41不定积分换元法1

1、第四章第四章第四章微分法微分法:)?()( xf积分法积分法:)()?(xf互逆运算互逆运算不定积分不定积分 第四章二、二、 基本积分表基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节第一节不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 第四章一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念引例引例: 一个质量为一个质量为 m 的质点的质点,的作tafsin下沿直线运动下沿直线运动 ,).(tv因此问题转化为因此问题转化为:已知已知,sin)(tmatv求求?)(tv在变力在变力试求质点的运动速度试求质点的运动速度根据牛顿第二定律根据

2、牛顿第二定律, 加速度加速度mfta)(tmasin第四章定义定义 1 . 若在区间若在区间 i 上定义的两个函数上定义的两个函数 f (x) 及及 f (x)满足满足fxf x( )( ) f xf xxd( )( )d , 或或则称则称 f (x) 为为f (x)在区间在区间 i 上的一个原函数上的一个原函数 .如引例中如引例中, tmasin的原函数有的原函数有 ,cos tma, 3cos tma第四章问题问题: 1. 在什么条件下在什么条件下, 一个函数的原函数存在一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在若原函数存在, 它如何表示它如何表示 ? 定理定理1. 存在原函数存在原函数

3、.(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数若函数若函数,上连续上连续在区间在区间i)(xf上上在在则则ixf)(第四章定理定理 2. 原函数都在函数族原函数都在函数族( c 为任意常数为任意常数 ) 内内 .证证: 1)又知又知故故即即属于函数族属于函数族即即,)()(的一个原函数的一个原函数是是若若xfxf的所有的所有则则)(xfcxf )()( cxfqq)(xf )(xf 的原函数的原函数是是)()(xfcxf ，的任一原函数的任一原函数是是设设)()()2xfxf f)()(xfx f f )()(xf

4、xf )()(xfx f f )()( f fxfx0)()( xfxf0)()(cxfx f f)(0为某个常数为某个常数c0)()(cxfx f f.)(cxf 第四章定义定义 2. f x( )在区间在区间 i 上的原函数全体称为上的原函数全体称为f xi( )在在上的不定积分上的不定积分,f xx( )d, 其中其中 积分号积分号;)(xf 被积函数被积函数;xxfd)( 被积表达式被积表达式.x 积分变量积分变量;若若fxf x( )( ), 则则cxfxxf)(d)( c 为任意常数为任意常数 )c 称称为为积分常数积分常数不可丢不可丢 !例如例如,xexdcexxx d2cx 3

5、31xxdsincx cos记作记作第四章不定积分的几何意义不定积分的几何意义:)(xf的原函数的图形称为的原函数的图形称为)(xfxxfd)(的图形的图形的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成)(xf的平行曲线族的平行曲线族.yxo0 x的的积分曲线积分曲线 . 第四章例例1. 设曲线通过点设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程求此曲线的方程.解解: xy2qxxyd2cx 2所求曲线过点所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有故有c2121c因此所求曲线为因此所求曲线为12 xyyxo)

6、2, 1 (第四章ox例例2. 质点在距地面质点在距地面0 x处以初速处以初速0v力力, 求它的运动规律求它的运动规律. 解解: 取质点运动轨迹为坐标轴取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面原点在地面, 指向朝上指向朝上 ,)0(0 xx )(txx 质点抛出时刻为质点抛出时刻为,0t此时质点位置为此时质点位置为初速为初速为,0 x设时刻设时刻 t 质点所在位置为质点所在位置为, )(txx 则则)(ddtvtx(运动速度运动速度)tvtxdddd22g(加速度加速度).0v垂直上抛垂直上抛 , 不计阻不计阻 先由此求先由此求)(tv 再由此求再由此求)(tx第四章先求. )(tv,ddgtv由

7、知ttvd)()(g1ct g,)0(0vv由,01vc 得0)(vttvg再求. )(txtvttxd)()(0g20221ctvtg,)0(0 xx由,02xc 得于是所求运动规律为00221)(xtvttxg由)(ddtvtx,0vt g知故ox)0(0 xx )(txx 第四章xdd) 1 (xxfd)()(xf二、二、 基本积分表基本积分表 从不定积分定义可知从不定积分定义可知:dxxfd)(xxfd)(或或cxd)2()(xf)(xf或或cd)(xf)(xf利用逆向思维利用逆向思维xkd) 1 ( k 为常数为常数)cxk xx d)2(cx111xxd)3(cx ln时0 x)

8、1( )ln()ln(xxx1第四章21d)4(xxcx arctanxxdcos)6(cx sinxx2cosd)8(xxdsec2cx tan或或cx cotarc21d)5(xxcx arcsin或或cx cosarcxxdsin)7(cx cosxx2sind)9(xxdcsc2cx cot第四章xxxdtansec)10(cx secxxxdcotcsc)11(cxcscxexd)12(cexxaxd)13(caaxln2shxxeexcx chxxdch)15(cx shxxdsh)14(2chxxeex第四章例例3. 求求.d3xxx解解: 原式原式 =xxd34134cx313

