高一数学重要知识点及典型例题-函数

1、学习必备欢迎下载一 、学问网络函数反函数反函数与原函数的关系集函映合数射初等函数、幂,指,对数、三角函数函数的概念和性质函数的三要素函数记号及表示法函数的图象函数的性质定义域、值域对应法就解析法、表格法、图象法平移、翻折对称、伸缩单调性最值应用数 , 式的大小比较方程的解法与争论不等式的解法与争论生产实际中的应用二 、重要学问点及典型例题1. 映射的概念：（任意对唯独）设f : ab a 中全部元素都有象（在 b 中），并且象是唯独的； b 中的元素未必有原象（在 a中），答应 b中的元素有剩余.函数的概念: （任意对唯独）函数的三要素: 对应关系,定义域,值域是函数的三要素,缺一不行.复合函

2、数的定义域求法：如yf x的定义域为 a,b,就 yf g x的定义域即为ag xb 的解集.如 yf g x的定义域为a,b，就 yf x 的定义域即为 g x在a,b的值域. 相同的对应法就整体自变量的取值范畴不变 2.求函数解析式的方法 :1 代入法 : 已知一个函数的解析式, 求另外的解析式, 直接代入. 已知f xx21 , 求学习必备欢迎下载f xx2 .2 待定系数法: 已知函数的类型, 要求函数解析式时, 可依据类型设其解析式, 从而确定系数即可 .如: 已知f x是一次函数, 且f f x4 x3 , 求f x .3 拼凑法: 已知 y =.g x的解析式,要求 y =.x时

3、,可从 y =.g x的解析式中拼凑出“g x”,即用 g x来表示,再将两边的 g x用 x 代替即可.如:已知: f x1x2x,求 f x.4 换元法: 象上面的题目, 也可以令 tg x , 再求出f t 的解析式, 然后用 x代替全部的 t即可得到所求函数的解析式.(5) 方程组法（消去法） : 依据题目中的条件, 列出所求的 y =.x所满意的方程组 ,通过解方程组得到问题的解答,在这里要留意的是函数的可变化性 . 如:已知 fx2 f 1 x3x2 ,求 .x.3. 函数的图象作法(1) 描点法: 列表; 描点; 用光滑的曲线连线 .(2) 变换作图法 :一个函数图象经过适当的变

4、换 ,得到另一个与之有关的函数图象 , 平移、对称、翻折、伸缩是图象的四种基本变换 :1平移变换,主要有水平平移 : yf xa a0 的图象, 可由 yf x 的图象向左a 或者向右 a 平移（左加右减） a 个单位得到;水平平移不转变函数的值域 .上下平移 : yf xbb0 的图象, 可由 yf x 的图象向上 b或者向下 b 平移（上加下减） b 个单位得到.竖直平移不转变函数的定义域 .2 对称变换（函数的对称性）主要有 yf x 与 yf x 的图象关于 y 轴对称; yf x 与 yf x 的图象关于 x 轴对称; yf x 与 yf x 的图象关于原点对称 ; yf1 x 与

5、yf x 的图象关于直线 yx 对称; yf1 x 与 yf x 的图象关于直线 yx 对称; yf 2ax 与 yf x 的图象关于直线 xa 对称;如 f xf 2ax 或者f axf ax 就 yf x 的图象关于直线 xa 对称;学习必备欢迎下载 y2bf x 与 yf x 的图象关于 yb 对称; y2bf 2ax 与 yf x 的图象关于点 a, b 对称;如存在常数a, b , 使得对于函数f x的定义域内的每一个x, xa,bx 仍在定义域内 , 且f axf bx , 就f x 的图象关于直线 xa b对称.23 翻折变换, 主要有 yf| x | 的图象在 y 轴的右侧 x

6、0 的部分与 yf x 的图象相同, 在 y 轴左侧部分与其右侧部分关于 y 轴对称; y|f x |的图象在 x 轴的上方部分与 yf x 的图象相同, 其他部分图象为 yf x 图象在 x 轴下方部分关于 x 轴的对称图形.4 伸缩变换, 主要有（三角函数 ya sinxb 中） yaf x a0 的图象 , 可将 yf x的图象上每点的纵坐标伸长a1或缩短0a1 为原先的 a 倍 横坐标不变 而得到; yf ax a0) 的图象 , 可将 yf x 的图象上每点的横坐标伸长 0a1) 或缩短a1 为原先的1倍 纵坐标不变 而得到.a4. 函数值域（最值）的求法 :(1) 观看法: 直接依

7、据函数表达式得到函数的值域 .如: 求函数 y4x 2的值域.(2) 不等式法 部分分式法: 依据不等式的性质直接推导得到值域 .如: 求函数 y2 x1 1xx12) 的值域.3 反表示法 反函数法: 将函数表示成另一种形式求值域 .如: 求函数 yx1 xx24 的值域.4 中间变量法（方程思想） : 借助于中间变量来解决问题 . 中间变量的范畴已知.学习必备欢迎下载如: 求函数 yx24、x 21f xa x1a x1 a0且a1) 的值域.5 配方法: 通过配成完全平方来求解 . 如: 求函数 yx2x3 的值域.6 图象法（数形结合法） : 依据函数的图象得到函数值域的求解 .如：求

