高一数学竞赛试题及答案

1、高一数学竞赛试题及答案时间，20xx/3/18注意：本试卷均为解答题.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分150分, 考试时间120分钟.1.（本小题总分值15分）设集合 4 = x|x2 -3x+2 = 0,b = x|x' + 2（ + l）x + （" -5）= o,e ,<1）假设an/j = 2求”的值；<2）假设ajr = a，求。的取值范围：<3）假设u = r,api（gb）=a,求”的取值范围.2.(本小题总分值 15 分)设m = xf(x)=x,n = (x|/(x)=x,< 1)求证：m c n:（2） /"）

2、为单调函数时，是否有m =n ?请说明理由.3. (本小题总分值15分)己知函数 f (x) = 2(sin4 x + cos4 x) 4-/(sinx + cos.r)4在 xe|0.y有最大值 5, 求实数m的值.4. (本小题总分值15分)函数人0在r上满足fi2-x) =fi2+x). fil-x) =/(7+x).r在闭区间0.7上，只有项1)=用)=0,试判断函数y=j(x)的奇偶性：(2)试求方程av)=0在闭区间一2 011,2 011 上根的个数.并证明你的结论.5. (本小题总分值15分)己知二次函数/3 = “小+*+1 (。力cr“>0),设方程f(x) = x的

3、两个实数根为 和弓.(1) 如果<2 <x2 <4 9设函数/(x)的对称轴为尤=孔，求证：x0 > -1 ；(2) 如果国<2,区一也|=2,求力的取值范围.6. （本小题总分值15分）如图，直三棱柱abc-a&c中，ac = bc = aa,。是棱aa的中点,dc, ± bd -(1) 证明：dqbc:(2) 求二面角a - bd-g的大小。7. (本小题总分值15分)在平面直角坐标系刀。，中，设二次函数 f(=x+2x+b(x er)的图象与两坐标轴有三个交点.经过三点的圆记为c(1) 求实数力的取值范围：(2) 求圆(的方程：(3) m。

4、是否经过定点(其坐标与力无美)？靖证明你的结论.8. （本小题总分值20分）设f （x）是定义在r上的偶函数，其图象关于直线后1对称, 对任意xbx：g0.:都有/6+芯）=/（印/（巴）且f（1）=a>0.（| > 求/（!）,/（!）；24（ii）证明/（同是周期函数：（iii）记 = /（2/1 +-）,求 lim（ln % ）.9.(本小题总分值20分)设/(x)是r上的奇函数，且当x 。时，/(x) = lg(x2 -or+10) ae r.(1) 假设/(d = lg5,求f(x)的解析式：(2) 假设 =0,不等式/(a2') + /(4'+a + 1

5、)a0恒成立，求实数上的取值范围：(3) 假设/()的值域为r,求召的取值范围.高一数学竞赛试题参考答案1、解：a = 1,2(1) 9： acb = 2:. 2 elf即，22+2(。+ 1)2 + (。25) = 0,解得 =-3如=-1 当=. 3 时，« = (r|x2-4x + 4 = o=2 当” =1 时.8 = 曰/一4 =()=22综上 a 6 (-1,-3(2) ajb = a:.bq a 当b时，那么该一元二次方程无解，即«,.2（心1）-4.（/一5）<0,即"<-3 当b® 时，那么该一元二次方程有解，即no,即“2

6、-31. 当 =一3 时，b = 12. 当"> -3时,该一元二次方程有两个不同实数根1和2r51 + 2 = -2(“ +1),即。=212 = </-5,即a = ±v?(舍)，.综上。e(8,(3) :ar(cub) = a:.acb = 当«时，即 v-3, b = e，满足要求 当二0时，即 =一3, b = 2, adah。，舍 当（）"，即>一3，所以只缶1任8且将1代入方程中得。=t 士、&将2代入方程中得。=-3或 =-i 所以。/一3、"工-1 和qh-1 士 j5综上，“的取值范围为（-8l3）

7、u（-3.t-75）u（t->5li）u（-1l1 + v5）u（-1 + v5e）2、证明：(1)假设,竹=们显然有mqn,假设m牙口,那么存在,满足/(&) = "所以 ) = / (o ) = xo ,故吒 gn.所以 m ;n;(2) m=n.用反证法证明假设m会n ,由于m c n ,必存在r, n.但 x, m 9 因此/(x, ),假设/«)>%,由于/为单调增函数，所以/h)>/h)»即，矛盾；假设/皿,由于/(x)为单调增函数，所以/(&)</(占)，即</(%),矛盾。综合、可知/(.功小，因此 e

8、m,与假设矛盾， 所以假设不能成立，即m = n.3、解：/(x) = 2(sin2 a +cos2 x)2 -4sin2 xcos2 a +，(sinx + cosx)“=2 (2sin acosx)2 + /(sin x + cosx)4令 t = sin x + 8s x = visin(x + ) e l v2.4那么2sinxcosx = / -1,从而/(x) = 2-(/2 - i)2 +/ =(】一 1) +2z? +1 令u = r e|l, 2,由题意知g(") = (i-l)2 +2w +1 在w el, 2仃最大值 5.当川-1=0时，g(“)= 2 + l在

