专升本辅导第3讲导数与微分

1、 台州职业技术学院数学教研室 （1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法，会求反函数的导数（4）掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数（6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分 第第3讲讲 导数与微分导数与微分一、复习要求一、复习要求 台州职业技术学院数学教研室 和某个邻域内有定义，当自变量在在点( )yf x0

2、 x(1) 定义：设函数0 x取得相应的改变量( )f x00()()yf xxf x (0)x处取得改变量时，函数时，0 x yx，如果当的极限存在，即0000()()limlimxxf xxf xyxx 存在，则称此极限为函数在点处的导数，并称函数在点( )f x0 x( )f x0 x处可导0()fx000|,|,()x xx xdydyf xdxdx，或二、内容提要二、内容提要1导数概念导数概念记作 台州职业技术学院数学教研室 （2）左导数和右导数0()fx处的左导数，记作0()fx处的右导数，记作0000()()limlimxxf xxf xyxx 0 x( )f x，称之为函数若存

3、在在点( )f x( )yf x0 x0 x在点函数在点处可导的充分必要条件是处的左、右数都存在且相等 0000()()limlimxxf xxf xyxx 0 x( )f x存在 ，称之为函数在点若 台州职业技术学院数学教研室 （3）导数与导函数在一点( )f x0 x( )fx0 x函数处的导数是导函数在该点0()fx处的函数值，记作内可导，则对于该区间内每一点在区间( )f x( , )a b如果函数( )fxx，都有对应的导数值( )fxx，故是的函数，( )f x称这个函数为的导函数 台州职业技术学院数学教研室 0tan() ()2fx000()()yyfxxx（4）导数的几何意义0

4、0(,)m xy在点处切线的斜率，即( )yf x00(,)xy过曲线上点处的切线方程为处的导数( )yf x0 x( )fx( )yf x在点表示曲线函数 台州职业技术学院数学教研室 （5）利用导数的定义求导数（导函数）的步骤yxb作比值0()( )( )limxf xxf xfxx c取极限分段函数在分段点的导数的求法是：用导数定义求出分段点的左、右导数后确定 00()()yf xxf x a求增量（6）可导与连续的关系( )f x0 x0 x在点处可导，则它在点若函数处必连续；0 x若函数在点处连续，但在该点未必可导即函数连续是可导的必要条件 台州职业技术学院数学教研室 2.导数的基本公

5、式与运算法则导数的基本公式与运算法则0c1()xx 1(log) (0,1)lnaxaaxa 1(ln )xx ()ln (0,1)xxaaaaa ()xxee(sin )cos , (cos )sinxxxx 221(tan )seccosxxx 221(cot )cscsinxxx (sec )sec tan , (csc )csc cotxxxxxx 21(arcsin ) ( 11)1xxx 21(arccos ) ( 11)1xxx 2211(arctan ) , (arccot )11xxxx （c为常数）（为任意实数）特例：特例：（1）基本导数公式 台州职业技术学院数学教研室 （

6、2）导数的四则运算法则()uvu vuvb( )( )cu xcu xc2( ) (0)uu vuvvvv d在某区域内的导数均存在，则有：和( )u x( )v x若()uvuva 台州职业技术学院数学教研室 ( )( )dyfuxdx（3）复合函数求导法则 即复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数 法则适用于有限次复合的函数( )yf x( , )0f x y ( )fx确定的可导函数，则其导数可由方程( ,( )0df x f xdx是由方程求得（4）隐函数的求导法则( )yf u( )ux及均可导，则若函数复合函数( ( )yfx在x处可导，且 台州职业技

7、术学院数学教研室 11( )( )fyfx ( )u x( )v x若分别可导，则幂指函数( )( )v xyu x可两边取对数化成隐函数求导数1( )xfy则它有连续的反函数，其导数为（5）对数求导法则（6）反函数求导法则( )yf x( , )a b在若函数内的导数存在且不等于零， 台州职业技术学院数学教研室 (1)( ) (2,3,)nnyyn ( )yf x()y 函数的导数一般仍是x的函数，它的导数称为此函数的二阶导数，记为y22d ydx，或()yy 即22()d yddydxdx dx或( )yf x一般地，函数n-1阶导（函）数的导数称为( )f xn阶导数，即（7）高阶导数

8、台州职业技术学院数学教研室 dya x( )yf xx在点处的微分，记为，即dyxx( )yf x（1）定义：对于自变量在点处的改变量，如果y的相应改变量可表示为() (0)ya xoxx x，其中a为不依赖于xa x的常数，则称函数在点处可微称为函数dxx 自变量的微分就是它的改变量：3.函数的微分函数的微分 台州职业技术学院数学教研室 ( )dyfx dx( )afx处可导，且dy( )fxdx，即因此求微分，只要求出导数，再乘以（3）微分形式的不变性( )dyf u du函数微分的形式是完全一样的，这就叫微分形式的不变性 （2）函数可微的充要条件( )yf xx函数在点处可微的充分必要条

9、件是它在该点( )yf uu来说，不论对函数是自变量还是中间变量， 台州职业技术学院数学教研室 ( )yf xdy函数的微分，在几何上就是过点( , )m x y的切线的纵坐标的改变量 （4）微分的几何意义( )ydyfxx 000( )()()()f xf xfxxxa求函数增量的近似公式b求函数在某点附近的函数值的近似公式（5）微分在近似计算中的应用 台州职业技术学院数学教研室 22222()2()xxxxyxxxx xxxx x 在点处的导数2yx1x 例例1 用定义求函数时导数值1x 解解 先求出导函数，再计算指定点220022limlimxxyyxxx xx 所以 1|2xy 则三、

