多元复合函数的求导法则92924

1、第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则二、全微分形式的不变性二、全微分形式的不变性证明证明);()(tttv . )(),( ),( ),( )( )( dtdvvzdtduuzdtdztttfzvuvufzttvtu 下列公式计算下列公式计算可导，且其导数可用可导，且其导数可用在对应的在对应的数数合函合函具有连续偏导数，则复具有连续偏导数，则复在对应点在对应点函数函数可导，可导，都对都对及及如果如果定理定理 一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则，获得增量获得增量设设tt ),()(tttu 则则,21vu

2、vvzuuzz tvtutvvztuuztz 21 ,lim0dtdutut ,lim0dtdvtvt 有连续偏导数，有连续偏导数，在点在点由于函数由于函数 ),( ),( vuvufz 时，时，当当 00 vu, 000 vut，时，时，当当tzdtdzt 0lim.dtdvvzdtduuz 所以所以. 0021 ，上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. . dtdzuvwtz. 称为全导数称为全导数以上公式中的导数以上公式中的导数dtdz),( wvufz 如如),(),(),(twwtvvtuu 则则dtdvvz .dtdwwz dtd

3、uuz 上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是上述定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：多元函数的情况：).,(),(yxyxfz . ),( ),(),( ),( ),( ),( ),( ),( yvvzyuuzyzxvvzxuuzxzyxyxyxfzvuvufzyxyxyxvyxu ，可用下列公式计算可用下列公式计算的两个偏导数存在，且的两个偏导数存在，且点点在对应在对应数数连续偏导数，则复合函连续偏导数，则复合函具有具有在在的连续偏导数，且函数的连续偏导数，且函数和和具有对具有对在点在点及及如果如果 uvxzy多元复合函数的求导法则，如下图所示多元复合函数的求导法则，

4、如下图所示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv zwvuyx. ),( ),(),(),( ),( ),( ),( ),( , ),( ),( ywwzyvvzyuuzyzxwwzxvvzxuuzxzyxyxwyxyxfzwvuwvufzyxyxyxwwyxvyxu ，下列公式计算下列公式计算偏导数都存在，且可用偏导数都存在，且可用的两个的两个在对应点在对应点合函数合函数具有连续偏导数，则复具有连续偏导数，则复在在的连续偏导数，且函数的连续偏导数，且函数和和具有对具有对在点在点，设设推广：推广： 特殊地，特殊地，),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,x

5、fxuufxz .yfyuufyz , ywxv 令令则则其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把 复复合合函函 数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数 把把),(yxufz 中的中的u及及y看作不看作不变而对变而对x的偏导数的偏导数 解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yvvzyuuzyz 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu .,sin 1yzxzyxvxyuvezu 和和求求而而设设例例. ,sin ,),( 22222yuxuyxzezyxfuzyx

6、 和和求求而而设设例例解解 xu.)sin21(22422sin22yxyxeyxx yu.)cossin(22422sin4yxyxeyyxy yxezzyxsin22222 yxezzyxcos22222 xf2222zyxex 2222zyxey yzzfyf xzzf 解解 dtdzttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet . ,cos, ,sin 3dtdztveutuvzt求全导数求全导数而而设设例例 dtdvvz tz dtduuz 解解 令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理

7、有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ; 21fyzf . ),( 4 2zxwxwfxyzzyxfw 和和偏导数，求偏导数，求具有二阶连续具有二阶连续设设例例 zxw2)(21fyzfz zf 1 zf1 zuuf1;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf zvvf 1;22zfyzf y . ),(),( ; ),( dyyzdxxzdzyxvyxudvvzduuzdzvufz 有有时时当当全全微微分分具具有有连连续续偏偏导导数数，则则有有设设函函数数 二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性. 式是一样的式是一样的的函数，它的全微分形的函数，它的全微分形、的函数还是中间变量的函数还是中间变量、是自变量是自变量无论无论vuvuz全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质：dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz , ),( , ),( ),( yxvyxuvufz ，设设 ),(),( 的全微分为的全微分为则复合函数则复合函数yxyxfz 解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy