2022年一轮复习配套讲义：第7篇第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系

1、第 3 讲空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲 1理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 知 识 梳 理1平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(4)公理 2 的三个推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论 3：经过两条平行直线有且只有一个

2、平面2空间中两直线的位置关系(1)空间两直线的位置关系共面直线平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点o 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的锐角(或直角 )叫做异面直线 a 与 b所成的角 (或夹角 )范围： 0，2. (3)平行公理和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间直线与平面、平面与平面的位置关系精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - -

3、- - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - -(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况辨 析 感 悟1对平面基本性质的认识(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分() (2)两个平面 ， 有一个公共点 a，就说 ， 相交于 a 点，记作 a.() (3)(教材练习改编 )两两相交的三条直线最多可以确定三个平面() (4)(教材练习改编 )如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合() 2对空间直线关系的认识(5)已

4、知 a，b 是异面直线、直线c 平行于直线 a，那么 c 与 b 不可能是平行直线 () (6)没有公共点的两条直线是异面直线() 感悟 提升 1一点提醒做有关平面基本性质的判断题时，要抓住关键词，如 “有且只有 ”、“只能”、“最多”等如(1)中两个不重合的平面还可把空间分成三部分2两个防范一是两个不重合的平面只要有一个公共点，那么两个平面一定相交得到的是一条直线，如(2)；二是搞清 “三个公共点 ”是共线还是不共线，如 (4)3一个理解异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线，如(6). 考点一平面的基本性质及其应用【例 1】 (1

5、)以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点 a，b，c，d 共面，点 a，b，c，e 共面，则 a，b，c，d，e 共面；若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；依次首尾相接的四条线段必共面a0 b1 c2 d3 (2)在正方体 abcda1b1c1d1中，p，q，r 分别是 ab，ad，b1c1的中点，那么正方体的过p，q，r的截面图形是 ()a三角形b四边形精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d

6、f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - -c五边形d六边形解析(1)正确，可以用反证法证明；从条件看出两平面有三个公共点a，b，c，但是若 a，b，c共线，则结论不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上(2)如图所示，作 rgpq 交 c1d1于 g，连接 qp 并延长与 cb 延长线交于 m，连接 mr 交 bb1于 e，连接 pe，则 pe，re为截面的部分外形同理连 pq 并延长交 cd 于 n，连接 ng 交 dd1于 f，连接 qf，fg. 截面为六边形 pqf

7、gre. 答案(1)b(2)d 学生用书第 112 页规律方法 (1)公理 1 是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2 及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理 3 是证明三线共点或三点共线的依据要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置【训练 1】 如图所示是正方体和正四面体，p，q，r，s分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是_解析可证中的四边形pqrs为梯形；中，如图所示，取a1a 和 bc 的中点分别为 m，n，

8、可证明pmqnrs为平面图形，且pmqnrs为正六边形；中，可证四边形pqrs为平行四边形；中，可证q 点所在棱与面 prs平行，因此， p，q，r，s四点不共面答案精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - -考点二空间两条直线的位置关系【例 2】 如图是正四面体的平面展开图，g，h，m，n 分别为 de，be，ef，ec 的中点，在这个正四面体

9、中，gh 与 ef 平行；bd 与 mn 为异面直线；gh 与 mn 成 60 角；de 与 mn 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_解析把正四面体的平面展开图还原如图所示，gh 与 ef 为异面直线， bd 与 mn 为异面直线， gh与 mn 成 60 角，demn. 答案规律方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决【训练 2】 在图中， g，h，m，n 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线

10、gh，mn 是异面直线的图形有 _(填上所有正确答案的序号)解析图中，直线 ghmn；图中， g，h，n 三点共面，但m?面 ghn，因此直线 gh 与 mn 异面；图中，连接 mg，gmhn，因此 gh 与 mn 共面；图中， g，m，n 共面，但 h?面 gmn，因此 gh 与 mn 异面所以在图中gh 与 mn 异面答案考点三异面直线所成的角【例 3】 在四棱锥 pabcd 中，底面是边长为2 的菱形， dab60 ，对角线 ac 与 bd 交于点 o，po平面 abcd，pb 与平面 abcd 所成角为 60 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

11、- - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - -(1)求四棱锥的体积；(2)若 e 是 pb 的中点，求异面直线de 与 pa 所成角的余弦值审题路线(1)找出 pb 与平面 abcd 所成角? 计算出 po 的长? 求出四棱锥的体积(2)取 ab 的中点 f? 作 p ab 的中位线 ? 找到异面直线 de 与 pa 所成的角 ? 计算其余弦值解(1)在四棱锥 pabcd 中，po面 abcd，pbo 是 pb 与面

