第三章第一节微分中值定理

1、 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用一、罗尔(rolle)定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理一、罗尔(rolle)定理几何解释几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧cabc证证.)1(mm 若若,)(连续连续在在baxf.mm 和最小值和最小值必有最大值必有最大值.)(mxf 则则. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mm 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afm 设设.)(),(mfba

2、使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在),()( fxf, 0)()( fxf, 0 x若若; 0)()( xfxf则有则有, 0 x若若; 0)()( xfxf则有则有; 0)()(lim)(0 xfxffx; 0)()(lim)(0 xfxffx,)(存存在在 f).()( ff( )0.f 例例1 1. 3132)(2上的正确性，区间在验证罗尔定理对xxxf解解内可导，在上连续在显然)3 , 1(,3 , 1)(xf. 0)3(, 0) 1(ff且) 1(2)(xxf又),3 , 1(1 ( , 1取. 0)(f则注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个

3、不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,;2 , 2, xxy,)0(2 , 2的的一一切切条条件件满满足足罗罗尔尔定定理理不不存存在在外外上上除除在在f 内找不到一点能，但在区间2-2. 0)( xf使又如又如,( 1,1;1,1x xyx 在在(-1,1)内可导内可导,y=1，且，且y(-1)=y(1)=1,但它在但它在x=-1处不连续处不连续例例.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx证证, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连续连续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由零点存在定理由零点存在定理. 0)(),1 ,

4、0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.,),1 , 0(011xxx 设设另另有有. 0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.为唯一实根为唯一实根二、拉格朗日(lagrange)中值定理aab1 2 xyo)(xfy cab1 2 xoy)(xfy abcdbd旋转旋转此时，此时，roll定理中条定理中条件件f(a)=f(b)不满足了不满足了.但是过但是过c点的切线还点的切线还是平行

5、于弦是平行于弦ab.roll定理的本质是存在切线平行于弦abab1 2 xoy)(xfy abcd过过c点的切线平行于点的切线平行于弦弦ab.弦弦ab的斜率为的斜率为( )(.)abkf bf aba 过过c点的切线斜率为导数点的切线斜率为导数( )f 故有：故有：( )().(f bfbafa 于是有拉格朗日于是有拉格朗日(lagrange)中值定理中值定理).()(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意).()()( fabafbf结论亦可写成结论亦可写成ab1 2 xxoy)(xfy abcdnm几何解释几何解释:.,abcab线平行于弦线平行于弦在该点

6、处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证证分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦ab方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(abxf减去弦减去弦曲线曲线., 两端点的函数值相等两端点的函数值相等所得曲线所得曲线ba作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxf ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xf. 0)(,),( fba使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式且导数且导数(

7、)( )( )( )f bf afxfxba ,),(,)(内可导内可导在在上连续，上连续，在在设设babaxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也可写成也可写成.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间

8、的关系.推论推论.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数ixfixf12,xxi 21xx ,21xx证明证明对任意的对任意的，不妨设，不妨设在区间在区间上用拉格朗日中值定理得：上用拉格朗日中值定理得：2121()()( )()f xf xfxx 12()xx 0)(f21()()0f xf x 由已知由已知得得 所以所以f(x)在区间在区间上上任意两点的函数值都相等任意两点的函数值都相等 故故f(x)在区间在区间i上是一个常数上是一个常数. 例例2 2).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证1 , 1,a

9、rccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf 0.( 1,1)x 1 , 1,)( xcxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 c即即.2arccosarcsin xx利用拉氏定理证明不等式：利用拉氏定理证明不等式：( )( )( )f bf afba 对于中值公式：对于中值公式：如果能够估计导数如果能够估计导数( )f 的大小，的大小，( )mfm 则有则有( )( )f bf ammba 上述不等式是一个关于函数在上述不等式是一个关于函数在a，b两点的两点的函函数值之差与自变量之差的关系数值之差与自变量之差的关系的不等式。的不等式。所以当遇

10、到此类不等式的证明时，可所以当遇到此类不等式的证明时，可以考虑使用拉格朗日中值定理证明。以考虑使用拉格朗日中值定理证明。比如比如例例3 3.)1ln(1,0 xxxxx 时时证证明明当当分析分析0ln(1)ln(10)0.1xxxx 上述不等式可以写成：上述不等式可以写成：它是函数它是函数y=ln(1+x)的点和点的点和点x函数值差函数值差与与x- -0的一个不等式关系的一个不等式关系所以可以考虑函数所以可以考虑函数f(x)=ln(1+x)和区间和区间0,x例例3 3.)1ln(1,0 xxxxx 时时证证明明当当证证),1ln()(xxf 设设, 0)(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条

11、件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即三、柯西三、柯西( (cauchy) )中值定理中值定理(1) (1) 在闭区间在闭区间 a , b 上连续上连续(2) (2) 在开区间在开区间 ( a , b ) 内可导内可导(3) (3) 在开区间在开区间 ( a , b ) 内内则至少存在一点则至少存在一点, ),(ba使使( )( )( )( )( ).( )f bf afg bg ag 0)( xg如果函数如果函数f(x)与与g(x

12、)满足满足 证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfx,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x . 0)(,),( 使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在ba( )( )( )( )0,( )( )f bf afgg bg a 即即( )( )( ).( )( )( )f bf afg bg ag ,)(xxg当, 1)(,)()(xgabagbg)()()()()()(gfagbgafbf).()()(fabafbf例例4 4).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一点至少存

13、在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析: 结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设, 1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即小结小结rolle定理定理lagrange中值定理中值定理cauchy中值定理中值定理xxf )()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理

14、成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可缺一不可.思考题解答思考题解答 1, 310,)(21xxxxf不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.练练 习习 题题二、试证明对函数二、试证明对函数rqxpxy 2应用拉氏中值定理应用拉氏中值定理 时所求得的点时所求得的点 总是位于区间的正中间总是位

15、于区间的正中间 . .三、证明等式三、证明等式21arctan1arcsin22 xxx )1 , 0( x . .四、设四、设0 ba，1 n，证明，证明 )()(11banababanbnnnn . .五、五、 证明下列不等式：证明下列不等式： 1 1、baba arctanarctan； 2 2、时时当当1 x，exex . .六六、设函数、设函数)(xfy 在在0 x的某邻域内且有的某邻域内且有n阶导数，阶导数， 且且)0()0()0()1( nfff试用柯西中值定理试用柯西中值定理 证明：证明：!)()()(nxfxxfnn ， （， （10 ）. . 七七、设、设)(xf在在 ba