高三数学《一题多解一题多变》试题及详解答案2

1、高三一题多解一题多变题目一题多解一题多变（一）原题：f x =mx2 +8x + 4的定义域为r ，求 m 的取值范畴解：由题意mx2+ 8 x +4 0 在 r 上恒成立m0 且0 ，得 m4变 1：f x =log 3mx2 +8x +4 的定义域为r，求 m 的取值范畴解：由题意mx2 +8 x + 4 >0 在 r 上恒成立2m0 且 <0 ， 得 m > 4变 2：f x =log 3 mx+8x +4 的值域为r，求 m 的取值范畴解：令 t =mx2 +8 x +4 ，就要求t 能取到全部大于0 的实数，当 m0 时， t 能取到全部大于0 的实数当 m0m40

2、 时， m >0 且 0 . 0m 4变 3： fx =log 3mx 2 + 8 x +2n 的定义域为r,值域为 0,2 ，求 m,n 的值x+ 1解：由题意，令mx2 +y =8x +n 1,9 ，得（y - m） x2- 8xy - n0x 2ym 时， 0+ 1y 2 - mn ymn - 160 -1 和 9 时 y2- m +n y +mn - 16 =0 的两个根m = n = 5n - m当 y =m = n =m 时， x = 085xr ，也符合题意一题多解-解不等式 3 <2 x - 3< 5解法一：依据肯定值的定义，进行分类争论求解（ 1）当2 x

3、- 3 0 时，不等式可化为3 <2 x - 3 < 5. 3 <x <4（ 2）当2 x - 3 <0 时，不等式可化为3 <-2x + 3 <5 . -1 <x <0综上：解集为x 3 <x < 4或 - 1 <x < 0 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于2 x - 3>3且2x - 3 <5 . 3 <x <4或1 <x < 0综上：解集为x 3 <x < 4或 - 1<x < 0 解法三：利用等价命题法原不等式等价于3 < 2x - 3

4、 <5或 - 5 <2x - 3 <-3 ，即 3 <x < 4 或 - 1<x < 0解集为x 3 <x < 4或 - 1<x < 0 解法四：利用肯定值的集合意义原不等式可化为3 <x - 3 <225 ，不等式的几何意义时数轴上的点2x到 3 的距离大于23 ，且小于25 ，由图得，解集为2x 3 <x < 4 或-1 < x < 0 一题多解一题多变（二）已知 sn 是等比数列的前n想项和，s3 , s6 , s9 成等差数列，求证：a2 , a5 ,a8 成等差数列a 1一q n 法

5、一：用公式sn =1，1一q由于 s3 , s6 , s9 成等差数列，所以s3 +s6 =2s9 且 q 1就1a 1一q 3 +a 1一q 6 9361=2a11一q 9 36. q+ q=2q q 1 . 1+ q= 2q1一q1一q1一q所 以 a2 +a5 =a1q +a q4 =a q2q 6 =2a q 7 =2a8111所以a2 , a5 , a8 成等差数列法二用公式sn =a1 一a nq ，1一qs3 +s6 =2 s9 ,a1一a 3q +1一qa1 一a 6q =1一q2a1 一a9 q1一q就 a3 +a6 =2a9 .a2q +a5 q =2a8 q.a2 +a5

6、 =2a8 ，所以a2 , a5 , a8 成等nn2 n差数列证法三：（用公式s2n =sn 1+q , s3n =sn 1+q+ q ）s6 =s3 +a4 +a5 +a6 =s3 +a1 +a2 +a q3 =1+q 3 ss9 =s3 1+q3 + q 6s3 +s6 =2s9 .s3 +s3 1+q3 =2s31+q3 +q6 33解得 q 3 =一 1 （下略）2变题：已知sin =4 且 是其次象限角，求5tan 解：是第二象限角，sin =4 . cos = 一51一 sin 2 =34一, tan = 一53变 1： sin =4，求 tan 54解： sin => 0

7、 ，所以 是第一或其次象限角5如是第一象限角，就cos =34, tan =53如是其次象限角，就cos =一 4 , tan =一 453变 2：已知sin =mm >0 求 tan 解：由条件0 < m 1 ，所以当0 <m < 1时， 是第一或其次象限角如是第一象限角时cos=1一m2 , tan =m 1一m2如是其次象限角cos= 一1一m2 , tan = 一m1一m2当 m = 1 时 tan 不存在变 3：已知sin =m m1 ，求tan 解：当m = 1, 一1时，tan 不存在当 m =0 时，tan = 0当 时第一、第四象限角时，tan =m1

8、一m2当 是其次、第三象限角时，tan = 一m1一m2一题多解一题多变（三）题目：求函数f x =x + 1 xx0 的值域22方法一：判别式法-设 y =x +1x，就 x- yx + 1=0 ，由 =y- 4 0 .y 2当 y =2 时，1x2 -2 x + 1 =0 .x =1 ，因此当x = 1 时，f x =x + x x0 有最小值2，即值域为 2,+ 方法二：单调性法1先判定函数f x =x +x x0 的单调性任取 0x1x2 ，就f x1 -f x2 =x1- x2 x1 x2 x1 x2- 1当 0x1x2 2 时，即f x1 f x2 ，此时f x 在 0,1 上时减

9、函数当 2x1x2 时，f x1 f x2 f x 在 2,+ 上是增函数由 f x 在 0,1上是减函数，f x 在1,+ 上是增函数，知x = 1 时 ，f x 有最小值2，即值域为 2,+ 方法三：配方法f x =x +1 = xx -1 2 +x2 ，当x -1=x0 时， x =1 ，此时f x 有最小值2，即值域为 2,+ 方法四：基本不等式法f x =1x += xx 2 + 12 2x1x=2 xf x 有最小值2，即值域为 2,+ 变题原题： 如函数f x =ax21+ 2 x+的定义域为r，求实数a 的取值1范畴解：由题意得ax 2 +2 x + 10 在 r 上恒成立，就

10、要求a0且 =4 - 4a0 .a1变式一：函数f x =log 2 ax+2x +1 的定义域为r ，求实数a 的 取2值范畴解：由题意得ax 2 +2 x + 10 在 r 上恒成立，就要求a0且 =4 - 4a0 .a1变式二：函数f x =l o gax2 +2x +1 的值域为r ，求实数a 的 取2值范畴解：令 u =ax 2 +2 x +1 能取到全部大于0 的实数，就a = 0 时 ， u =zx +1 能取到全部大于0 的实数a 0 时， a0 且 =4 -4a 0.0a 1综上 0 a 1一题多解一题多变（四）题目：求函数f x =x + 1 xx0 的值域方法一：判别式法

11、-设 y =x +1x，就 x2- yx + 1=0 ，由 =y2 -4 0 .y 2当 y =2 时，1x2 -2 x + 1 =0 .x =1 ，因此当x = 1 时，f x =x + x x0 有最小值2，即值域为 2,+ 方法二：单调性法1先判定函数f x =x +x x0 的单调性任取 0x1x2 ，就f x1 -f x2 =x1- x2 x1 x2 x1 x2- 1当 0x1x2 2 时，即f x1 f x2 ，此时f x 在 0,1 上时减函数当 2x1x2 时，f x1 f x2 f x 在 2,+ 上是增函数由 f x 在 0,1上时减函数，f x 在1,+ 上是增函数，知x

12、 = 1 时 ，f x 有最小值2，即值域为 2,+ 方法三：配方法f x =1x += xx -1 2 +x2 ，当1x -=x0 时， x =1 ，此时f x 有最小值2，即值域为 2,+ 方法四：基本不等式法f x =1x += xx 2 + 12 2x1x=2 xf x 有最小值2，即值域为 2,+ 变题原题： 如函数f x =12ax+2 x+的定义域为r，求实数a 的取值1范畴解：由题意得2ax+2 x + 10 在 r 上恒成立，就要求2a0且 =4 - 4a0 .a1变式一：函数f x =log 2 ax+2x +1 的定义域为r ，求实数a 的 取值范畴解：由题意得2ax+2

13、 x + 10 在 r 上恒成立，就要求a0且 =4 - 4a0 .a1变式二：函数f x =l o gax2 +2x +1) 的值域为r ，求实数a 的 取2值范畴解：令 u =ax 2 +2 x +1 能取到全部大于0 的实数，就a = 0 时 ， u =zx +1 能取到全部大于0 的实数a 0 时， a0 且 =4 -4a 0.0a 1综上 0 a 1一题多解一题多变（五）xy22题目：椭圆1 的焦点是f1、f2 ，椭圆上一点p 满意pf1pf2 ，2516下面结论正确选项（）（ a）p 点有两个（ b）p 点有四个（ c）p 点不肯定存在（ d ）p 点肯定不存在解 法 一 ：以 f

14、1 f2 为直径构圆，知：圆的半径rc34b ，即圆与椭圆不行能有交点；应选d解 法 二 ：由题知 s pf1 f2 max1f1f 2b23412，而在椭圆中：s pf1 f2b 2 tan416 ，不行能成立 1216, 故 选 d解 法 三 ：由题意知当p 点在短轴端点处3f1pf2 最大，设f1 pf22，tan1,4,此时4f1 pf2 为锐角，与题设冲突；应选d解 法 四 ：设 p5con,4sin ，由pf1pf2 , 知pf1pf2pf1pf20 ，而pf1pf25con3,4 sin 5con3,4 sin25con 2916 sin 20con 279无解，应选d解 法 五

15、 ：设pf1 f2，假设pf1pf2 ，就| pf1 | pf2 |6con6 sin62 sin624，而 | pf1 | pf2 |2a10即： 1062 ，不行能；应选d解 法 六 ：222conf1 pf2| pf1 | pf2 |36| pf1 |2| pf2 | 2 | pf1| pf2 |36642 | pf1 | pf2 | pf1| pf2 |2 | pf1| pf2 |2 | pf1 | pf2 | pf1321| pf 2 | pf1321| pf 2 | 22321725250 ，故f1 pf290pf1pf2 不行能；应选d解 法 七 ：设 p x0 , y0 由焦半

16、径知：| pf1 |aex053 x50 , | pf2 |aex053 x ,2205pf1pf 22| pf1 | pf2 | f1f2 |x253325x0 5325x0 5102182x050252625x09而在椭圆中| x0 |5 而| x0 |25 >8 ,故不符合题意，应选d3解 法 八 .设圆方程为：x2y 29x 2y 2椭圆方程为：12516两者联立解方程组得：16x 225 y 2251616x 2259x 2 25169x 22516259257x22579不行能故圆 x2y 2x2y29 与椭圆1 无交点2516即pf1 不行能垂直pf2故 选 d一题多解一题

17、多变（六）一变题：课本p110 写出数列 an 的前 5 项： a11 ,an411an-1变题：已知函数f x2 x12 ,x2，, 1设f x 的反函数为y = g x ，a1 =1, a2 =ga1 an =g an -1 ，求数列 an 的通项公式；11解：由题意得，y = g x = 1 -x ， an2= 1 -an-12nn1a21 a322) ， 令3bn =a n -2，就 bn 是以31 为首项，3- 1 为 公2比的等比数列，故 bn =1 -31 n-12 n 122n +-1n -1从而，a n =bn += 33×2n -1n 1二、一题多解已知函数f x

18、 = 1x 2 +2 x + xa, x 1,+ （ 1）当 a =时，求函数2f x 的最小值； -（ 2）如对于任意x 1,+ ,f x >0 恒成立，试求实数a 的取值范畴，解：（ 1）当 a =1 时，2f x =x + 2 +1 2 + 22x2 ，当且仅当x =2 时2取等号由f x =kx +k > x0 性质可知，f x 在2 ,+ 上是增函数2x 1,+ ，所以f x 在1,+ 是增函数，f x 在区间1,+ 上的最小值为7f 1 =2x2 +2 x + a（ 2 ） 法 一 ： 在 区 间 上1,+ ，f x => 0 恒 成 立x.x 2 +2x + a

19、 >0 恒成立设 y =x2 +2x + a ，x 1,+ y =x 2 +2x+a = x + 1 2 +a - 1在 1,+ 上增所以 x =1 时，ymin= a +3 ，于是当且仅当ymin= a + 3>0 时，函数f x >0 恒成立，故 a > -3法二：f x =x + a +x2, x 1,+ 当 a 0 时，函数f x 的值恒为正；当 a <0 时，函数f x 为增函数，故当x = 1 时，ymin= a +3 ，于是当且仅当ymin= a + 3 >0 时，函数f x >0 恒成，故a > -3法三：在区间1,+ 上， f

20、x =x2 +2 x + a>x0 恒成立 .x 2 +2 x + a > 0恒成立. a >- x2 -2x 恒成立，故a 应大于u = - x2 - 2 x ，x 1,+ 时的最大值-3，所 以 a > -3一题多解一题多变（七）12原题： :如f =x + x1+ xx >0 ,就f x =分析:用倒数换元解:令 t =1就x =x1 ,所以t1f t =+ t1 21+ t > 0t将 t 换成 x 得到:1f t =+ x121 + xx > 0变题 1：设f x 满意关系式f x +2 f 1 =x3x, 求f x 的解析式解： t =11

