定积分及其应用习题课

1、1基本内容基本内容目录 下页 返回 结束 例题选讲例题选讲2一、基本内容一、基本内容( )d ( ) , , baif xxf xa ba b 定定积积分分是是一一种种特特定定形形式式的的极极限限，因因此此它它是是一一个个数数, ,这这个个数数只只由由被被积积函函数数与与积积分分注注意意区区间间来来唯唯一一确确定定, ,而而与与的的分分法法无无关关, ,与与各各的的取取法法无无关关, ,与与积积分分变变量量用用什什么么字字母母表表之之点点: :示示无无关关. .1. 定定积积分分基基本本概概念念01( )dlim()nbiiaif xxfx (1)(1)分分划划，(2)(2)作作和和，(3(3

2、要要点点：) )求求极极限限首页 上页 下页 返回 结束 3 (1) ( ) , ( ) , (2) ( ) , ( )2. , f xa bf xa bf xa bf xa b若若在在上上连连续续, ,则则在在上上可可积积. .若若在在上上有有界界可可, ,且且只只有有有有限限个个间间断断点点, ,则则在在积积的的充充分分条条件件上上可可积积. . (1) ( )d0 (2) ( )d( )d (3) ( )( )d(3. )d( )daabaabbbbaaaf xxf xxf xxlf xkg xxlf xxkg xx 定定积积分分的的性性质质首页 上页 下页 返回 结束 4首页 上页 下

3、页 返回 结束 (4) ( )d( )d( )d(5) d(6) , ( )0( )d0(7) , ( )( ), ( )d( )d(8) ( )d|( )|d ( )|( )|(9) ()( )dbcbaacbababbaabbaaaf xxf xxf xxxbaa bf xf xxa bf xg xf xxg xxf xxf xxf xf xm baf xx 若若在在上上，则则若若在在上上则则由由可可积积可可积积. .注注: :() ( ) , bm bammf xa b 其其中中 ，分分别别是是在在上上的的最最小小值值，最最大大值值. .5 (10) ( )d( )() ()baf xx

4、fbaab 积积分分中中值值定定理理首页 上页 下页 返回 结束 ( )( )d () ( )( ) , d 4 ( )( )d( )d. xaxaxf ttaxbxf xa bxf ttf xx 积积分分上上限限是是在在上上的的一一个个原原函函数数，即即这这揭揭示示了了定定积积分分与与原原函函数数之之间间的的的的函函数数本本质质联联系系. .6 ( )d ( ) , ( )d( )ddd ( )d( )d( )ddbxbxxbbxxbf ttf xa bf ttf ttf ttf ttf xxx 不不是是在在上上的的一一个个原原函函数数，事事实实上上，因因所所：以以注注( )( )( )(

5、)dd ( )d( )d( )ddd( ( )( )( ( ) ( ) (b xcb xa xa xcf ttf ttf ttxxf a x a xf b x b xc 推推广广：为为常常数数）首页 上页 下页 返回 结束 7 ( )d( )( ) 5. ( )( ) ( ( ) , )baf xxf bf afxf xf xa b 其其牛牛顿顿莱莱布布尼尼（微微积积分分基基本本公公式式中中在在茨茨公公式式上上连连续续）( ) , (1) ( ) , ; (2) ( )( ) , ( )d( )( )baf xa bf xa bf xf xa bf xxf bf a 若若在在上上连连续续，则则

6、在在上上有有原原函函数数若若是是在在上上的的原原函函数数，则则要要点点：首页 上页 下页 返回 结束 (1) ( ) , ( ) , f xa bf xa b在在上上有有原原函函数数, ,不不能能推推出出在在上上可可积积. .几点注记：几点注记：8221sin 0 ( )0 0 xxf xxx 22 1,11212 sincos 0 ( )( )0 0 xxfxf xxxxx 在在上上处处处处有有导导数数 ( ) 11 ( ) 11 ( ) 11 f xf xf x 即即在在， 上上有有原原函函数数, ,但但在在， 上上无无界界，故故在在， 上上不不可可积积. .例如例如首页 上页 下页 返回

