清华大学自主招生试题(含答案)

1、百度文库-让每个人平等地提升自我、选择题1 z21.设复数 z=cos 2+isin 贝工331-z(A)0 (B)1 (C)1 (D)32.设数列an为等差数列,22p,q,k, l 为正整数，则“ p+q>k+l” 是 “ apaqak ai ” 的()条件(A)充分不必要(B)必要不充分(C)充要 (D) 既不充分也不必要3 .设A、B是抛物线y=x2上两点，O是坐标原点，若 OAL。3,则()(A)|OA| - |OB| >2(B)|OA|+|OB|>272(C)直线AB过抛物线y=x2的焦点(D)O至IJ直线AB的距离小于等于14 .设函数 f(x)的定义域为(-1

2、,1),且满足： f (x) >0,x (-1,0)； f(x) + f(y)=f("y) , x、yC1 xy(-1,1),则 f (x)为(A)奇函数(B)偶函数(C)减函数(D)有界函数5 .如图，已知直线 y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则 F(x)= f(x) - kx有()5(A)2个极大值点(B)3个极大值点(C)2个极小值点(D)3个极小值点6 . 4ABC 的三边分别为 a、b、c.若 c=2, Z C=,且 sinC+sin(B - A) - 2sin2A=0,贝U有(A)b=2 a (B) ABC的周长为2+2 J3 (C) 4ABC的面积为(D

3、) 4ABC的外接圆半径为 23337 .设函数 f(x) (x2 3)ex,则(A) f(x)有极小值，但无最小值(B)f(x)有极大值，但无最大值(C)若方程f (x/恰有一个实根，则 b>-6 (D)若方程f (x)=b恰有三个不同实根，则0<b<-633ee8.已知 A=(x,y) I x2y2 r2则()一一 222(A)0V a b <2r (B)(C) Xi X2 = a , yi'2 =b (D)一一,、2,.、2B=(x,y) I (x a) (y b)a(Xi x?) b(yi y) 022a b =2ax1 2by12 一，r ，已知 AC

4、 B=( xi, yi),( x2,y2)，9.已知非负实数x,y,z满足4x2 4y22z +2z=3,贝U 5x+4y+3z 的最/、值为(A)1 (B)2 (C)3 (D)410 .设数列an的前n项和为Sn,若对任意正整数n,总存在正整数 m,使得Sn=am,则()(A) an可能为等差数列(B) an可能为等比数列(0 an 的任意一项均可写成an的两项之差(D)对任意正整数n,总存在正整数 m,使得an = Sm11 .运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观

5、众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )(A)甲(B)乙(C)丙(D) 丁石(D) 312 .长方体ABCD A1B1C1D1中，AB=2, AD=AA1=1,则A到平面 ABD的距离为(A) 1 (B)313.设不等式组|x| |y| 2 y 2 k(x 1)所表示的区域为D,其面积为S,则(A)若S=4,则k的值唯一(B) 若S=-,则k的值有2个2(C)若D为三角形，则0<kw - (D)若D为五边形，则k>4OA AB OB BC oC CA=(329214 . ABC勺三边长是 2,3,4

6、 ,其外心为 O,则(A)0 (B)-15 (C) - 21 (D)215 .设随机事件 A与B互相独立，且 P(B)=0.5 , P(A-B)=0.2 ,则( (A)P(A)=0.4 (B)P(B -A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916 .过 ABC的重心作直线将(A)最小值为3 (B)最小值为417 .从正15边形的顶点中选出ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的(C)最大值为一一 一 5(D取大值为一43个构成钝角三角形，则不同的选法有(A)105 种(B)225 种(C)315 种(D)420 种18.已知存在实数r,使得圆周x2y2 r2上恰好有n

7、个整点，则n可以等于(1 -2a-42nsi屈421 一2JJD1 一2a-4 2Is o c 高421.设数列 an满足:a1 二6an 1n 3an , n(A) ? ne N?, an<(n1)3(B)? nCN?, an W2015(C) ? n C N?, an为完全平方数(D)? n N?,an为完全立方数(A)4 (B)6 (C)8 (D)1219 .设复数z满足2|z| w |z -1| ,则()(A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为1 (C)z的虚部的最大值为 2 (D)z的实部的最大值为1333Ii20 .设 m,n 是大于零的实数，a =(mcosa ,m

8、sin a ), b =(ncos 3 ,nsin 3 ),其中 a , 3 C 0,2 兀)a , 3 11110,2 兀).定义向量 a2 =( Vm cos , Vmsin 一 ), b2 =( Vncos一 ,而sin )，记。=a - 3 ,贝U( )*1*1* J1J1(A) a2 a2= a(B) a2b2= . mncos(C)22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有(A) p =cos23.设函数f(x)1sinsin-2 x1(B) P= (C)2 sin上，则(x 11P =2 cos(D)1 2sin一、4(A) f(x)w (B)| f (x) | w 5|x