21、就x =xt1f +t12 f t = 3t将 t 换成 x 得到:11f +x2 f x = 3x1与原式联立方程组消去f 得到xf x2x x0 x变题 2：已知af xf xbx ，其中a 2 1 试求f x的解析式解：用相反数换元令 tx, xt 代入到原式当中得到：af t f t bt将 t 换成 x 得到:af xf xbx与原式联立方程组，得到：a21) f xba1xa 2 1f xba1 ba 21 xa1 x变题 3：已知af 4x3bf 34x2x, a2b2 ，试求f x的解析式解：令 4 x3t ，就2x =t + 32 aft t3bf t 21将 1中 t 换

22、t 得到:af t bf t t3 2与 1 联立方程组得到：a 2b 2 f tab3tab22a 2 b 2f t 1t32 ab2 abf x13x2ab2ab 变题 4：已知af xn f xn bx，其中 a 21, n为奇数，求f x解：设xn =t , x = n t代入原式得：af t f tb n t将 t 换成 t 得到:af t +f t = bn t与上式联立方程组得到a 2 1 f t =ba +1 n ta 2 1f xb aa 21 n t 1bn t a1f x 的解析式为：f xbaa 21 n xbn x1) a1一题多解题目：设二次函数f x 满意f x

23、2 =f x 2，且函数图象y 轴上的截距为 1，被 x 轴截的线段长为22 ，求f x 的解析式分析：设二次函数的一般形式f x =ax 2 +bx +ca 0，然后依据条件求出待定系数a,b,c解法一：设f x =ax2 +bx +ca 0由 f x 2 =f x 2， 得：4a b = 0又x1 x2 = 22a b 2 4ac = 8a 21由题意可知c = 1解之得：a =, b = 212, c = 1f x =x+2x + 12解法二：f x 2 =f x 2，2故函数 y =f x的图象有对称轴x = 2可设 y =a x +2+ k函数图象与y 轴上的截距为1，就4a + k

24、 = 1又被 x 轴截的线段长为22 ，就x1 x2 = 22d整理得：2a + k =0解之得：a =1 , k = 121f x =x+2x + 12解法三：f x 2 =f x 2，故函 数y =f x的 图象 有 对 称 轴x = 2， 又x1 x2 = 22y =x与 x 轴的交点为： 2 22，0， 2+ 22,0 故可设 y =a x +12 + 22 f 0 =11, a =2 f x =x + 2 x + 12一题多解一题多变（八）原题设 y =f x 有反函数y =f-1 x ，又y =f x +2) 与 y =f -1 x -1互为反函数，就f -1 1 -f -1 0

25、= （教学与测试p77）变 题设y =f x有 反 函 数y =f-1 x ， 又y =f x + 1的 图 象 与y =f-1x + 1 的图象关于y = x 对 称（ 1） 求f 1 -f 0 及f -1 1 -f -1 0 的值；（ 2） 如 a ,b 均为整数，请用a, b 表示f a f b 及f -1 a -f -1 b解1因y =f-1x + 1的反函数是y =f x -1，从而f x + 1 =f x -1 ,于是有f x + 1 -f x =-1，令 x = 1 得f 1 -f 0 =-1 ；同样，y =fx + 1得反函数为y =f-1 x - 1，从而f -1 x + 1

26、 =f -1 x - 1，于是，f -1 x + 1 -f -1 x =-12f x+2 -f x +1 = -1,而f x + 1 -f x = -1,故f x +2 - f x - 1 =-1 , 即f x +2 -f x =-2 ,f x +n -f x =-n ，从而f a -f b =f a +b - a -f a =b - a 同理，f -1 af -1bba 一题多解1 函数f xx2bxc,f 1f 3 ，就（ a）f1cf 1（b） ）f1cf 1（c） ） cf1f 1（d） ） cf1f 1解法 1.由f 1f 3 知f x 的图象关于x = 1 对称，得 b2而f 11