12、abcd 所成的角，即 pbo60 ，boab sin 30 1，poob，pobo tan 60 3，底面菱形的面积s234222 3. 四棱锥 pabcd 的体积 vpabcd132 332. (2)取 ab 的中点 f，连接 ef，df，e 为 pb 中点， efpa，def 为异面直线 de 与 pa 所成角 (或其补角 )在 rtaob 中，aoab cos 30 3op，在 rtpoa 中，p a6，ef62. 在正abd 和正 pdb 中，dfde3，在def 中，由余弦定理，得 cosdefde2ef2df22de ef精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

13、 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - -32622322362643 224. 即异面直线 de 与 pa 所成角的余弦值为24. 规律方法 (1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由

14、异面直线所成的角的取值范围是0，2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围【训练 3】 (2014 成都模拟 )在正方体 abcda1b1c1d1中，e，f 分别是棱 a1b1，a1d1的中点，则 a1b与 ef 所成角的大小为 _解析如图，连接 b1d1，d1c，b1c.由题意知 ef 是a1b1d1的中位线，所以 efb1d1. 又 a1bd1c，所以 a1b 与 ef 所成的角等于 b1d1与 d1c 所成的角因为d1b1c 为正三角形，所以 b1d1c3. 故 a1b 与 ef 所成角的大小为3. 答案31证明

15、线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上2证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合3异面直线的判定方法精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - -(1)判定定理：平面

16、外一点a 与平面内一点 b 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面思想方法 7构造模型判断空间线面的位置关系【典例】 (2012 上海卷 )已知空间三条直线l，m，n，若 l 与 m 异面，且 l 与 n 异面，则 ()am与 n 异面bm与 n 相交cm 与 n 平行dm与 n 异面、相交、平行均有可能解析在如图所示的长方体中，m，n1与 l 都异面，但是 mn1，所以 a，b 错误； m，n2与 l 都异面，且 m，n2也异面，所以 c 错误答案d 反思感悟 这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题，解决的

17、方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等 )为模型进行推理或者反驳【自主体验】1(2013 浙江卷 )设 m，n 是两条不同的直线， ，是两个不同的平面 ()a若 m ，n ，则 mnb若 m ，m，则 c若 mn，m ，则 nd若 m ， ，则 m解析本题可借助特殊图形求解， 画一个正方体作为模型 (如图)设底面 abcd 为 ，侧面 a1add1为 . 当 a1b1m，b1c1n 时，显然 a 不正确；当 b1c1m 时，显然 d 不正确；当 b1c1m

18、时，显然 b 不正确故选 c. 学生用书第 113 页精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - -答案c 2对于不同的直线m，n 和不同的平面 ， ， ，有如下四个命题：若 m ，mn，则 n ；若 m ，mn，则 n ；若 ， ，则 ；若 m ，mn，n? ，则 .其中真命题的个数是 ()a1 b2 c3 d4 解析本题可借助特殊图形求解画一个

19、正方体作为模型(如图)设底面 abcd 为 . 当 a1b1m，b1c1n，显然符合的条件，但结论不成立；当 a1am，acn，显然符合的条件，但结论不成立；与底面 abcd 相邻两个面可以两两垂直，但任何两个都不平行；由面面垂直的判定定理可知，是正确的只有正确，故选a. 答案a 对应学生用书 p311 基础巩固题组(建议用时： 40 分钟) 一、选择题1(2013 江西七校联考 )已知直线 a 和平面 ， ， l，a? ，a? ，且 a 在 ，内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c的位置关系是 ()a相交或平行b相交或异面c平行或异面d相交、平行或异面解析依题意，直线 b 和 c

20、 的位置关系可能是相交、平行或异面，选d. 答案d 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - -2在正方体 ac1中，e，f 分别是线段 bc，cd1的中点，则直线 a1b 与直线 ef 的位置关系是 ()a相交b异面c平行d垂直解析如图所示，直线a1b 与直线外一点 e 确定的平面为 a1bcd1，ef? 平面 a1bcd1，且两直线不平行，故

21、两直线相交答案a 3设 p 表示一个点， a，b 表示两条直线， ， 表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()pa，p ? a? abp，b? ? a? ab，a? ，pb，p ? b? b，p ，p ? pbabcd解析当 a p 时， pa，p ，但 a? ，错； a p 时，错；如图， ab，pb，p?a，由直线 a 与点 p 确定唯一平面 ，又 ab，由 a 与 b 确定唯一平面 ，但 经过直线 a 与点 p， 与 重合， b? ，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确答案d 4(2013 山西重点中学联考 )已知 l，m，n 是空间中的三条直线，命题p：若 ml，n

22、l，则 mn；命题 q：若直线 l，m，n 两两相交，则直线l，m，n 共面，则下列命题为真命题的是()apqbpqcp(綈 q) d(綈 p)q解析命题 p 中，m，n 可能平行、还可能相交或异面，所以命题p 为假命题；命题q 中，当三条直线交于三个不同的点时，三条直线一定共面，当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题q也为假命题所以 綈 p 和綈 q 都为真命题，故 p(綈 q)为真命题选 c. 答案c 5. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p

