上海高三数学模拟试卷

1、高三数学模拟试卷班级学号姓名得分注意：本试卷共有 21道试题，满分150分，考试时间120分钟.、填空题(本大题共有 12小题，满分54分)只要求直接填写结果,得4分，7-12题每个空格填对得 5分，否则一律得零分.1-6题每个空格填对1.设a R,若复数(1 i)(a i)在复平面内对应的点位于实轴上，则2.集合A x|x 1 , B x|xa,且AB R,则实数a的取值范围是3.二项式(x 1)6的展开式中，系数最大的项为第项.4.x从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作， 每人承担一项, 其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种.x5.直线y2 tt为参数被

2、双曲线x2y2,3t6,若函数f(x) lOg2x,x 0是奇函数，则g(x),x 07.已知某几何体的三视图如右图，其中主视图中 半圆直径为2,则该几何体的体积1截得的弦长为g(8)2通项为Sna1n9.若等差数列8.已知数列 an 则 a1C： + a2C： +(n 1) d.类似地，若各项均为正数的等比数列 bn的首项为b ,公比为q ,前n项的积为Tn,则数列1为等比数列，且通项为10.设x,y满足约束条件 y2x则实数m的最小值为1x ,向量2y 10ra (y2x,m),b (1, 1),且 a/b,第15页共4页11 .已知实数a,b,c成等差数列，点 P 3,0在动直线ax b

3、y c 0 ( a,b不同时为零)上的射影点为M ,若点N的坐标为2,3 ,则|MN的取值范围是 .一匕4x k 2x 1 什，g-,12 .函数f Xxx，右对于任息的头数XpX2,X3均存在以fX1, fx2, fx3421为三边长的三角形，则实数k的取值范围是.二、选择题(本大题共有4小题，满分20分)每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选 项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.rrrrrrr rrr13 .若a与b c都是非零向量，则“ a b a c”是“ a (b c)”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件14 .将函数

4、y sin(2x ,)图象上的点P(,t)向左平移s( s 0)个单位长度得到点 P',若P'位于函数y sin 2x的图象上，则()t , s的最小值为一 26t叵,s的最小值为一 231(A) ts的最小值为 一(B)261(C) ts的最小值为一,(D)2315 .如图，在正方体 ABCD ABC1D1中，当动点M在底面ABCD 内运动时，总有 DD1A DD1M ,则动点 M在底面 ABCD内的(A)椭圆的一部分(C)抛物线的一部分(B)双曲线的一部分(D)圆的一部分轨迹是(16 .如图，在10X10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点

5、.若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角 形”.以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为 3近，且这两个交点与 抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述 条件且对称轴平行于 y轴的抛物线条数是()(A)。条(B) 7条(C) 14条(D) 无数条三、解答题(本大题共有 5小题，满分76分)解答下列各题必须写出必要的步骤.17 .(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)在 ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c 且cosA cosB snC. ' a b

6、c(1)证明：sin AsinB sinC ；若 b2 c2 a2 -bc,求 tanB.518 .(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC , BAC ACD 90EAC 60 , AB AC AE .EAB ?请证明你的结论;(1)在直线BC上是否存在一点p，使得DP / /平面 (2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值19.(本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分7分)22椭圆E ：三匕 1 , (a b 0)的短轴长等于焦距，a2 b2uur uurP(0,1)在短轴CD上，且PC PD 1.(1)求

7、椭圆E的方程；(2) O为坐标原点，过点 P的动直线与椭圆相交于 A, B两点,是否存在常数uuu uuu ,使得OA OBuuu uuuPA PB为定值？若存在，求的值.20.(本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分)已知数列an中，ai3,an1an3 2n,n N .(1)证明数列 an 2n是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)求数列 an的前n项的和Sn ；(3)若1 r s且r , s N ,求证：使得a, a，as成等差数列的点列 r,s在某一直 线上.21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分10分)对于函数y f