27、221cc1,f 1-1221cc3，且c3cc1，因此f 1cf 1 .解 法2. 由f 1f 3 知f x的 图 象 关 于x = 1 对 称 ， 而c =f0 ，而f x 在 1,1上递减，易得答案为by-101x一题多解一题多变（九）姜忠杰变题原题：如在区间y = x 2- ax- a2 在区间-,1-3 是减函数，就a 的取值范2围是多少？2变1：如函数y =x- ax - a在 -,1-3) 上是减函数，就a 的取值范围是多少？2变 2、如函数 y =log 1 x2- ax - a 2 在 -,1 -3 上是增函数， 就 a 的取值范畴是多少？2变3、如函数y = log 1 x

28、2- ax- a 2 在 -,1 -3 上是增函数，且函数的值域为 r，就 a 的取值范畴是多少？解：函数 y =x 2 - ax - a 2 的减区间为（- ，a ， -,1-3 .（- ，a 22 2 - 23，+）-变 1、设 u =x 2 - ax - a2 ，就 u 在 -,1 -3 为减函数， 且在-,1 -3 ，u 03所 以 有 1 -a 且 u （ 1 -3 ） 0， a 的 取 值 范 围 是2 3-11 -25,3-11+5 2a变 2：设 u =x 2 - ax - a 2 ，就 u 在为减函数，且在-,1 -3 ， u 0-所以有1-32 且 u （ 1-3 ） 0，

29、 a 的取值范畴是3-11 -253-11+5 2,变 3： 设 u =2x- ax- a 2，就 u 在 -,1-3 减区间， u 在 -,1 -3 取到一切正实数21 -3 a ， u1 -3 =0 ，所以 a = 3-11-25 或 3 -11+5 2一题多解：设 a +lg a = 10， b +10 b =10，求 a +b 的值；解法一（构造函数） ：设f x =x + lgx ，就f a =10 =b + 10b= lg 10b+ 10b =f 10b ，由于f x 在 0,+ 上是单调递增函数，所以a = 10b，故 a +b = 10b +b = 10 ；解法二（图象法）由于

30、 a 是方程x + lg x =10 的一个根，也就是方程lg x =10 -x 的一个根b 是方程x + 10 x= 10 的一个根，也就是方程10x= 10 -x的一个根令 g x =lg x ， h x =10 x ， x= 10 -x ，在同一坐标系中作出他们的图象，如下列图：10864c2b-5510 aaa 是方程g x= x 的根，即图中oa=ab 是方程h x =x 的根，即图中ob=b易得 oa+ob=1，0 所以a + b = 10解法三：方程x + lg x =10 ，x+ 10 x= 10 的根为 a ， b 由x + 10 x= 10 ，得10 x= 10 -x ，

31、x =lg10 - x ，又 x +lg x =10 lg10 -x +lgx= 10 ，即x10 -x =1010 ， 即x 2 - 10x + 1010 = 0x1 + x2= 10虚根< 0一题多解一题多变（十）（课本 p102）证明：（1） 如 fx =ax +b,就fx1 + x2 =2f x1 +2f x2 ;2如f x =x 2 +ax +b, 就f x1 +2x2 f x1 +2f x2 变题： 1、如下列图，f xi i =1,2,3,4 是定义在 0， 1上的四个函数，其中 满足性质：“对0 ，1 中的任意的x1 , x2，任 意0,1, f x11x2 f x1 1

32、 fx2 恒 成 立 ”的只有（a）a 、f x1 ,f x3 b、 f x2 c 、f x2 ,f x3 d、 f x4 变题2、定义在r上的函数f x 满意：假如对于任意x1 , x2 r 都有x1 +f 2x2 f x1 +2f x2 就称函数f x是r上的凹函数；已知二次函数f x =ax 2 +xa r, a 0（ 1）求证：当a > 0 时，函数f x 是凹函数；（ 2）假如x 0,1 时， |f x|1 ，试求实数a 的取值范畴；（ 1）证明：略（ 2）实数 a 的取值范畴是2,0二、一题多解不查表运算：lg 3 2 +lg 3 5 +3 lg 2 lg 5解法一：原式 = lg 2+lg 5lg 2 2 - lg2lg5 +lg 2 5 +3lg2lg5= lg 2 2 - lg 2 lg 5 +lg 2 5 +3lg 2 lg 5= lg 2 2 +2 lg 2lg 5 +lg 2 5= lg 2 + lg 5 2 = 1解法二：原式 = lg2lg5 33lg 2 2lg5-3lg2lg2 53lg2lg5=1- 3lg 2lg5lg2lg51=1解法三：原式 = lg 2 +lg 53- 3 lg 2 lg 5lg 2 +lg 5 +3lg 2 lg 5=1 - 3