10、例题及说明三、例题及说明1.导数概念导数概念 台州职业技术学院数学教研室 22 , |4xyxy123380yx313yx解解 4k 切线斜率，切线方程为84(2)3yx16403yx，即114k 法线斜率为，法线方程为81(2)34yx ，即8(2, )3p313yx例例2 已知曲线上一点，求：p点的切线方程和法线方程 台州职业技术学院数学教研室 例例3 判定下列说法哪些是正确的？处可导0 x0 x( )f x在点（2）如果函数处连续，则它在点0 x( )yf x在点（3）设是可导函数，且000(2)()lim1xf xxf xx 0()1fx，则 处可导( )f x0 x( )f x在点

11、处有导数，则称函数（1）如果函数在点0 x 台州职业技术学院数学教研室 000200(2)()()limlim22xxf xxf xyfxxx 000(2)()lim1xf xxf xx 000(2)()1lim22xf xxf xx 00()limxyfxx （3）错的导数0 x( , )a b( , )a b解解 （1）是正确的，函数可导即表明函数在点处可导，如果在开区间内每一点都可导，则称在区间内可导在点( )yf x0 x（2）错的定理成立的条件是：函数处可导，结论是处连续，逆定理不一定成立 台州职业技术学院数学教研室 1sin 0( )0 0 xxf xxx0 x 11(0)(0)(

12、0)sin0sin0yfxfxxxx 例例4 证明函数在点，则 0 x x证证 设在自变量有一个改变量001limlimsin0 xxyxx 因为 1sinyxx因为( )f x0 x 所以，函数在处不可导 处连续但不可导在( )f x0 x 所以，函数处连续0 x ，当时，极限不存在 台州职业技术学院数学教研室 2.求导法则的应用求导法则的应用12()(2 cos )(tan1)2 ln2cos2 sinxxxyxxxxx（2）222 sincos( ) , ()sin2xxxxfxfx解解 （1）22 costan1xyxxy2( )sinxf xx()2f，求，求（2）例例1 （1） 台

13、州职业技术学院数学教研室 例例1 求下列函数的导数2( )1f xxx( )fx（2）设，求y21arcsinxxxyeee，求（4）设2 0( )arctan 0 xxf xxx x(1)f （3），求22ln()xyxaxxa0|xy（5）设，求3.复合函数求导法则的应用复合函数求导法则的应用41(1 3 )yxy，求（1）已知 台州职业技术学院数学教研室 45(1 3 ) 4(1 3 )(1 3 )yxxx 551212(1 3 )(1 3 )xx12221(1)11xx xx 22211( 1)()1 ()xxxxxxeeeeee3222111 ()xxxxxxeeeeee221xxe

14、e441(1 3 )(1 3 )yxx解解 （1）因为所以 112222221( )(1)1 (1) 1(1)(1)2fxxxxxx （2） 2(1)(arcsin)xxxyeee（3） 台州职业技术学院数学教研室 22 0( )arctan 01xxfxxxxx22221ln()xxaxaaxxaxxa22221ln(1)xxxaxaaxxaxa221(1ln )xaxaxa00211|(1 0 ln )10 xyaaaa （4）因为111(1)arctan1(2)1 1424f所以22()ln()xyxaxxa(5) 所以 台州职业技术学院数学教研室 yeyyxy(1)yyyyyexxyx

15、x y 4.隐函数求导、取对数求导隐函数求导、取对数求导求导，注意到x解解 隐函数不必化成显函数，只要从方程两端对的函数（符合复合函数求导法则），因此可得：yx是解方程，得yexy例例1 求由方程所确定的隐函数的导数 台州职业技术学院数学教研室 解解 两边对求导，得xyyyexey1yyeyxe (0)ye1yyxe(0)y例例2 设，求，移项，得(1)yyyxee所以0 x 1y ，由原式当时，所以 台州职业技术学院数学教研室 yxxydydx例例3 求函数的导数lnlnyxyxyyxyx对 求导，得(ln)lnxyyxyyx移项，整理得22lnln( ln)ln( ln)lnyyxyyyy

16、 xyyxyxxyxxx yxxxy 所以解解 lnlnyxxy两边取对数得 台州职业技术学院数学教研室 221lnlnln(1)3ln(1)2yxxx2211 126211xxyyxxx 22 3221(1) 126()2(1)11xxxxyxxxx 22 3(1)(1)xxyxy例例4 设，求两边求导数 整理得 解解两边取对数 台州职业技术学院数学教研室 22111221dytttdxt5.参数方程求导方法参数方程求导方法( )( )xh tyg t( )( )dyg tdxh t，则求导）t（注意：分子分母都是对2ln(1)arctanxtytt 例例1 若，求dydx解解2111dyd

17、tt 221dxtdtt 台州职业技术学院数学教研室 22yxx310y y 222212 22xxyxxxx 222222(1)2 22xxxxxxyxx 22222(1)(2) 2xxxxxxx332211(2)yxx 6高阶导数高阶导数例例1 证明：函数满足关系式22yxx证证 将求导，得 310y y 于是 台州职业技术学院数学教研室 ln(1)x(4)23411 21 2 3,(1)(1)(1)yyyxxx ( )1(1)!( 1)(1)nnnnyx ( )1(1)!ln(1)( 1)(1)nnnnxx 例例2 求对数函数的n阶导数 一般地，可得即0! 11n 通常规定，所以这个公式当时也成立 1ln(1),1yxyx解解 台州职业技术学院数学教研室 1 3cosxyexdy1 31 31 3(cos )cos()(cos )xxxdyd exxd eedx1 31 3(cos )( 3)( sin)xxx edxexdx1 3(3cossin