两向量的内积

1、1.31.3 两向量的内积两向量的内积 一 向量内积的定义和性质二 用坐标计算向量的内积三 方向角和方向余弦 cos|sfw (其中其中 为为f与与s的夹角的夹角)启示启示实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.fm1m2s一一 向量内积的定义和性质向量内积的定义和性质 | cos( , ),( , )0( , ).a ba ba baba ba baba b 两向量 ， 的内积，记为，规定为一个实数： 其中是 与 的夹角，且 定义1.3.10 . a bab 若、中 有 一 个 是 零 向 量 ， 则 |; 0,0 cos( , ).|aa aa bab

2、a bab 由定义易知当时，0.aba b 若 与 互相垂直当且仅当)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba )(,ba , 0cos . 0cos| baba证证 ,2 ,2 命题 1.3.1故显然是垂直的。方向是任意的，由于零向量的有一个是零向量时或当, ba(1),(2) ()(),(3) (),(4)0,=0a bb aaba babca cb ca aa 等号当且仅当时成立., ,a b c对任意的向量及实数 ，向量的内积满足以下规律：abcdoabd(1),(2),(4)3, , ,.=. (,),(,),(,)., ,a b ca b coa aob boc

3、cod aboa ocob ocod oca b doca 证明：由定义容易证明，下只证（ ）：若中有零向量，则等式成立.下设皆为非零向量如图：设，过点分别向所在直线作垂线，垂足分别是, ()| | | cos| | |(|cos|cos).|cos|cos|cos,()b dabcabcc oda cb ccababababca cb c ，则由平面几何知识易证：因而 , ,. ,()0, ,()0,()0.abcab caooa b cabccobacabboacbcaacboabcabcbco 证明： 设边上的高交于 点，以 为始点，以为终点的向量分别记为 ， ，由得由得以上两式相加，可

4、得所以，即：中边上的高通过 点，证明了三高交于一点ab cabco例 证明三角形的三条高交于一点。 例例 用向量法证明余弦定理用向量法证明余弦定理 .cos2222cabbacabcabc222 () ()2 2cos .cabaccbabc cababa ab ba bcababc 证明： 如图，故证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(二 用坐标计算向量的内积用坐标计算向量的内积 12312312333311,1 ; ,=( ,),( ,), =() () .iiiiijijiii jo e e eaa a abb b ba ba

5、 eb eab e e 取仿射标架设向量则有123123, ; ,.e e eo e e e 可见，只要知道坐标向量之间的内积，就可以求出任意两个向量的内积，这九个数称为仿射标架的度量参数12331 ; ,1 0. .ijiiio e e eije eija bab 如果是直角标架，则有故由上式得：定理定理1.3.1 在直角坐标系中，两向量的内积等于 它们的对应坐标的乘积之和.xyzo)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr),(zyxm rnomr 由勾股定理由勾股定理omr 222oroqop.,kzorj yoqi xop 由由,zoryoqxop 有有222zyx

6、r 向量模的坐标表示式向量模的坐标表示式oroqop向量的模与空间两点间距离公式xyzo),(222zyxb),(111zyxa),(111zyxa设设),(222zyxb为空间两点为空间两点. . ? abdoaobab 由由),(),(111222zyxzyx ),(121212zzyyxx 212212212zzyyxxab 空间两点间距离公式空间两点间距离公式abd 空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab ),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，特殊

7、地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在规定它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 三三 方向角与方向余弦方向角与方向余弦非零向量非零向量 的的方向角方向角：r非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo m 由图分析可知由图分析可知 cos|rx cos|ry cos|rz向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .),(zyxomr 设设xyzo ),(zyxm 0222 zyx当当 时，时，,cos222zyxx ,cos222zyxy .cos222zyxz 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征re|rr ).cos,cos,(cos 上式表明，以向量上式表明，以向量 的方向余弦为坐标的向的方向余弦为坐标的向量就是与量就是与 同方向的单位向