7、 结束 9 1,1 . 在在上上可可积积 , ( )( ),( )d( )( ), ( ) , baa bfxf xf xxf bf af xa b 综综上上所所述述, ,命命题题“如如果果在在上上有有则则必必有有从从而而在在上上可可积积”是是错错误误的的. . (2) ( ) , ( ) , f xa bf xa b在在上上可可积积, ,不不能能推推出出在在上上一一定定有有原原函函数数. .例例如如0 0 ( )1 0 xf xx 当当当当( )( ),0,f xf xx 假假如如有有原原函函数数则则在在时时1( ),0,( ).f xcxf xc在在时时1,.cc 续续的的 所所以以0,(

8、 )xf x 在在时时是是连连( ).f xc 从从而而(0)(0)1.ff 这这与与矛矛盾盾( )( )0.fxf x 故故首页 上页 下页 返回 结束 10(2) ( )dlim( )d () ( )dlim( )d ()bbattabtaatbf xxf xxaf xxf xxb 无无界界函函数数的的反反常常积积分分为为瑕瑕点点为为瑕瑕点点6. 反反常常积积分分00(1) ( )dlim( )d ( )dlim( )d ( )d( )d( )dtaatbbttf xxf xxf xxf xxf xxf xxf xx 无无穷穷限限的的反反常常积积分分首页 上页 下页 返回 结束 11 首先

9、画出平面图形的大概图形，然后根据图首先画出平面图形的大概图形，然后根据图形的特点，选择相应的积分变量，确定积分区域形的特点，选择相应的积分变量，确定积分区域写出图形面积的积分表达式写出图形面积的积分表达式.7.平面图形的面积平面图形的面积首页 上页 下页 返回 结束 122121 ( ),( ) ( )( )( )( )d, ().bayfxyfxfxfxafxfxxa b ab 如如果果图图形形由由所所围围成成, ,则则所所围围面面积积为为 其其中中为为两两曲曲线线交交点点的的横横坐坐标标)(1xfy )(2xfy abxyo12 ( ), (), 如如果果图图形形由由曲曲线线及及射射线线围

10、围成成的的曲曲边边扇扇形形 则则面面积积为为21 ( ) d2a xo( ) 2 ( )() ( ) dbayf xaxbxvf xx 连连续续曲曲线线段段绕绕轴轴旋旋转转一一周周所所围围成成的的立立体体的的体体积积8. 旋转体的体积旋转体的体积xyoabxyoab( )yf x 首页 上页 下页 返回 结束 13( ),a xxx 如如果果是是过过点点 且且垂垂直直与与 轴轴的的截截面面面面积积 则则立立体体体体积积为为xabxy)(xa( )dbava xx 9. 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积如果曲线弧的参数方程为如果曲线弧的参数方程为,)()( tytx

11、)( t10. 平面曲线的弧长平面曲线的弧长22( )( )dsttt 则曲线弧长为则曲线弧长为首页 上页 下页 返回 结束 14 物体在变力物体在变力f(x)的作用下的作用下, 从从x轴上轴上a点移动到点移动到 b点点, 所做的功为所做的功为( )dbawf xx 11. 变力作功变力作功12. 水压力水压力 对液体深度作微元对液体深度作微元,求得压强求得压强,然后对深度积分然后对深度积分可求得物体所受的水压力可求得物体所受的水压力. 计算一根细棒对一个质点的引力计算一根细棒对一个质点的引力,可将细棒置可将细棒置于坐标轴上建立直角坐标系于坐标轴上建立直角坐标系, 对细棒所处的区间取对细棒所处