9、 =2时有最大值5.故j = 1符合条件；当 w -1 > 0 时，g(z/)max i(2)>2x2 + l =5.矛盾！当 m -1 < 0 时,g(“)v 2 +1 £ 5 ,矛盾！综上所述，所求的实数m = l.l解(1)假设y=/lr)为偶函数，那么顶一x)=k2-(x+2)=/l2+cr+2)= 顶 4+x)=/u),.顼7)=/13)=0,这与处)在闭区问0,7上，只有/u)=3)=o矛盾；因此/u)不是偶函数.假设 y=ax)为奇函数，那么/10)=人一0)=/10),./0)=0,这些/u)在闭区间0,7上，只有/u)=k3)=0矛盾；因此顶x)不

10、是奇函数.综上可知：函数/u)既不是奇函数也不是信函数./u)=/12+(x-2)=2-cr-2)=/(4-x),/tr)=7+cr-7)=/n-(x7)=/u4x),./i14-x)=/l4-x),即10+(x-4)=/m-x) ./u+io)=kx),即函数"n的周期为io. 又.顶1)=汽3)=0, .ju)=/u + 10/，)=0(gz), 3)=/(3+lo)=o(gz),即 x= l + 10/i 和 x=3+10(wz)均是方程>1x)=0 的根.由一2 011wl + 10w2 011 及cz 可得 =0, ±1, ±2, ±3,

11、，±201,共 403 个；由一2 011w3+10w2 011 及缶z 可得 =0, ±1, ±2, ±3,，±200, 201,共 402 个；所以方程ax)= 0在闭区间1-20xx,20xx上的根共有805个.5、解：设g(x) = /(x)-x = a?+(一1)*+1，那么 g(x) = 0的二根为x和吐.(1)由>0及石<2<2<4,可得40,即1位 + 4一3>034-3-<0f2a 4a-4-2- + <(),2a 4a两式相加得gvl,所以，易>一1；2a(2) 由(x.-xj

12、2 =()2-,可得 2. + 1= 顶+1.a a又=一>0,所以工",问号. ax<2. |沔一|=2等价于，0 < x. <2 <x2“ + l = j(b 1)2 + 1 或g(2)>0< a?(0) > 02 + 1 = js-w + l*2) > 0或 g(0) > 02a + l = -沪+1解之得b<或/，>；446、【解析】(1)在rtadac中，ad = ac得：zadc = 45”同理：z/x； =45 =>zcdc； =90&得：dc.ldc.dc.lbddc.l 面 bcd

13、n £x； l 8c(2) dc、上 bc.cq l bc n bc1 面 acga=>3cl4c取a3的中点。，过点。作oh lbd于点.连接c0chag = &g=c;o«laq,面arg 1 面affo=>cto±面oh lbdc.h lbd得：点与点d至合且cdo是二面角a - bd-c,的平面角设ac = a.那么co =号，go = m = 2gon/qdo = 3(y既二面角4 一 bo-c的大小为307、【解答】(1)令x=0,得抛物线与y轴交点是(0, b)；令f(x)=x2+2x+b=09由鬼意质0且j>0,解得8v1

14、且力。0.(2)设所求圆的一般方程为x2+r+dx+ey+f=0.令y=0得x2+/)x+f=0,这与x2+2x+b=(i是同一个方程.故。=2, f=b.令x=0得v+y+)=0,此方程有一个根为加代入得出e=-b-l.所以bq c的方程为尸+尸+*0+1)+8=0.(3) 圆c必过定点，证明如下：假设ibcii定点(出，)(血，只不依赖于8),将该点的坐标代入圆c的方程， 并变形为对+)咕+2xqv(i+z>( 1 火)=0.()为使(*)式对所有满足5<1俗尹0)的力都成立，必须有1 一火=0,结合(*)式得n+ ji+2xo)x»=o,经检验知，点(0.1), (

15、 2,1)均在圆c上，因此，圆c过定点.分析：由处）是定义在"的例函数嘲象零焉称由图象关于宜线x=1对称顼/0-x）力两项2-力由对任意x、x“h；，邦有/(x x;) = /(x )fix i/(1) = < >0处顷责展修。狷附洋(i四要证明/(x)周期函数，只需证明:八5./«)/(l-x)=/(l+x)/(x) = /(2-x)/h) = /(x)/(-)=/(2+x)=/(x)所以t=2要求 liming)in珈 = /（2 +土） =2*（2混扑心）/（i）=尼+£+-+£）+（土+£+£）n 耕佰）卜机土）2仙4冬= /(2” + 5)kliming >o一>x9、解:(1)因为f=也5,那么/(x) = lg(ll-? = lg5,所况=6所以 当¥<0111, /(a) = -/(-x) = -lg(r + 6x +10),又f(0) = 0,故lg(x2 -6x+10)»x>0仙=凸=0-lg(x2 +6x+10),x<0假设 =0,贝/在/?上单调递增，故如2勺+ /(4'+a + l)>0等价于l2w