9、| (C)曲线 y= f(x)存在对称轴 324. ABC勺三边分别为a,b,c ,若 ABE锐角三角形，则(D)曲线y=f (x)存在对称中心(A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)2,223,33a b c (D) a b c25.设函数f (x)的定义域是(-1,1),若f(0) = f (0) =1,则存在实数 8£ (0,1)，使得()(A) f(x)>0, xC(-8, >)(B)f(x)在(-8, 8)上单调递增(C) f(x)>1, xC(0, s) (D)f (x)>1 , xC (- 8 ,0)26.在直角坐标

10、系中，已知A(-1,0)B(1,0).若对于y轴上的任意n个不同的点 Pk(k=1,2，n),总存在两个不同的点P,Pj,使得|sin ZAPjB-sin ZAPjB|< 1 ,则n的最小值为( 3(A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数x,y满足2x+y=1,则 x+ &y2 的(A)最小值为4 (B)最小值为-(C)最大值为1 (D)最大彳1为1 "28.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（A）存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多（B）存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多（C）存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个（D）存

11、在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个(A)L是轴对称图形2(C)L ? (x,y) I x2#Answer#1.【解析】11-z1= 11z21-zzz = 1 z =1zz z2 1-z z z 2. . 21-cos isin332 cos3.2 i sin32i sin- 3cos(-)isin( 3 )2sin2 3i 2sin cos33isin 2)cos0 i sin01/ cos(2sin cos( ) i sin(7 ) i sin(6)29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如 12231,则能得到的不同的五位数有（）（A）300

12、个（B）450 个（C）900 个（D）1800 个30.设曲线 L 的方程为 y4 (2x2 2)y2 (x4 2x2) =0,贝U (B)L是中心对称图形211、y <1 (D)L ? (x,y) I - y< -1J31 人= -5=(cos isin i)=1,选 B36622,与公差d的符号有关，选 D2.【简解】 apaq(ak向)=(p+q)-(k+l)d3.【解析】设A( x1, x12),B(2、x2,x2 ),oA 0b=X1X2(1x1 X2 ) =0X21X1答案(A), |OA| |OB|=Jx12(1 X12)(1 十)=X1212X11 >J2

13、2|X1 | =2,正确；答案|X1|(B),|OA|+|OB| R2j|OA| |OB|A2V2 正确;答案(C),直线 AB 的斜率为22X2X1 _XX2X1X1=X1 方X1程为y-x； =（x1工）（x-x1）,焦点（0,工）不满足方程，错误；答案（D）,原点到直线AB：（x11）x-y+1=0x14x1的后巨离d=< 1,正确。选ABD4.【解析】x=y=0 f (0) =0,y=-x f ( x) f (x) , f (x)为奇函数，(A)正确；f(x)/0, (B)错误;x1 x2Xx2, f(x1)-f (x2)= f (x1)+ f (x2)= f >0f (x

14、)> f d) f (x) J ,(C)正确;1 K”f(x)=-tan x满足已知条件，但无界，(D)错误。选A,C 25 .【简解】将直线平移知：斜率为k的直线，与曲线y= f(x)至多有五个公共点，其中在此直线先下方后上方的两个区间，先上方后下方的三个区间，故F(x)有三个极大值点，两个极小值点。选 BC6 .【解析】2R= =&R=2V3,D正确;sin C 、33cosA=0 或 sinB=2sinAA=一 或2又 sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosAb=2 a ; A=时，b= -33 ,

15、 a = -J3，周长为 2+ J3 ,面积为一J3 ； b=2 a 时， 2333c2 = a2 b2 2ab cosCa =273,B=-,同样有周长为2+73 ,面积为243 。选BCD3237.【简解】f (x)=(x+3)(x-1) ex, f极大(x)f( 3) ?, f极小(x)f(1) -2e,作出其大致图象，如图e选BD8.【解析】已知即半径相等的两圆。 O:x2 y2 r2与。C:(x a)2 (y b)2r2交于相异的两点222P(x1,y1)、P2(x2, y2)°0<|OC|<2|r|0<a2 b2<4r2,(A)错；四边形 OP1C

16、P2是菱形对角线 OC与 P1P22. 22222垂直且平分，(B)(C)正确;(D)a b=2ax12by1(ax)(by)xy|CR|0川正确。总之，选BCD9.【解析】关于z的方程z22z 4x2 4y2 3 0有非负实数解，z=-1+2 Jiy2 >0£ 0,d=5x+4y+3z=5x+4y+6 小x2-3,设 x=rcos 0 ,y=rsin 0 , 0 0, 2,rd二r(5cos 0 +4sin 0 )+6 J1r2 -3=r V29 sin( 0 +arctan 5 )+6 >/1 r-3R4r+6 j r2 -3=2(2r+3 Ji r2 )-3,设 a