9、例例4. 求求.dcossin22xxx解解: 原式原式=xxdsin21cx cos21134xc第四章三、不定积分的性质三、不定积分的性质xxfkd)(. 1xxgxfd)()(. 2推论推论: 若若, )()(1xfkxfinii则则xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0( k第四章例例5. 求求.d)5(2xexx解解: 原式原式 =xexxd)25)2()2ln()2(eex2ln25xcexx2ln512ln2c第四章例例6. 求求.dtan2xx解解: 原式原式 =xxd) 1(sec2xxxddsec2cxx tan例例7. 求求.d)1

10、 (122xxxxx解解: 原式原式 =xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1xarctancx ln第四章例例8. 求求.d124xxx解解: 原式原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxcxxxarctan313第四章小结小结1. 不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表 2. 直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形, 及及 基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分 .常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项

11、利用三角公式利用三角公式 , 代数公式代数公式 ,积分性质积分性质第四章,2chxxeex2shxxeex练习练习1. 证明证明 xexeexxxch,sh,221.shch的原函数都是xxex2. 若若则的原函数是,)(xfex d)(ln2xxfx提示提示:xe)()(xexfxeln)(ln xfx1cx 221提示提示:第四章3.3. 若)(xf是xe的原函数 , 则xxxfd)(ln提示提示: : 已知xexf)(0)(cexfx01)(lncxxfxcxxxf021)(lncxcxln10第四章4. 若若)(xf;sin1)(xa;sin1)(xb的导函数为的导函数为,sin x则

12、则)(xf的一个原函数的一个原函数是是 ( ) .;cos1)(xc.cos1)(xd提示提示: 已知已知xxfsin)(求求即即b)()(xfxsin)( ?或由题意或由题意,cos)(1cxxf其原函数为其原函数为xxfd)(21sincxcx第四章5. 求下列积分求下列积分:.cossind)2(;)1 (d) 1 (2222xxxxxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x第四章6. 求不定积分解：.d113xeexxxeexxd113xeexxd1) 1

13、() 1(2+-xxeecxeexx221xd ) 1(2+-xxee第四章二、第二类换元法第二节一、第一类换元法换元积分法第四章第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路 设设, )()(ufuf)(xu可导可导,xxxfd)()(cxf)()(d)(xuuuf)()(xucuf)(dxfxxxfd)()(则有则有第四章一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元则有换元公式公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也称也称配元法配元法即即xxxfd)()(, 凑微分法凑微分法)第

14、四章例例1. 求求).1(d)(mxbxam解解: 令令,bxau则则,ddxau 故故原式原式 =muuad1a1cumm1111)() 1(1mbxamac注注: 当当1m时时bxaxdcbxaaln1第四章22)(1d1axxa例例2. 求求.d22xax解解:22dxax,axu 令令则则xaud1d21uuda1cuaarctan1caxa)arctan(1想到公式想到公式21duucu arctan)(ax第四章例例3. 求求).0(d22axax21duu想到想到cu arcsin解解:2)(1daxax)(d)(xxf(直接配元直接配元)xxxfd)()(2)(1)(daxax

15、cax arcsin22dxax第四章例例4. 求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdcx cosln?dcotxxxxxsindcoscx sinlnxxsinsindxxdtan类似第四章caxaxaln21例例5. 求求.d22axx解解:221ax q)(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lncaxax)( d第四章常用的几种配元形式常用的几种配元形式: xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd

16、1)()3()(nxfnxdn1nx1万万能能凑凑幂幂法法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd第四章xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd例例6. 求求.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式原式 =xln2121)ln21 (dxcx ln21ln21第四章例例7. 求求.d3xxex解解: 原式原式 =xexd23)3d(323xexcex332例例8. 求求.dsec6xx解解: 原式原式

17、 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanc第四章例例9. 求.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxcex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dcex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee两法结果一样第四章xxsin11sin1121例例10. 求求.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21cxsin1lncxxsin1sin1ln21第四章xxtansec解法解法 2

18、 xxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx cxxtansecln同样可证同样可证xxdcsccxxcotcscln或或xxdcsccx2tanln第四章222d)(2123xax例例11. 求求.d)(23223xaxx解解: 原式原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axac第四章)2cos2cos21 (241xx 例例12 . 求求.dcos4xx解解:224)(coscosxx q2)22c

19、os1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321c第四章例例13. 求.d3cossin22xxx解解:xx3cossin22q221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1 (81xxx2cos2sin2)4cos1 (81x原式 =xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xxx41x8sin641x2sin361x4sin321c第四章xxexex111xexexxxdd xexxd) 1(例例14. 求求.d)1 (1xexxxx解解: 原式原式=xexe)1 (1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1 (1xxxxxexexexe)(dxxexexlnxex1lnccexxxx1lnln分析分析: xexxxxd)1