12、的区间取微元微元,然后积分然后积分.13. 引力引力首页 上页 下页 返回 结束 15二、基本方法二、基本方法12346 、利利用用定定义义、利利用用定定积积分分的的几几何何意意义义、利利用用牛牛顿顿莱莱布布尼尼茨茨公公式式、利利用用换换元元法法、利利用用分分步步积积分分法法主要方法主要方法 ( )d( )( ) ( )( ) , ( ) , baf xxf bf af xf xa bf xa b 对对于于牛牛顿顿莱莱布布尼尼茨茨公公式式的的应应用用, ,应应注注意意此此公公式式通通常常只只用用于于被被积积函函数数连连续续的的情情形形, ,对对于于在在上上可可积积, ,但但有有间间断断点点的的

13、情情形形要要具具体体考考虑虑. .另另外外, ,也也必必须须在在上上连连续续. .首页 上页 下页 返回 结束 1600(1) ( )d ( )()d(2) ( ) ( )d0(3) ( ) ( )d2( )daaaaaaaaf xxf xfxxf xf xxf xf xxf xx 若若为为奇奇函函数数， 则则若若为为偶偶函函数数， 则则00(5) ( )d()d ()aaf xxf axxtax令令0(4) ( ) ( )d( )da ttaf xtf xxf xx 若若是是周周期期函函数数， 为为周周期期，则则利利用用换换元元法法可可得得许许多多公公式式：首页 上页 下页 返回 结束 17

14、22002002000(6) (sin )d(cos )d(7) (sin )d2(sin )d(8) (sin )d(sin )d (sin )d2fxxfxxfxxfxxxfxxfxxfxx 首页 上页 下页 返回 结束 7、定积分应用的基本方法、定积分应用的基本方法 :微元分析法微元分析法微元形状微元形状 : 条、条、段、段、 带、带、 片、片、扇、扇、环、环、壳壳 等等.18一、一、 定积分的应用及方法定积分的应用及方法几何方面几何方面 : 面积、面积、体积、体积、 弧长、弧长、 表面积表面积 .物理方面物理方面 : 质量、质量、作功、作功、 侧压力、侧压力、引力、引力、转动惯量转动惯

15、量 .首页 上页 下页 返回 结束 19三、例题选讲三、例题选讲22 ln(1)d .xixex 计计算算例例1 1 解解注注意意到到区区间间的的对对称称性性, ,将将被被积积函函数数表表为为奇奇函函数数与与偶偶函函数数之之和和：11( ) ( )() ( )()22f xf xfxf xfx奇函数奇函数偶函数偶函数20 ln(1)ln(1)dxxxexex 22221 ( )d ( )()d2f xxf xfxx所所以以20 ( )()df xfxx 首页 上页 下页 返回 结束 2083 lim( )d( )xaxaxf ttf xxa 求求，其其中中例例2 2连连续续. . lim( )

16、dxaxaxf ttxa 解解lim( )d ( )xaxaf ttx f x ( )a f a 洛必达法则洛必达法则201 lnd1xxexxe 22200lnddxxexxx0 ( )dlim) 0 xaxaxf ttxa 型型首页 上页 下页 返回 结束 2120(1)(2) dxttx 讨讨论论的的单单调调性性, ,并并例例3 3求求极极值值. . 20( )(1)(2) dxxttt 解解 设设2()(1)(2)xxx 则则12( )012xxx 令令，得得， 1( )0( )xxx 当当时时，所所以以单单调调减减少少；1(2)( )0( )xxxx 当当时时，所所以以单单调调增增加

17、加. .( )1xx 从从而而在在处处取取得得极极小小值值. .极极小小值值为为432101544 )43tttt驻点驻点120(1)(1)(2) dttt 1320(584)dtttt 1712 首页 上页 下页 返回 结束 221, () lim( )d .nbankk babaf af xxnn 类类似似地地11011 ( ),( )0,1,1 lim( )( )dnknnkkfn nf xkff xxn n 一一般般地地，若若计计算算和和式式的的极极限限时时，和和式式若若能能化化为为形形如如的的数数列列 并并且且在在上上连连续续 则则都都可可利利用用定定积积分分求求其其极极限限 即即首

