平面与平面的位置关系

1、平面与平面的位置关系【要点】一平面与平面的位置关系两平面平行：平面与平面没有交点；两平面相交：平面和平面有一条公共直线。二两平面平行1两平面平行的判定： 1如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行线线平 行，那么线面平行 。2垂直直于同一直线的两平面平行。3平行于同一平面的两平面平行。2两平面平行的性质1两平行平面被第三个平面所截，那么交线互相平行。 2直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个。 3过平面外一点，有且只有一个平面与之平行。4两平面平行，那么在其中一个平面内的所有直线必平行于另一个平面。 5两平行平面中的一个垂直于一个平面，那么另一个也垂直于这个平面

2、。 三两平面垂直1两平面垂直的定义：如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互 相垂直。2平面与平面垂直的判定： 1如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 2一平面垂直于两平行平面中的一个，那么必垂直于另一个。3平面和平面垂直的性质： 1两平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。 2过一平面内一点而垂直于另一平面的直线必在这一平面3两相交平面同时垂直于第三个平面，那么交线垂直于第三个平面。3过不垂直于平面的一条直线有且只有一个平面与平面垂直。【复习要求】 平面与平面的位置关系两个平面的位置关系只有平行没有公共点和相交有一条公

3、共直线两种情况。1两个平面平行的判定和性质定理。2两个平面垂直的判定和性质定理。3二面角和二面角的平面角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角。这就是说，顶点在棱上，也分别在两个半面内， 边与棱垂直是构成二面角的平面角的三 个条件。求二面角的平面角的大小步骤：首先，根据定义或其它方法做出二面角的平面角，要注意理论依据，不能凭印象或直观。然后作出含有该角的三角形，利用有关知识计算出来。【例 题】一.两平面平行例1 .P, Q , M分别是45°的二面角a l -3的面a

4、,3和棱 丨上的点，直线 MQ是直线PQ在3上的射影，假设 PQ和3成 角，I和MQ成B角，PM=a，求PQ的长。解：作PH丄3于0,T MQ是PQ在3上的射影，/3P H在MQ上。作 HN丄I于N，并连接PN ,那么由三垂线定理可知 PN丄I, / PNH是二面角a- I 3的平面角，即/ PNH=45 ° .设 PQ=x，贝U NH=PH= xsin , PN . 2xsinMN=NHctg 0 =xsin ctg 0 .在 Rt PMN 中，T PM2=PN2+ MN2,2 2x2sin2(2 ctg2 )。故 PQ xasin , 2 ctg2例2.P是棱长为a的正方体ABC

5、D - A1B1C1D1的棱AD上的动点。1 画出过点B, P, D1的截面，判断截面的形状，并证明你的结论；2求截面面积的最小值，并证明你的结论。解：(1)平行四边形;1 (2) S 2S BQDi ( BD1 QH ) 2 3a QH(Q为截面与BiCi的交点，QH丄BDi于H),只需求QH的最小值，即BC到面BiCiDA的距离为 a，26- Smin-a2.此时Q为BiCi中点，而P为AD中点。2例3.在棱长为a的正方体 ABCD AiBiCiDi中,(1) 求证：截面 BDCi/截面ABiDi ;(2) 求截面BDCi与截面ABiDi间的距离。解：证明略(2)3 a。用体积法证。3DA

6、B例4 .平面a/平面B, O为a,3外一点，三条射线 OA, OB, OC分别交a于BiCi=c,求 BC 的长。解：(i )由a/B得AiBi / AB, BiCi / BC, AiCi / AC,Ai Bi OBi是AB OBBi CiAi CiBC AC A AiBiCisA ABC;(2)aca b点 Ai, Bi, Ci,交B于点 A, B, C. (i)求证： ABCA AiBiCi; (2 )假设 OA=a, AAi = b,例5.在正方体ABCD AiBiCiDi中，根据给出的条件，分别画出有关的图形:(i )过B, Ai, Ci三点的截面；(2) 过Bi, A, C三点的截

7、面；(3) 上述两截面的交线。解：(3)设 BAi 交 ABi 于 M, BCi 交 CBi 于 N,那么直线MN即所求作的交线。例6 正方体ABCD AiBiGDi中，E、F分别是AAi,CCi的中点。，(1)求证：平面EBD/平面FBD, (2)假设正方体棱长为 a，求平面EB1D与平面FBD间的距离。解：取BBi中点G,连EG、GCi , ABCD AiBiCiDi是正方体，二 EGCi Di是平行形,二GCi / EDi，又GBFCi也是平地四边形，二 GCi / BF,. EDi / BFi，又 Bi Di / BD,OiBiMGDO取 BD中点 O , Bi Di中点Oi，作OMO

8、iE 于 M，由 Bi Di平面A ACCi得平面 EBiDi /平面 FBD。BiDi OM, OM 平面 EBD即OM是平行平面EBi Di与FBD间的距离。 tgZ AOiE22I'2- ctgZ EOiO,sin 2EOiO例7.平面 /平面,AB、CD为夹在间的异面线段，E、F分别为AB、CD证明2 :连AD取AD中点G ,的中点，求证：(i) EF/; EF/证明i:连AF并延长交B于M，因为AC/ DM可得AF=MF ,所以 EF/ BM , BM B,所以 EF/ ，同理 EF /连 EG、FG 贝U EG / BD、FG / AC EF /、FG /a而a/, EF

