同角三角函数的基本关系式知识讲解

1、同角三角函数基本关系【学习目标】sin w1 .借助单位圆，理斛同角二角函数的基本关系式：sin a十cos a =1,= tana ,掌握已知一个cos：角的三角函数值求其他三角函数值的方法；2 .会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2 a + cos2 a =1(2)商数关系：s1n " =tanacos:(3)倒数关系： tana cot a =1 , sin a csca =1 , cosa seoa =1要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同” ，二是对“任意”

2、 一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；22(2) sin 口是(sin 口)的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“土 ”的选取。要点二：同角三角函数基本关系式的变形1 .平方关系式的变形：22222sin a =1-cos a, cos a =1-sin a, 1 ±2sin 口 -cosa = (sins ± cosa )2.商数关系式的变形,sin 二sina =cos£ tana, cos« =。tan :【典型例题】类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例 1.已知 tana = 2,求

3、sin , cos a 的值。sin -o o【思路点拨】先利用 "tan a = -2",求出sin a = - 2cos« ,然后结合 sin a +cos 口 =1,求出cos 二sin a , cos 口。【解析】解法一：= tana = 2,. sina = - 2cosa 。又 sin2a+cos2a =1,由消去 sin"得(一2cos豆)2+cos2久=1 ,即 cos2« = 。5当二象限角时cos9代入得sin。2.55当a为第四象限角时，cosa,5，、，代入得sin a =52.5解法二：. tana= 2<0,为

4、第二或第四象限角。sin 二，又由tana =,平万得cos：. 2 一,2 sin -tan =二2 cos :_一 22 sin ;一tan ,:1 二2 cos ;121+1 =2,即 cos Ct =2。cos 二1 tan .3当a为第二象限角时,11、. 5cos = -.22 =-,1 tan = 1 (-2)5sin 二=tan "cos 上=(-2)当U为第四象限角时,cos：1 tan2 ：1 - _1_5，1 (-2)2 一 5sin 二二tan ;, '52.5cosa = (-2)父=-。55【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数

5、值，缩小角的范围。在解答过程中 如果角口所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角 «所在象限不确定，则应分类讨论，有两种 结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就a所在象限讨论。举一反三：5 【变式1】已知Ate AABC的一个内角，且tan A =-一，求sin A,cos A.4【思路点拨】根据tanA<0可得A的范围：二<A <n再结合同角三角函数的关系式求解 .25【斛析】* tan A =- <0,，A 为钝角，二 sin A a 0, cos A < 0.4.41414, 一 sin A 2.1.1由 tan A =,平万整

6、理得 cos A =2，' cos A = J2-cos A1 tan A. 1 tan Asin A = tan A cos A = ' , 41.41例 2.已知 cosot =m ( 1WmW1),求 sin a 的值。【解析】(1)当m=0时，角a的终边在y轴上，当角a的终边在y轴的正半轴上时，since =1 ；当角a的终边在y轴的负半轴上时，sina= 1。(2)当m=±1时，角ct的终边在x轴上，此时，since =0。(3)当 |m|v1 且 mw0 时，, sin a=1 cos a=1 m ,当角久为第一象限角或第二象限角时，sin = ,1-m2

7、当角a为第三象限角或第四象限角时，sin a = -Vl - m2 。【总结升华】当角a的范围不确定时，要对角的范围进行讨论，切记不要遗漏终边落在坐标轴上的情况。类型二：利用同角关系求值例3.已知：tan日+cot日=2,求：(1) sin日 cos8 的值；(2) sine+cose 的值；(3) sin日cos8的值；(4) sin日及cos日的值【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。【答案】(1) - (2) ±72 (3) 0(4)红，叵或叵，叵【解析】(1)由已知吧±+竺§=2cosi