18、页 上页 下页 返回 结束 23! limln.nnnn例例 计计算算4 4!,nnnyn 解 令则解 令则1lnln1ln2ln lnnynnn1ln1ln2lnln nnnn112lnlnlnnnnnn11lnnkkn n 首页 上页 下页 返回 结束 241 11lim(ln)limlnnnnnkkyn n 所以 所以 10ln dx x 1100 ln dxxx !limln1.nnnn 即即1!lim.nnnen 类似可得 类似可得 首页 上页 下页 返回 结束 250 ( )2, ( )( )sin d5,(0).ff xfxx xf 已已知知 求求 例例5 50 ( )( )si

19、n df xfxx x 解解 00( )sin d( )sin df xx xfxx x 00( )sin dsin d( )fxx xx fx 00sin( )( )cos dxfxfxx x 0cos d ( )xf x 首页 上页 下页 返回 结束 26(0)3.f 故 故 0( )(0)( )sin dfff xx x 0 ( )( )sin d( )(0)f xfxx xff 所所以以2(0)5f00cos( )( )sin dxf xf xx x 首页 上页 下页 返回 结束 272( 21)201sin2 d .x x 算算 例例6 6 计计 222001sin2 d(sinco

20、s ) dx xxxx解解 20|sincos|dxxx 2404(cossin )d(sincos )dxxxxxx 4204sincos cossin xxxx 21(12)首页 上页 下页 返回 结束 2822d .axxax 0 0计计例例算算7 7 sin ,xat 解 令则解 令则2022dcos dsincosaxt tttxax 0 020cos d2sin()4t tt 20cos()d442sin()4ttt 2011cos()sin()4422d2sin()4tttt 首页 上页 下页 返回 结束 29.4 20cos()141 d2sin()4ttt 201ln |si

21、n()|244t 首页 上页 下页 返回 结束 30222222111lim418424ninnnn 计计算算 例例2211 lim4nnkink 解解102d4xx 102d( )21 ( )2xx 10arcsin2x 6 2111 0 1 ( ),41 , ( )nkkknnnknf xxfn 由由定定积积分分定定义义, ,将将，等等分分, ,令令在在小小区区间间取取右右端端点点作作和和1211lim4 ( )nnknkn 首页 上页 下页 返回 结束 3124400d d.119xxxxx 试试证证，并并求求其其值值例例解解40d1xx 令令1xt 402111d1ttt 240d1t

22、tt 240d1xxx 2444000d1dd2111xxxxxxx所所以以24011d21xxx 22121011d2xxxx 首页 上页 下页 返回 结束 3222121011d2xxxx 210111d()2()2xxxx 101arctan2 22xx 2 2 首页 上页 返回 结束 33解解 这是三叶玫瑰线，由这是三叶玫瑰线，由 sin3 0，有有20,3 3 4533及及由对称性由对称性222660016d3sin3d2ara 26013(1cos6 )d2a 例例 10 求求 = a sin3 所围图形的面积所围图形的面积.26031sin6 26a 24a 首页 上页 下页 返

23、回 结束 34解解222333,yax因因322233yax得得,aax 32233daavaxx 332105a 222333 (0 11. )xyaax求求星星形形线线绕绕 轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体 例例的的体体积积 旋转体的体积旋转体的体积首页 上页 下页 返回 结束 a ayxo(p281-13题题)35222 ()(0) 2.1xyhrhrx 求求由由绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所成成圆圆环环体体 的的体体积积例例解解222222()() drrvhrxhrxx 224drrhrxx 2184hrxyo222r h 2208drhrxx 首页 上页 下页 返回 结束 (参

