8,多元函数的微分学7

1、 哈尔滨工程大学 微积分微积分教学内容和基本要求教学内容和基本要求 理解多元函数的极限与连续概念理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上以及有界闭区域上 连续函数的性质。连续函数的性质。理解偏导数和全微分的概念理解偏导数和全微分的概念, 了解全微分存在的必了解全微分存在的必要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。求法。会求隐函数的偏导数和全导数。了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的了解曲线的切线和法平面及曲面的切

2、平面和法线的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。解一些简单应用题。重点与难点重点与难点重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概 念，多元复合函数的求导法则，用拉格念，多元复合函数的求导法则，用拉格 朗日条件极值求最大值应用问题，方向朗日条件极值求最大值应用问题，方向 导数与梯度。导数与梯度。难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。 哈尔滨工程大学 微积

3、分微积分引射线引射线内有定义，自点内有定义，自点的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数lppuyxpyxfz00000)( ),( ),( ).(),(,0puplyyxxplx 上上的的另另一一点点且且为为并并设设为为的的转转角角轴轴正正向向到到射射线线设设 . ),( 0的变化率问题的变化率问题沿某一方向沿某一方向在一点在一点讨论函数讨论函数pyxfz 8.7 方向导数和梯度方向导数和梯度oyx lpy 0p |0pp,)()(22yx x ),(),(yxfyyxxfz 且且 哈尔滨工程大学 微积分微积分.),(),(lim : . )()( , ),(),( 002200000 yx

4、fyyxxflflpplpyxppyxfyyxxf 记为记为的方向导数的方向导数方向方向沿沿个极限为函数在点个极限为函数在点时，极限存在，则称这时，极限存在，则称这趋于趋于沿着沿着之比值，当之比值，当两点间距离两点间距离与与函数的增量函数的增量定义定义1oyx lpy 0p ),(),(lim0 是否存在？是否存在？ yxfyyxxf ,lim 0 z 考虑考虑x 时，时，趋于趋于沿着沿着当当 0plp一、方向导数的定义一、方向导数的定义 哈尔滨工程大学 微积分微积分定义定义2.设函数设函数z f(x, y)在点在点p0(x0 y0)的某一邻域的某一邻域u(p0)内有定义内有定义 l是是xoy

5、平面上以平面上以p0(x0 y0)为始点的一条为始点的一条射线射线 与与l同方向的单位向量为同方向的单位向量为el (cos cos ) 为函数为函数),(yxf在在 处处0p沿沿 方向的方向的方向导数方向导数.loyx lpy 0px ,cos x,cos ywhy？ 哈尔滨工程大学 微积分微积分关于定义的说明关于定义的说明1. 函数函数f(x, y)在点在点p沿沿x轴正向和负向轴正向和负向, 沿沿y轴正向和负轴正向和负向的方向导数如何向的方向导数如何? 结论结论: 沿沿x轴正向时轴正向时:xflf , 0cos, 1cos xflf , 0cos, 1cos 沿沿x轴负向时轴负向时:yfl

6、f , 1cos, 0cos 沿沿y轴负向时轴负向时:yflf , 1cos, 0cos 沿沿y轴正向时轴正向时: 哈尔滨工程大学 微积分微积分 如果函数如果函数z f(x, y)在点在点p0(x0 y0)可微分可微分, 那么函那么函数在该点沿任一方向数在该点沿任一方向l (el (cos cos )的方向导数的方向导数都存在都存在, 且有且有:v定理定理(方向导数的计算方向导数的计算) cos),(cos),(0000),(00yxfyxflfyxyx ),(),(yxfyyxxf 量可表示为量可表示为由于函数可微，则全增由于函数可微，则全增，得到，得到两边同除以两边同除以 证明证明),(

7、oyyfxxf 哈尔滨工程大学 微积分微积分 cos cos )(oyyfxxf ),(),(yxfyyxxf ),(),(lim0yxfyyxxf .coscos yfxf lf所以所以oyx lpy 0p 哈尔滨工程大学 微积分微积分,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 的方向导数，可定义为的方向导数，可定义为沿着方向沿着方向，它在空间一点，它在空间一点对于三元函数对于三元函数 ),( ),( lzyxpzyxfu ). )()()(222zyx 其中其中推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义 哈尔滨工程大学 微积分微积分.coscoscos zfyfx

8、flf ,cos x,cos y,cos z有有的方向导数都存在，且的方向导数都存在，且任意方向任意方向那么函数在该点沿那么函数在该点沿当函数在此点可微时，当函数在此点可微时， l , 方向的方向角为方向的方向角为设设 l 哈尔滨工程大学 微积分微积分解解, 1e)0, 1(2)0, 1( yxz, 2e2)0, 1(2)0, 1( yxyz212211 lz.22 , 1, 1 pql 即即为为这这里里方方向向;21cos ,21cos 哈尔滨工程大学 微积分微积分解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 ,1(yxfflf ,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1(

9、xyyx sincos),4sin(2 哈尔滨工程大学 微积分微积分 哈尔滨工程大学 微积分微积分解解令令, 632),(222 zyxzyxf, 44 ppxxf, 66 ppyyf, 22 ppzzf zyxfffn, ,2, 6, 4 ,142264222 n 哈尔滨工程大学 微积分微积分,142cos ,143cos .141cos ppyxzxxu22866 ;146 ppyxzyyu22868 ;148 ppzyxzu22286 .14 ppzuyuxunu)coscoscos( .711 哈尔滨工程大学 微积分微积分1 等值面和等值线等值面和等值线 使函数使函数f (x,y,z)

10、值等于常数值等于常数c 的点的全体组成的曲面的点的全体组成的曲面, 称为函数称为函数u= f(x,y,z) 的的等值面等值面, 它的方程是它的方程是 f(x,y,z)=c . 当当 c 取不同数值时就得到一系列等值面取不同数值时就得到一系列等值面, 称为称为等值等值面族面族，如，如 气象学中的等温面、等压面气象学中的等温面、等压面 等值面等值面 f(x,y,z)=c 上任一点上任一点 p(x,y,z)处的法向量为处的法向量为 .,zyxfffzfyfxf或或 三、梯度的概念三、梯度的概念 哈尔滨工程大学 微积分微积分图图形形及及其其等等高高线线图图形形函函数数xyzsin 使函数使函数 u=f

11、(x,y) 等于等于c 的全体点组成的曲线称的全体点组成的曲线称为此函数的为此函数的等值线等值线, 它的方程是它的方程是 f(x,y)=c, c 取不同数值时得到的一取不同数值时得到的一系列等值线称为系列等值线称为等值线族等值线族. 哈尔滨工程大学 微积分微积分方向导数公式方向导数公式 coscoscoszfyfxflf 令向量令向量这说明这说明方向方向：f 变化率最大的方向变化率最大的方向模模 : f 的最大变化率之值的最大变化率之值方向导数取最大值方向导数取最大值：,fffgxyz0(cos, cos, cos )l),cos(0lgg0lglf,0方向一致时与当glglfmax:g2,方

12、向导数方向导数: 哈尔滨工程大学 微积分微积分1.定义定义grad, f即即grad f同样可定义二元函数同样可定义二元函数),(yxf),(yxpgrad,fffffijxyxy称为函数称为函数 f (p) 在点在点 p 处的梯度处的梯度zfyfxf,fffijkxyz记作记作在点在点处的梯度处的梯度 g说明说明: 函数的函数的方向导数为梯度在该方向上的投影方向导数为梯度在该方向上的投影.向量向量梯度方向的方向导数最大梯度方向的方向导数最大. 哈尔滨工程大学 微积分微积分),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面;曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图poyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等