8、 sin 1sin133 1 cos2 二 八：=2sincos i.1.sin c cos 二二一22(2) , sin【cos?-1 2sin 二 cos? -11=2.sin【cos - . 2(3) '/(sin 日 -cos日 2 =1 - 2sin c cos日=1-1=0sin -cos1 - 0isin e +cose = +无sine=Tsin T(4)由(sin cos _"2 ,解得2或2sin> cos 0.2，2cos 1 二 cos = _2.2【总结升华】 本题给出了 sin日+cos仇sin 0 cose及sin0 cos日三者之间的关系

9、， 三者知一求二，在 求解的过程中关键是利用了sin2 9 +cos2|0 =1这个隐含条件。举一反三：【变式1】已知.1求下列各式的值:【解析】 .1因为 sin a +cos汽=7 ,sin a +cosa =j=, . 2所以(sin +cos： )2一-2sin2 二 +cos2：-2sin 二 cos二所以 sin ： cos.工=2/21,1八(1)tan a +2 = I tanu + I -2tan 二tan 二22 2-sin ; cos ;1-2 =-2 = 14116(2) sin3ct + cos3a2二(sin = 卜cos_：)(sin :-sinacosu+cos

10、2a)=J/+1=%。,2.48【总结升华】对于已知sin a ± cos a =m型的问题，常有两种解法：一是两边平方，得土2sin a cosot =m2 1,联立以上两个式子解出since , cos a的值，从而使问题得以解决；二是对所求式子进行变形，化为 since ± cosot , since - cosa的形式代入求解，解题时注意正、负号的讨论与确定。例4.已知tana =3,求下列各式的值。(1)4sin 二 一cos：；3sin 工35cos： 2c.2sin : - 2sin : cos: - cos :, 、 3 . 21222; (3) -sin

11、a +cos 汽。4cos : - 3sin :42【思路点拨】由已知可以求出sina,cosa ,进而代入得解，但过程繁琐。在关于sin a ,cosa “齐次”式中可以使用“弦化切”，转化成关于tanot的式子，然后利用已知求解【解析】(1)原式的分子分母同除以cosa (cosot w 0)得,原式4tan ： 一14 3-1113tan ：5 3 3 5(2)原式的分子分母同除以14cos2a (cos2aw0)得,原式,2tan 一2tan 二- T9 -2 3-1(3)原式4 -3tan 2 ：4-3 3223用“1”来代换,3sin2： 1cos0(3, 21-tan29-22s

12、in 二 一cos 二tan2 上 1【总结升华】已知tan口的值，求关于sin a、cos«40的齐次式的值问题如(1)、题，. cos«2 s i 8二一3 si n cos 2cossMc c2 s1W0,所以可用cosna (nCN*)除之，将被求式转化为关于tanu的表示式，可整体代入 tanu =m的值，从而完成被求式的求值；在(3)题中，求形如a sin 2 t-a n 二 3 t a n21 ° a +b sin « cos« +c cos2口的值，注意将分母的 1化为1=sin2口 +cos2口代入，转化为关于tan"

13、;的表达式后再求值。举一反三：【变式 1(1)已知 tan« =3,求 sin% 3sin" cosa +1 的值;4sin2cos644(2)已知二=一，求 cos 8 sin 日 的值。5cos - 3sin -11【解析】(1) tana =3, 1=sin2a+cos2« ,222、.原式 =sin : - 3sin : cos± " (sin 工" cos ：)(2)由4sin 1-2cos 二5cos 1 3sin 二6 /曰 4tan - -26 珈/日=一，得=一,解得:115 3tan 11tan? - 2cos4

14、1- sin4 1-(cos2 r sin2 i)(cos21-sin2)2 .2 .2 .2 . 2 , cos【-sin 11 -tan11 -43=cos 1 -sin =55= 一一cos二 sin 31 tan11 45类型三：利用同角关系化简三角函数式d4 _. 4 _1 -cos - -sin 一例5.化简： 66-。1 一cos 二 一sin ;/ _2 . 一. 2 .、_4 .4 .【解析】解法原式J"；，+吗Ri0s6 Tin 6 223_ _ _ 66(cos 上 “ sin ： ) -cos : - sin ;2. 22cos 二 sin ;2. 2,2.2