8、 x与常数a、b,若f 2x af x b对f x的定义域内的任意 x都成立，则称a,b为函数f x的一个“ P数对”.设函数 y f x的定义域为R ,且f 13.- - - . - *(1)若1,1是f x的一个“ P数对”，求f 2n n N ;(2)若 2,0是f x的一个“ P数对”，且当x 1,2时f x k 2x 3 ,求f x在区间1,2 n N 上的最大值与最小值；(3)若f x是增函数，且 2, 2是f x的一个“ P数对”， 试比较下列各组中两个式 子的大小，并说明理由： f 2n 与 2n 2 n N*; fx 与 2x 2 x 2 n,21 n ,n N*高三数学练习

9、卷班级 学号 姓名 得分注意：本试卷共有 21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题(本大题共有 12小题，满分54分)只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对 得4分，7-12题每个空格填对得 5分，否则一律得零分.1 .设a R,若复数(1 i)(a i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a .12 .集合A x|x 1,B x|x a,且A B R,则实数a的取值范围是_a 1_ .3 .二项式(x 1)6的展开式中，系数最大的项为第 3 或5 项.x4 .从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共

10、有48 种.x 2 t5 .直线t为参数被双曲线x2 y2 1截得的弦长为.2，10y 3t'6 .若函数f(x)10g2x,x 0是奇函数，则g( 8)一3g(x),x 0【解析】 /住)为奇函数,所以 /(一m=鼠_# = 一/的=_依氏8 = -3 ,即=7 .已知某几何体的三视图如图，其中主视图中3半圆直径为2,则该几何体的体积 24 3一 :n 18 .已知数列 an的通项公式为an 21,9.若等差数列an的首项为 加公差为d,S一n项的和为Sn ,则数列为等差数列，且n通项为Sna1n(n 1) d.类似地，若各项均为正数的等比数列 bn的首项为h ,公比为q , 2前n

11、项的积为丁口，则数列行为等比数列，且通项为n 1nTnaq210.设x,y满足约束条件y，向量 a (y 2x,m),b (1, 1),且 a/b,则实数2x10则 a1C0 + a2C： + a3C3 L +4(：= 2nm的最小值为.一1r r【解析】不等式对应的可彳T域是顶点为A(1,8), B(1,),C(4,2)的三角形及其内部，由a/b,2得m 2x y,可知在 A(1,8)处m 2x y有最小值6.11.已知实数a,b,c成等差数列，点P 3,0在动直线ax by c 0( a,b不同时为零)上的射影点为m ,若点N的坐标为2,3，则|MN|的取值范围是 54,5 衣12.函数f

12、 xx x4 k 24x2x1 4 ，一，一-,若对于任意的实数1为，乂2?3均存在以 f x1 , f x2 , f x3为三边长的三角形，则实数k的取值范围是解：f x4x k 2x4x 2xk 1-12x12x令g x 112V10,3当k 1时,其中当且仅当0时取得等号所以若对于任意的实数Xi, x2, x3均存在以Xi , f X2 , f X3为三边长的三角形，只需所以若对于任意的实数1,其中当且仅当0时取得等号xi, X2, X3均存在以Xi , f X2 , f X3为三边长的三角形，只需【解析】因为实数a,b,c成等差数列，所以2b a c,方程ax by c0变形为 2ax

13、 (a c)y 2c 0,整理为 a 2x y c(y 2) 0所以2x y 0,即x 1 ,因此直线ax by c 0过定点Q1, 2 y 2 0 y 2画出图象可得 PMQ 90o, |PQ| 2J5点M在以PQ为直径的圆上运动，线段MN的长度满足FN 5 MN FN 5即 5 .5 MN 552匕1 ,所以1 k 132I1综上可得，1 k 42二、选择题(本大题共有4小题，满分20分)每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.rrrrrrr rrr13.若a与b c都是非零向量，则“ a b a c”是“ a (b c)”的(C )(A)充分而不必

