曲线积分复习题答案知识分享

1、曲线积分复习题答案精品文档曲线积分2 j y )ds.、第一类曲线积分1.设平面曲线L为下半圆周yV1 x2 ,求L(x2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除解：曲线 L ： x cost , y sint , t ,2 , ds1dt, L(x2 y2)ds2dt2.设一段锥面螺线L： x et cost , y eet 0 t 2冗上点x, y, z处的线密度为x,y,z x2=,求该构件的质量.z解：计算微分ds.x (t)2y (t)2z(t)2dt (et costet sin t)2 (et sin tet cost)2e2t dt2t 2 . 2t,2(e cos t esin2

2、1) e2t dt. 3e2t dt. 3etdt3.计算 L <2yds ,解：Li: yM L (x, y)ds其中L是抛物线y x2上点2x ,x0,1,ds1 4x2dx,2 3e2tdt0 . 2e2t(0, 0)与:苏也奴飞 22 0xv1 4x2dx3262(1,1)之间一段弧.1d 2 .8x. 1 4x dx0. 2 122. 1 4x d(1 4x )8 0、232 59五(5, 594.设一折线型构件占有xoy面上曲线弧L ,L为连接点A(2,0),0(0,0)与点B(0,3)的折线段，且在曲33线L上点x, y处的线密度为 x, yx3y3,求该构件的质量.解：M

3、 l (x,y)ds, LL1 L2, L1 是先沿直线从点 A(2,0)到点 0(0,0),L1: y 0, x:20,cc2 c(x, y)ds (x y )ds (x 0) .1 0dxL1L10L2 是沿直线点从 0(0,0)到点 B(0,3) , L2： x 0, y:03,L2 (x,y)dsL2(x3 y3)ds：(y3 0) . 1 0dy814，M L (x, y)ds81 4 97解：L：xa cost, y a sin t, t 0, ,ds adt . L ex y ds4 eaadt0a a aae e .44、第二类曲线积分r6.设一质点在力Fr ryi xj的作用

4、下，沿圆周x Rcost, yRsint上由 t10 至1Jt2的一段弧移动作的功2L为:Rcostt: 0 . dxRsint2Rsintdt, dyRcostdt ,Lydxxdy02 Rsint( Rsint)dt Rcost Rcost dt/2 R20. 2 ,2 ,sin t cos tdt_2_.R cos2tdt1R2sin2t 27.计算Lx3ydy ,其中L是抛物线yx2上从点（0,0）到点（1,1）的一段弧.解：L : y x2, x: 01, dy3,2xdx , l x ydy132x x 2xdx02x778.计算 L(x y)dx (y x)dy,其中(DL是先沿

5、直线从点（1,1）到点（1,2）,然后再沿直线到点（4,2）的折线.(2)L是抛物线y2 x上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧解:（1）Li是先沿直线从点（1,1）到点（1,2）,L1: x 1,y:12,Li(X2y)dx (y x)dy 1 (1 y)0 (y 1)dyL2是沿直线点从（1,2）到点（4,2） , L2: y 2,(2) L3：x9.设有L (xL2y)dx (y2,2/ 2 1 (y平面力场到点2a,0所作的功W1,解：曲线 L： x a a cost4x)dy 1 (x 2)dx272，27L(x y)dx (y x)dy= 14L(x y)dx (y x)dy、c

6、 ,2、 ，2y) 2ydy (y y )dy 1(2y3、，,1 4 y)dy (- y1 33yi ,将一质点沿曲线L:22(x a) yy2)3430从点a, a移动W l-22,.x a y dx0(a2)(2asint)dt a3 1 , a 110.设一质点在力Fyizjxk的作用下,从点A 0,1,2沿直线段移动到点B 2,3,5 ,求力F作的功W.解：直线AB的方程为:x 2t, y 2t 1,z 3t 2,点 A 0,1,2对应t 0,点B 2,3,5 对应 t 1 , t : 01,W l ydx1zdy xdz o(2t 1) 2dt (3t 2) 2dt2t 3dt 1

7、4、格林公式及积分与路径无关11.计算?L(x42xy 3y)dx(x2y2)dy ,其中L是曲线x2 y22 y取顺时针方向.解：P(x, y) x42xy 3y,Q(x, y)x22 P c 。 Qy , 2x 3,?L(x422xy 3y)dx (xy2)dyQP( )d d xy3dD12.计算曲线积分I Lexsin y 2xdx/ x(e cos yx)dy ,其中L为曲线y 。1 x2上点A(1,0)沿逆时针方向到点B(1,0)的一段弧.- P解： yQ x/cos y ,e cos y 1 , x,用格林公式，添加直线段 BA,形成封闭曲线L直线段BA :13.设 L x2解：

8、P(x,y)x?l e sin y 2xdx2x，逆时针方向,ysinx,Q(x,y)?y sin xdx cosxdy 014.设一变力在坐标轴上投影Xx(e cos yx)dy ( 1)dD1d 一d2xx_.e sin y 2xdx (e cosyL ?LBA2求? y sin xdx cosxdy .cosx,42xy y此场内移动时场力所作的功与路径无关；(3,2)x)dy12xdx 01sin x ，所以曲线积分与路径无关， xY x2 4xy3 ,这力确定了一个力场.证明(1)质点在求质点从点A(1,0)移动到点B(2,1),该变力所作的功.解：功Wl(2 xy y4 3)dx

9、(x2 4xy3)dy ,其中 P(x, y) 2xy y4 3, Q(x, y) x2 4xy3,2x 4y3 / ,因为上Q,所以曲线积分与路径无关.即场力所作的功与路径无关. xAO : yOB : x(2)求质点从点0, x :12, dy2,1, dxA(1,0)移动到点B(2,1),该变力所作的功.选择折线段 AOB42320, W1一(2xy y 3)dx (x 4xy )dy 3dx 3AO10,W2oB(2xy1y 3)dx (x 4xy )dy °(4 8y )dy (4 y 2y )W W1 W2515.计算L(x2y)dx(xsiny)dy,其中L为圆周y J

10、2x x2上由点O(0,0)到点B(1,1)的一段弧.解 Q P(x, y)Q(x,y)P.积分与路径无关. y添加直线段OA : y 0,1,y:01 .(x2ABy)dx (xsin y)dy10 (1 sin y)dy1y cosy)。cosl(x2OA 'y)dx (x16.设L为由2y,17.求-p解： yl(x2x 0, xy)dx (x siny)dy 尿 ABcosl 2cosl2, y 0, y 3所围成的逆时针方向的封闭折线，求2y,所以曲线积分与路径无关，？L(1 y2)dx 2xydy 0(2,0) x(00)e cosydx sin ydy .ex siny ,所以曲线积分与路径无关.选择线段OA y x0, x: 0(2,0)(0,0)ex cosyd