23、d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - -如图，在正方体 abcda1b1c1d1中，过顶点 a1与正方体其他顶点的连线与直线bc1成 60 角的条数为()a1 b2 c3 d4 解析有 2 条：a1b 和 a1c1. 答案b 二、填空题6如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线_对解析如图所示，与 ab 异面的直线有 b1c1，cc1，a1d1，dd1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有 12 条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线124224(对)答案24 7. 如图，在正方体

24、 abcda1b1c1d1中，m、n 分别为棱 c1d1、c1c 的中点，有以下四个结论：直线 am 与 cc1是相交直线；直线 am 与 bn 是平行直线；直线 bn 与 mb1是异面直线；直线 am 与 dd1是异面直线其中正确的结论为 _(注：把你认为正确的结论的序号都填上)解析a，m，c1三点共面，且在平面 ad1c1b 中，但 c?平面 ad1c1b，因此直线 am 与 cc1是异面直线，同理 am 与 bn 也是异面直线， am 与 dd1也是异面直线，错，正确；m，b，b1三点共面，且在精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1

25、0 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - -平面 mbb1中，但 n?平面 mbb1，因此直线 bn 与 mb1是异面直线，正确答案8(2013 江西卷 )如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且 abcd，则直线 ef 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_解析取 cd 的中点为 g，由题意知平面 efg 与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而ef 与正方体的左、右侧面所在的平面平行或ef 在平面内所以直线ef

26、 与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交故直线ef 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4. 答案4 三、解答题9. 如图，四边形 abef 和 abcd 都是直角梯形， badfab90 ，bc 綉12ad，be 綉12fa，g，h 分别为 fa，fd 的中点(1)证明：四边形 bchg 是平行四边形；(2)c，d，f，e 四点是否共面？为什么？(1)证明由已知 fgga，fhhd，可得 gh 綉12ad.又 bc 綉12ad，gh 綉 bc，四边形 bchg 为平行四边形(2)解由 be 綉12af，g 为 fa 中点知， be 綉 fg，四边形 befg 为平行四边形， ef

27、bg. 由(1)知 bg 綉 ch，efch，ef 与 ch 共面又 dfh，c，d，f，e 四点共面10在正方体 abcda1b1c1d1中，对角线 a1c 与平面 bdc1交于点 o，ac，bd 交于点 m，求证：点c1，o，m 共线精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - -证明如图所示， a1ac1c，a1a，c1c 确定平面 a1c

28、. a1c? 平面 a1c，oa1c，o平面 a1c，而 o平面 bdc1线 a1c，o平面 bdc1，o 在平面 bdc1与平面 a1c 的交线上acbdm，m平面 bdc1，且 m平面 a1c，平面 bdc1平面 a1cc1m，oc1m，即 c1，o，m 三点共线能力提升题组(建议用时： 25 分钟) 一、选择题1(2014 长春一模 )一个正方体的展开图如图所示，a、b、c、d 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()aabcdbab 与 cd 相交cabcddab 与 cd 所成的角为 60解析如图，把展开图中的各正方形按图1 所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得

29、到图 2 所示的直观图，可见选项a，b，c 不正确正确选项为d.图 2 中，becd，abe为 ab 与 cd 所成的角， abe为等边三角形， abe60 . 答案d 2在正方体 abcda1b1c1d1中，e，f 分别为棱 aa1，cc1的中点，则在空间中与三条直线a1d1，ef，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - -cd 都相交的

30、直线 ()a不存在b有且只有两条c有且只有三条d有无数条解析法一图 1 在 ef 上任意取一点 m，直线 a1d1与 m 确定一个平面 (如图 1)，这个平面与 cd 有且仅有 1 个交点 n，当 m 取不同的位置就确定不同的平面，从而与 cd 有不同的交点 n，而直线 mn 与这 3 条异面直线都有交点如图所示故选d. 法二在 a1d1上任取一点 p，过点 p 与直线 ef 作一个平面 (如图 2)，因 cd 与平面 不平行，图 2 所以它们相交，设它们交于点q，连接 pq，则 pq 与 ef 必然相交，即 pq 为所求直线由点 p 的任意性，知有无数条直线与三条直线a1d1，ef，cd 都

31、相交答案d 二、填空题3. (2013 安徽卷 )如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为 1，p 为 bc 的中点， q 为线段 cc1上的动点，过点 a，p，q 的平面截该正方体所得的截面记为s.则下列命题正确的是 _(写出所有正确命题的编号)当 0cq12时，s为四边形；当 cq12时，s为等腰梯形；当cq34时，s与 c1d1的交点 r 满足 c1r13；当34cq1 时，s为六边形；当 cq1 时，s的面积为62. 图 1 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - -解析如图 1，当 cq12时，平面 apq 与平面 add1a1的交线