9、/面 EFG /, EF / 同理 EF /例8：两条异面直线a b分别与三个平行平面a、r相交于点A、B、C和P、Q、R,又AR、CP与平面B相交于点 M、N，求证:平行四边形。证：因为面 APC和a、B的交线 AP / BN。同理 MQ / AP,. BN / MQ同理可证：BM / NQ故MBNQ为平行四边形例9在长方体 ACi中， AB=BC=a, BBi=b (b>a)连结 BG，过Bi作BiE BG 交CC1于E，交BC1于Q。求证：(i) ACi 平 面EBiDi ; (2)求点Ci到平面BiEDi的距离。解：(1 )连 A1C1CC1 平面 ABiGU ,而 ABCiDi

10、 为正方形，ACi Bi Di。同理 ACi BiEACi 平面 EBiD(2) BCi “a2 b2, BiQ BCi, 2.BiCi2 寸a2 b2 CiQ a _.a2 b2同理BQb2.a2 b2/Ci E /BiB BBiQ s CiEQ，二 CiQBBi, CiQBQVCi Bi Di E VE BiCiDia26b，设Ci到平面EBiDi的距离为h,那么 VG EBi Dii3心 EBiDa4a22ab $ EBiDi 2b '2ab2a2"h .2a2 b2例iO.如图：AB、BC、CD为首尾相接的不共面的三条线段,R,Qi,P2,Q2,P3,Q3 分别为 A

11、B、BC、CD 的三等分点,求证：(i)平面 RP2P3 /平面 QiQ2Q3 , (2)证：(i)由中位线定理可得：P P2/ QiQ2，且Pi P2QiQ2F2F3 / Q2Q3，且 P2P3 Q2Q3面 P| P2 P3 / 面 Qi Q2Q3(2)由等角定理得：/RP2F3与/ QiQ2Q3相等或互补,由(i)得：RP2 P2P3 = QiQ2 Q2Q3例11.如图：平面a/平面B线段AB分别交a、B 于 M、N , AM=m , BN=n ,MN=p , FMC的面积为5,求厶END的面积。解：Ta/B平面 AND分别交a、B于 MC、MD , MC / MD。同理，MF / NF,

12、于是 Sin/ FMC=Sin / END ,ND m p EN nMC m ， FM n p，1由竺D尹心“ ENDS FMC -FM,MC,Sin FMC2得: SendUDSFMC 亠叵卫FM MCn p m(n p)m例12. ABCD是矩形，四个顶点在平面上的射形分别为 A、B、C、D ,直线A B与C D不重合。求证：ABCD是平行四边形；在怎样的条件下,ABC D也是矩形?并证明你的结论？解： BBCC 平面CC D DBB / CC D D 又ABCD是矩形 CC D D AB / 平面 CC D D AB / CDCCBB从而为 ABB A /平面 CC D D AB / C

13、 D同理BC / A D，因此ABCD为平行四边形设 AB=m BC=nAA =a BB =b CC =c不失-般性设a > b > c在直角梯形BBCC 中，BC 2= n2(b c)2同样地AB 2=m2(ab)2、AC = m2 n2 (a b)2当 ABCD为矩形时 / ABC =90° ,AC2= AB 2于是 m2 n2 (a c)2m2 (a b)2 n2 (b c)2(a b)(b c) 0同理当b=c时，BC/ a=b 或 b=c当 a=b 时，ABBA 是矩形，AB / AB AB /F面再证当AB / 或BC /时，ABCD为矩形,当AB / 时，A

14、BBA是矩形，AB BBA B / AB AB丄 BC A B BC 于是A B丄平面 BBC C，因此 A B B C ABCD是矩形。因此当矩形 ABCD的一边平行 或在 内时，射影ABCD是矩形。ABCD的底面是边长为a的正方形,PB例13、(2002年全国文19)四棱锥P 面 ABCD。(I)假设面PAD与面ABCD所成的二面角为60，求这个四棱锥的体积;(H)证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于 90。解：(I)： PB 面 ABCD BA是PA在面ABCD上的射影 又 DA AB , PA DA/ PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，/ P

15、AB 60而PB是四棱锥PABCD 的高，PB AB tan 60-.3 a V锥一"vSa a2- 3 3 a33(H)证明：不管棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形,作AE丄DP，垂足为E ,连结EC，那么"ADE也"CDE , AE EC，/ CED 90，故/ CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角。设AC与DB相交于点0，连结EO，那么EO丄AC ,2a OA AE AD a2在"AEC 中，cos AEC Al EC (2 0A)2 AE EC(AE 、2OA)(AE 2OA) 0AE所以，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90 。例14、(2002年全国理18)如图，正方形 ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M 在AC上移动，点N在BF上移动，假设CM BN a (0 a : 2)。(I)求MN的长；(n)当a为何值时，MN的长最小；(川)当MN长最小时，求面 MNA与面MNB所成的二面角的大小。作MP / AB交BC于点P , NQ / AB交BE于点Q，连结PQ ,依题意可T得MP / MNPQ由CMBN ACBF2又CP1a2，BQ1