14、要条件(C)充分必要条件14.将函数ysin(2x §)图象上的点p(z，t)向左平移s( s 0)个单位长度得到点 P',若p'位于函数y sin 2x的图象上，则(A )1 ，一，一，(A) t 一，S的取小值为一26(B) t,3S的最小值为(C) ts的最小值为(D)S的最小值为【解析】点P -, t在函数y sin 2x ,上，所以t sin 2 434 3sin -,然后62兀 ，一 一，、，,、一y sin 2x 向左平移s个单位，即y sin 2(x s) 3sin 2x ,所以-+k兀，k Z ,所以s的最小值为-.6615 .如图，在正方体ABCD

15、ABGDi中，当动点M在底面ABCD内运动时，总有DD1A轨迹是(D )(A)椭圆的一部分(C)抛物线的一部分DD1M ,则动点 M在底面ABCD内的(B)双曲线的一部分(D)圆的一部分解：因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时，动点的轨迹是以DD为轴线，以D1A为母线的圆锥，与底面 ABCD的交线即圆的 一部分.16 .如图，在10X10的网格中，每个小方格都是边长为 1的小正方形， 每个小正方形的顶点称为格点.若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”.以 O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离

16、为 3J2,且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是(C )(A) 0条(B) 7条(C) 14条(D) 无数条【解析】如图，开口向下，经过点( 解析式为y= - x2+4x,然后向右平移1个单位，向上平移0, 0), (1, 3), (3, 3)的抛物线的1个单位一次得到一条抛物线,可平移6次，所以，一共有7条抛物线，同理可得开口向上的抛物线也有7条，所以，满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14.(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件三、解答题（本大题共有 5小题，满分76分）解答下列各题必须写

17、出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）在 ABC中，角A,B,C所对的边分别是cosAa,b,c 且acos B sin C(1)证明：sinAsinB sinC ；若b2226.c a - bc,求 tan B .5【解析】（1）证明：由正弦定理原式可以化解为sin A sin B cos A cosBc一可知sin Csin C1sin A sin B sin C.A和B为三角形内角，sin Asin B 0则，两边同时乘以 由和角公式可知， 原式得证。sinAsinB,可得 sin BcosAsin B cos A sin AcosBsinsin Ac

18、osBA B sinsin Asin BsinC(2)由题 b2 c265bc,根据余弦定理可知,cosA22b c2bcA为为三角形内角,0,sin A则 sin A 1由（I）可知235cosAsin A4,即5cosBsin BcosA sin A sin C sin C1,cosBsin Btan B1. tan B 418.（本题满分14分，第1小题满分7分,第2小题满分7分）BAC ACD 90 ,EAB ?请证明你的结论;如图，已知直角梯形 ACDE所在的平面垂直于平面 EAC 60 , AB AC AE .（1）在直线BC上是否存在一点 P，使得DP/平面 （2）求平面EBD与

19、平面ABC所成的锐二面角的余 弦值.解：（1）线段BC的中点就是满足条件的点 P .证明如下：取AB的中点F连结DP、FP、EF ,则1 FP/AC,FP -AC2取AC的中点M ,连结EM、EC , AE AC 且 EAC 60 , EAC是正三角形， EM AC .四边形EMCD为矩形，一 1 一ED MC -AC2又 ED/AC ,.ED/FP且ED FP，EFPD是平行四边形DP /EF ,而 EF 平面 EAB，DP 乱平面 EAB，二 DP / /平面 EAB-（2）（法1）过B作AC的平行线l ,过C作l的垂线交l于G ,连ZDG , . ED / /AC , ED /l , l

20、是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱.(法 2) BAC，以点a为原点，直线 ab为x轴，直线AC为y轴，建立空间直角坐标系 A xyz ,则z 轴在平面EACD内(如图).GD 790 '平面 EACD平面ABC，设 AB ACLUUEB (2a,AE 2a/已知,得 B(2a,0,0),E(0,a,撮),D(0,2a,V3a) a, V3a), ED (0,a,0),设平面 r uuu n EDEBDr的法向量为n (x, y, z),r n r nuur EB UULT ED解之得2 axay取z 2，得平面EBDay .3az 00的一个法向量为 lt(3,0,2).又.平面