17、 = (2,3) , b =(r,不d>2a-3二2 | a | b | cos()-3,作图知)-3=2 . 13 cos10.【解析】答案(A),常数列0,0,0,满足要求；答案(B),公比q=1时因na w a1，结论假,qw 1时,)最大值是b与OY夹角，此时d>2而 后-3=3。选C阚(1 qn)1 qm 11 qaqfV 1 q常数，也不可能；答案(C), an Sn S-二am a/满足要求；答案q(D), an = Sm = at ,并非对所有数列成立。选 AC11 .【简解】答案甲乙丙不能保证只有一个正确，故选 D12 .等体积法，选B13 .【解析】如图：不等式

18、组表示过点P(-1,-2)的直线的下方与正方形 ABCD5成的面积图形百度文库-让每个人平等地提升自我9>4,故S=4只有一解，（A）正确； PAB P3P4D的面积分别 5为4、1,都比1大，故再两个三角形内各存在一个围成面积为是三角形，（C）错误；围成五边形，斜率大于直线 PC的斜率14.【简解】取 AB的中点 D,则OA AB =OAX ABX cos（ u .1 一的直线，（B）正确；k<0时，围成的仍然24, （D）正确。选ABD/一如一、如一，如/一如一、12/ OAB尸-ABX （OAX cos / OAB尸- AB ,同理oB bC =2BC2,12122229,C

19、A2,原式=(AB2 BC2 CA2)一.选 D22215 .【简解】设 P(AB)=x,则 P(A)=0.2+x ,根据 P(AB)=P(A)P(B)有 x=(0.2+x) X 0.5x=0.2;P(A)=0.4 ,(A)正确；P(B-A)=0.5-0.2=0.3,(B) 正确；P(AB)=0.2 , (C)正确；P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7,(D) 错误。 选ABC16 .【解析】设 ABC的重心为G,面积为1,过点G的直线与三角形边 AR AC分别相交于 D> E, AD=xAB,AE=yAC,1则有一ABX ACsinA=1,如图2特别的x,y £

20、; 0,1当 x,y C (0,1)时,时，DE为三角形的中线，此时分成两部分面积比值为1 ADE面积 S=1 ADX AEsinA= - xABX yACsinA=xy,D、G E 三点共线存在实数入,2aG =(1-入得 DG de Ag AD(1 )x13，消去入得到1 -=3,x y)AD + X aE =(1-入)x W11因一一A2x y1 1 _2 x y . S> 4,等号成立当且仅当x=y= - DE/ BC,故S最小值为-,1-S的最大值为-；故两面积比值有最小值93994 一 ， 5.4 ,最大值5。选BD5 417 .【解析】先看一个顶点处构成钝角的三角形个数，加

21、设此点为A,从A逆时针方向的点依次记为Ak(k=1,2,3,7)，顺时针方向的顶点依次记为Ak(k=1,2,3, ,7) , AnAA m要构成以A为钝角的钝角三角形，则 n+m<7,有1+2+3+6=21个。于是共可构成 15X 21=315个钝角三角形。选 C18 .【简解】正数点关于x轴、y轴对称，故一定是 4的倍数。选 ACD141219 .【简解】设x=x+yi(x,y R),代入化简得到(x 1)2 y2 4,表示以(-,0)为圆心，以-为半径的3933圆及其内部，根据图形，选 ACD62112-r a*1a2是一个数值，不是向量，(A)错;1一2lb1一2Jr amncco

22、s - cos+jmnsinsin 一=jmncos=jmncos ,(b)正确；2222221141一_.一| a2b2 /= ( m cos n cos)2+ ( m sin . n sin )2=m+n-2 . mncos 22222m+n-2 Jmn cos n 2 Jmn (1-cos )= 4/mn sin2 ,(C)正确； 224同理(D)正确选BCD21 .【简解】an 1n 33.2. ，迭乘得到 an=(n+2)(n+1)n ； an (n 1)n(n+2)< (n 1) ,(A)正确；2015=5annX 13X31,不可能是三个连续整数之积，(B)正确；三个连续整

23、数积不可能为完全平方数和立方数，(C)(D)错误。选AB122 .【简解】(A)去分母，化成直角坐标方程为x+y=1 ,表示直线;(B)为P =2表示椭圆；(C)1 2cos(-)1为P =12表示椭圆;1 cos2423.【解析】f (x) < 435|x| |sin 兀 x| w | x3(D)为p =!表示双曲线。选 BC21g(x)= 4x 4x 4 3sin x > 0, g极小值(x)=g()=0,(A)正确；|f (x) | w 2O 1 Ixx |.作图象知成立，(B)正确；x=是其一条对称轴，(C)正确；2f (a x) f (a x)不可能为常数，故(D)错误。

24、选ABC24.【简解】A+B>一a>一-B sinA>sin( -B尸cosB,tanA>tan(-B尸cotB,(A)(B)正确；锐角三角形，一定有a2 b2c2 , (C)正确；三角形三边长为0.5,0.9,1 时，满足锐角三角形条件，但330.50.90.854 <1, (D)错误。总之，选 ABC25 .【解析】根据导数定义，对任意£ >0,存在8 >0,当|x|< 8时，|fx一空)-1|< £x(1-Xf (x) >0,(B)正£ )+1< f(x)<x(1+ £ )+1 ,对e取值可知(