8、 y| x3 | x1 |;钩形函数 yx2 1x x2) 函数的值域7 换元法 : 通过换元的方法将无理函数或指对函数式化简来进行求解. 留意变元的取值范畴不能1转变 如: 求函数 y2 xx1 、 yx423 2 x5, x0,2 的值域.28 判别式法: 借助于二次函数的判别式来求函数的值域 .如: 求函数 y2 x2 x2xx5 的值域.15 函数的单调性 : 函数的单调性是一个局部概念 : 单调区间在变换的时候 , 不能交 , 也不能并 , 在写法上肯定要留意规范性.（1）判定函数的单调性（利用定义：取值任意作差变形判定正负得出结论）（2）求复合函数的单调区间（同增异减）先求定义域如

9、：求函数 yx22 | x |3 ， y2 3 xlog x0.72 ， ysin3x2 的单调区间4（3）利用函数的单调性解不等式、比较大小、求参数等6 函数的奇偶性：（留意定义域是否关于原点对称） f x是偶函数对于任意的 xd , f xf x 恒成立f x的图像关于 y 轴对称 f x是奇函数对于任意的 xd , f xf x恒成立f x的图像关于原点（0，0）轴对称， 奇函数如在 x0 处有意义就f 0 0 ；有时用 f xf x0 来判定奇偶性奇（偶）函数在关于原点对称的两个区间上具有相同（相反）的单调性7 函数的周期性：（主要是针对抽象函数及三角函数）f x2t f x 或f t

10、xf xt 是周期为 2t 的周期函数如： f xaf x;f xa1等f x8 反函数1f x, f1 x的定义域与值域互换 2f mnf1 nm ）（3）y = f x 与 y = f1 x 有相同的单调性、奇偶性（奇）学习必备欢迎下载4 函数 y = f x 的图象关于直线 y = x 对称f1 x = f x f x为自反函数1（5）如函数 y = f x 是单调递增函数 ,就 y = f x 与 y = f x 的图象的交点必在直线 y= x. 留意:原函数与反函数的图象交点并不肯定在直线 y = x 上附 1专题一、 一元二次函数在闭区间上的最值二次函数 fx=ax2+bx+ca0

11、在闭区间p，q上的最值可能显现以下三种情形：b1如p，就 fx在区间p，q上是增函数，就 fxmin=fp、fxmax=fq2a2如 pbq，就 fxmin=f2ab此时 fx的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：2a当 pb p2a2qpq时，fxmax=fq当2bq，就 fxmax=fp2a3如bq，就 fx在区间p，q上是减函数，就 fxmin=fq，fxmax=fp；2a三类型：定区间定轴；定区间动轴；定轴动区间附 2专题二、 一元二次方程的实根分布二次方程实根的分布问题，就是争论二次函数的图象与 x 轴交点与坐标原点的位置关系的问题， 因此，懂得交点及二次函数系数（a开口方向，a、b

12、对称轴，c图象与 y 轴的交点）的几何意义， 把握二次函数图象的特点，是解决此类问题的关健；设 fxax2bxca, 就一元二次方程 fx实根的分布情形可以由 y fx的图象或由韦达定理来确定假如 fm f n mn, 由二次函数 yf x 的图像知，一元二次方程 f x 在区间（m, n） 内必有一个实数根9 指、对数(1) 指 数与对数: 分数 指数幂:正 数的正分 数指 数幂的 意义 ：ma nnam a0, m, nn *, 且nm1, an1a a n0, m, nn*, 且n1 .m对数:一般地,假如 a a>0,a1的 b 次幂等于 n,就是 ab=n,那么数 b就叫做以

13、a 为底 n 的对数,记作:log a n=b,其中 a 叫做对数的底数,n 叫做真数 .log a 10, log a a1a0, a1 ;对数恒等式 :a log a nn ;对数换底公式 :log a nlog b n log b a;常用对数 lg n,自然对数bln n . 关系式: log a n=ba =n;学习必备欢迎下载mnm+nm nm.nnnn指数的运算性质（ 1）a .a =a；2 a =a;3 a · b=a.b a>0,b>0,m,nr.对数的运算性质: 如 a >0,a 1，m>0，n>0，就: logamn=logam+

14、logan;mmn ; log mn=nlog m（nr）. logmm logba0,a1,b0loganlogalogaaaan bna(2) 指数函数与对数函数 :名称指数函数对数函数一般形式ya x （ a0 且 a1 ）ylog ax （ a0 且 a1 ）定义域（，）（0，）值域（0，）（，）xy=ayyy=ax0<a<1a> 1y=logax图象1o1xy=logaxo0<a<1a>1x单调性当 a1 时,函数在 r 上为增函数;当 a1 时,函数在（0， 上为增函数;当0a1时,函数在 r 上为减函数.当 0a1时,函数在0 ， 上为减函数.图象ya x 的图象与 ylog ax 图象关于直线 yx 对称.3 幂、对数的大小比较（留意底数是参数时的分类）1底数相同,指数（真数）不同的两个幂的大小比较（函数单调性法）2底数不同,指数（真数）相同的两个幂的大小比较（作商法） /（利用换底公式）3底数与指数（真数）都不同的两个幂的大小比较（中间值法）10 三角函数（1）三角的化简（留意“变”）巧变角、变函数名；活用公式（同角、和差、倍角及变形公式）（2）三角函数的最值 ya