面直线的公垂线方程11102220:()0:()0M MssM Mss 或或0l1s 2s 2L1LM1M2N2N1例例 7 已知两直线已知两直线试证明两直线试证明两直线 与与 为异面直线，并求为异面直线，并求 与与 间的间的距离与它们的公垂线方程。距离与它们的公垂线方程。1l1l2l2l解解 因为直线因为直线 过点过点M1（0，0，-1），方向矢），方向矢量为量为 ，而直线，而直线 过点过点M2（1，1，1）,1,(11 0)s 2l1l方向矢量为方向矢量为 ，从而有，从而有2,(1 1 0)s 1212(,)M Mss 11211 040110所以所以 与与 为两异面直线。为两异面直线。1l2l121111:,:,1