24、见参见p281-15(3)题题)362 43(0, 3)(3 ,03)1 yxx 求求抛抛物物线线及及其其在在点点和和处处的的切切线线所所围围成成的的图图形形 例例的的面面积积. . 24,yx 解解则则03|4, |2,xxyy (0, 3) 43,yx过过点点的的切切线线为为(3,0) 26,yx 过过点点的的切切线线为为yxo3232( ,3)m(0, 3) (3,0)43 ,26yxyx 由由2(,3)3m得得切切线线的的交交点点首页 上页 下页 返回 结束 于于是是所所求求面面积积为为37yxo3232( ,3)m(0, 3) (3,0)32322032(43)(43)d ( 26)

25、(43)daxxxxxxxx 32323220d(69)dxxxxx94 首页 上页 下页 返回 结束 38例例14 求抛物线求抛物线21yx在在(0,1) 内的一条切线内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解 设抛物线上切点为设抛物线上切点为2( ,1)m xx 则该点处的切线方程为则该点处的切线方程为2(1)2()yxx xx 它它与与 x , y 轴的交点分别为轴的交点分别为221(,0),(0,1)2xabxx 所围面积所围面积yxo11mab( )s x 221 (1)22xx 120(1)dxx 22(1)243xx 首

26、页 上页 下页 返回 结束 392221( )(1)(31)4sxxxx 3,3x ( )0;sx 3,3x ( )0sx ( )0,sx 令令得得 0 , 1 上的唯一驻点上的唯一驻点33x 3( )0,1,3xs x 因因此此是是在在上上的的唯唯一一极极小小点点且为且为最小点最小点 . 故所求故所求切线为切线为2 3433yx 首页 上页 下页 返回 结束 400, 0( ),rr32( )sind .3oxvr ( )rr x d dr证证 先求先求 ,d 上微曲边扇形上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积绕极轴旋转而成的体积d.oxv体积微元体积微元ddrr r2sinr doxv所所以以2

27、 sind ( )20drrr 32( )sin d3r 故故32( )sind3oxvr 绕极轴旋转而成的体积为绕极轴旋转而成的体积为首页 上页 下页 返回 结束 例例 15 证明曲边扇形证明曲边扇形41解解 (1)0 x 当当时时，由方程得由方程得2( )( )32x fxf xax ( )32f xax 即即23( )2f xaxcx故得故得2 ( )0,13( )( ),2 ( )12. (1) ( ); (2) 16,?f xax fxf xxyf xxf xax 设设非非负负函函数数在在上上满满足足 曲曲线线与与直直线线及及 坐坐标标轴轴所所围围图图形形面面积积为为求求函函数数为为

28、何何值值时时 所所围围图图形形绕绕 轴轴一一周周所所得得旋旋转转体体体体积积最最小小例例首页 上页 下页 返回 结束 42102( )df xx 1203d2axcxx 22ac4ca23( )(4)2f xaxa x(2) 旋转体体积旋转体体积120( )dvfxx 2116310aa 110,35va 令令5a 得得5|0,15av 5,a 所所以以为为唯唯一一极极小小值值点点xoy1xoy15av 因因此此时时取取最最小小值值. .首页 上页 下页 返回 结束 又又又又43 17 , r半半径径为为 的的球球沉沉入入水水中中 球球的的上上部部与与水水面面相相切切 球球的的密密度度与与水水相相同同 现现将将球球从从水水中中取取出出 需需作作 例例多多少少功功. .(p288-7题题)xoy 解解 以水中球心为坐标原点以水中球心为坐标原点, ,建立坐标系如图建立坐标系如图. .r r 所求功为将所求功为将- -r, r上的微薄上的微薄片都上提片都上提2r功元素的积分功元素的积分.设在设在x处处(, )xr r 厚为厚为dx的小薄片在水中的的小薄片在水中的行程为行程为,rx 在水上的行程为在水上的行程为2()rrxrx首页 上页 下页 返回 结束 44xyoxrx rx 由题设由题设, 球的比重与水的比重相同球的比重与水的比重相同, 水下薄片所受水下薄片所