15、, - ,3cos - sin - (cos 公 ，sin - )3解法二：原式4. 4 、1 - (cos 工' sin .：).，6. 6 、1 - (cos 工' sin 二：)2. 22. 21 - (cos 二"sin - ) - 2cos - sin - Z /2. 2一 、，4.27. 2一 4 一、1 一(cos 工" sin，)(cos .-cos，sin,“ sin 工)222.21 -1 2cos- sin -2cos- sin-2-2' 2 72 "2' _2 ' - T 2' _2"

16、; 二1 一(cos工"sin )-3cos- sin - 3cos- sin-3解法三：原式22、. 4(1 -cos，)(1 cos，)-sin -=Ta224 '；6(1 - cos - )(1 cos 工 “ cos - ) -sin 一22.2、sin :(1 , cos : -sin 二：)二2 :24；4 "sin 二“1 cos -i cos : -sin )22cos - "2"2；22；2 71 cos (cos Q： “ sin - )(cos 二-sin -)_2_2_2cos -2cos -2一2：2. 2 _ T 2

17、一1 °1 cos 二'cos - -sin - 3cos -3【总结升华】以上三种解法虽然思路不同，但是主要都是应用公式sin2a +cos2a =1,解法二和解法三都是顺用公式，而解法一则是逆用公式，三种解法中，解法一最为简单。这里，所谓逆用公式sin2口+cos2口 =1,实质上就是"1"的一种三角代换："1=sin2a+cos2口 ”，1的三角代换在三角函数式的 恒等变形过程中有着广泛的应用。举一反三：【变式1】化简(1),2依 kwZ；(2)(3)cos 二,1 -cos2 1(4)1 -sin2 usin 二1 sin11 -sin

18、二 ：1 sin 二【答案】(1) - 1 (2) -cos2 -sin 2（3）略（4）略【解析】（1）原式、匹三亘sin【-cos|sin0 -cosQ |1sin 二-cos?(2)原式=.cos2 2 - . sin2 2 =| cos2| - |sin2| - - cos2 - sin 2(3)原式,回3 |cos?| sin?0,（日在第一象限或第三象限）=|-2, （ e在第二象限）2,（日在第四象限）(4)原式=(1 +sin 6 21 -sin2(1 -sin B 21 -sin211 sin11 -sin 二|cos川 |cos |JiJi2 tan 二(2 k二-3二：2

19、k-)-2 tan i(2 k二二：:2k二23 二T)类型四：利用同角关系证明三角恒等式tan : sin 工 tan 一： ； sin 工例6.求证：=。tan - -sin-： tan - sin-：【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。【解析】证法-：右边Jtana+sina）（tana-sina）22tan - -sin -tan : sin ： (tan 二一sin : ) (tan 二一sin : ) tan : sin :,2,22tan 二-tan - cos -(tan : -sin =，)tan 二 sin ;.2, .2、

20、tan - (1。cos -)(tan - - sin 二)tan 二 sin ;证法二：左边22tan - sin -(tan : -sin 二)tan 二 sin ;tan : sin :-二左边。tan - - sin 二tan : sin :sin 二tan 二tan 二 cos 11 -cos ;右边=tan 二 tan 二 cos ;二1 -cos2 ;. 2 一sin -tan 二 sin :sin :sin : (1 -cos ;)sin ： (1-cos： ) 1-cos：.1 -2sin 1 cosi,'：-|2匕-sin 二-cosisin 二所以左边=右边，原等

21、式成立。证法三：左边sin :sin ;sin : cos： sin：sin 二 cos 二sin二 一sin 一: cos：sin(1 - cos：)1 cos 二sin，右边=空二sin 二sin :sin ;sin 工" sin 二 cos：1 cos二cos：所以左边=右边，原等式成立。【总结升华】本题主要考查三角恒等式的证明方法。就一般情况而言，证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便。但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形” 分解因式，回归定义等。O化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形,【变式1】求证:cosx1 sin x1 -sin xcosx【解析】证法一