21、ABC的一个法向量为ncosr u, cos n,n19.(本题满分14分，第、3(0,0,1).0 0 0 2 1,；(、3)2 0222,02 02小题满分5分，第2小题满分122 y b21, (a b 0)的短轴长等于焦距,轴CD上，且uurPCuuur PD 1.(1)求椭圆E的方程;ULLUEB且2.779分)(2) O为坐标原点，过点 P的动直线与椭圆相交于 A, B两点,UUU LUU LUU UUU是否存在常数 ，使得OA OB PA PB为定值？若存在，求解：(1)由已知，点 C, D的坐标分别为(0, b), (0, b)P(0,1)在短的值.1 b21又点P的坐标为(0

22、,1),uur uuir且 PC PD = - 1于是，巫 ，解得a = 2, b= &a 22 . 22a b c22所以椭圆E方程为x_匕1.42(2)当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1uuu uuuuuu uuuuuir uuiruur uuir此时OA OBPA PBOC OD uuu uuirPC PD =-2-1 = -3 uuu uuu故存在常数入=1,使得OA OBPA PB为定值3.1uuu uuir所以，当入=1时，一2_2=3,此时，OA OB2k2 1当直线AB斜率不存在时，直线 AB即为直线CD20.(本题满分16分，第1小题满分已知数列an

23、中，a1 3, an 1 an3 2n, n22上 E 1A, B 的坐标分别为(X1, y。，(X2, y2) 联立 42，得(2k2+1)x 2+4kx 2= 0y kx 122 4k2其判别式4= (4k) +8(2k+1)>0 所以 x1 x22一,x1x2一2一2k212k2 1uuu uuu uuu uuu从而 OA OB PA PB =x1x2+y1y 2+入x 1x2+(y 11)(y 21)2( 24)k( 21)1=(1 +入)(1 + k)x 1x2+k(x1 + x2) + 1= (J-() =2-22k 12k 1uuu uurPA PB = - 3 为te值5

24、分，第2小题满分5分，第3小题满分6分)(1)证明数列 an 2n是等比数列，并求数列 an的通项公式;(2)求数列 an的前n项的和Sn ；*(3)若1 r s且r , s N ,求证：使得a, a.，as成等差数列的点列 r,s在某一直线上.解：(1)将已知条件an1an32n变形为an 12n1an2na-,2n1.由于a1 2 3 2 1 0,则上1 (常数)an 2n即数列an 2n是以1为首项，公比为 1的等比数列所以 an 2n 1 ( 1)n 1( 1)n1,即 an2n ( 1)n 1 (n N*).n 1Sn22, n 2kn 121,n 2k 1(3)若a1 , ar,

25、as成等差数列，则2ar a1 as即 22r ( 1)r 13 2s ( 1)s 1 ,变形得 2s 2r 12 ( 1)r 1 ( 1)s13*由于右r, s N且1 r s,下面对r、s进行讨论：若r, s均为偶数，则2s2r 10,解得sr 1,与1rs矛盾，舍去；若r为奇数，s为偶数，则2s2r 10,解得sr 1;若r为偶数，s为奇数，则2s2r 10,解得sr 1,与1 r s矛盾，舍去；若r, s均为奇数，则2s2r 10,解得sr 1,与1rs矛盾，舍去；综上可知，只有当r为奇数，s为偶数时，a1, ar, as成等差数列，此时满足条件点列r,s落在直线y x 1 (其中x为正奇数)上.(不写出直线方程扣1分)21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分10分)对于函数y f x与常数a、b ,若f 2x af x b对f x的定义域内的任意 x都成立，则称a,b为函数f x的一个“ P数对”.设函数 y f x的定义域为R ,且f 13 .(1)若1,1是f x的一个“ P数对”，求f 2n n N* ;(2)若2,0是f x的一个“ P数对”，且当x 1,2时f x k 2x 3 ,求f x在区间