艺术生高考数学专题讲义：考点19 三角恒等变换

1、考点十九三角恒等变换知识梳理i. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(a+/?)=sm acos fl+cos asinfi sin(a-/?)=sin acoscos asin fi cos(a+/?)=cos acos /fsin <xsin ficos(a/?)=cos acos/?+sin asin /?(an a i tan pes+历=|团如"（t（as）tan atan fi皿俗”)=+®如心顼2. 二倍角公式 sin 2a=2sin acos a (szj cos 2=cos、一sin%=2co/" 1 = i 2sin2a (cia)

2、2tan alan2tt=r o3. 公式的变形和逆用在准确熟练地记住公式的根底上.要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等.常见变形如下:降祕式：cos"竺业，血=上孵 升帮公式:l+cos2«=2cos2a, i -cos 2<x=2sin2ai +co$ =2。0$岛，i cos a=2sin27.正切和差公式变形:(an fl±(an £=tan(a±0)( 1 tan «tan 仞,骨.urnq+um$ tan。tan/?(anatan/?=l - |an(a+ = (an(«-/?) "

3、;l配方变形：i +sin a=(sin5+cos)2.i sin a=(sincosf)2.4. 崎助角公式 «sin a+teos a =f+伊),j,|, tan -典例剖析题型一给角求值例 1 计算 cos 42° cos 18。一cos 48七os 72。的值为答案(1) |(2) |解析(1) cos 42° cos 18°cos 48° cos 72°=cos 42° cos 18°sin 42° sin 18°=海(42。+18。)=cos60°=l(2). cos21

4、55o-sm2155q=cos 310°=cos 50°. sin 1 l()“sin 20° sin 70%in 2(fcos 20°sin 20。，二阳勺】 corl55°-sin2155<,= cos 310° = -cos 50°= sin 40° =2-变式训练sin 47°sin 17°cos 30°cos 17°sin(3o°+17°)-sin 17°cos 30°cos 17°sin 30°co

5、s 17°+cos 30°sin i7°sin i7°cos 30°sin 30°cos 17° .占 i=，cosir =sin 30解题要点 解题时先看角，观察是否有30。、60。、90。等特殊角，或是观察能否通过变形凑 配出这些特殊角.再看所求式站构,选用适宜的三角恒等式对原式进行变形处理.在解题时还 要注意对公式进行正用、逆用，要掌握常见的变式.题型二给值求值求sin任+）的值:求co佬一2“）的值.cos 2a=l-2sin:a=l-2x3-5一一所以cocos普cos 2a+$insin &=(乎)xmx

6、(4)="±io题型三利用角的凑配求值2一51一4*=答案22解析 因为似+¥+夕一.=+夕. 所以"+.=("+/?)("一亨)，所以um(n+$)=la松+/?)-£ =<an(a+fl)心血一辛)3i + tan(a +/j)tang?"变式训练 cosq=?,co§s+/?)=§目.如庆(0多)，那么cos(q夕)的值等于. 答案§7 一9*解析 .好(0, §),.2ae(0, x).v cos a=y ，. cos 2a=2cos2« 1/.sin

7、 2a=y 1 cos:2a=而 q, /?w(0, ；), aa+/?g(0. n)9sin(a +/?)=1cos2(«+/?).:.cos(a0)=cos2« 一 s+/0=cos 2«cos(a+/)+sin 2asin(a+/?)=(-钏'(5+誓乂乎=券解题要点1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“己知角”表示.(1)当“己 知角”有两个时，“所求角” 般挨配为两个“己知角”的和或差的形式；当“己知角” 有一个时，此时应假设眼于“所求角"与“己知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角"变成“角”2.常见的

8、凑配技巧：2"=（g+/0+（g一伽。=0+/?）-。，/?=穿一穿，=胃+穿 （a+g） - （壹+/?）等.题型四辅助角公式例 4 （20xx 安徽文）函数y（.t）=（sin .t+cos x）2+cos 2v.（1）求.ax）的最小正周期：（2）求爪）在区间。，日上的最大值和最小值.解析（1）因为/（a）=sin2 x+cos2 x+2血 xcos .v+cos zx=1 +sin 2r+cos lx=ssin（2x+.）+ 1, 所以函数）的最小正周期为丁=孕=丈art（2）由的计算结果知,ju）=>/isin（2x+*）+l.当xeo,习时, 2腊樟，剖，由正弦函数

9、尸sin*在¥，号上的图象知， 当2x+¥弓，即=夺时，瓜）取最大值s+1: 当2x+¥=孚即弓时，川）取最小值0. 综上，贝同在。，§上的最大值为>/2+1,最小值为0.变式训练函数，心）=v5sin x+co婷+x）的最大值为 答案1 解析 /.r)=v3sin.t+cos cos.vsin pin a=cos a+sin .r=sin(.v+).解题要点 利用辅助角公式将asinx+bcox化为应n（sx+w）是常见的题型.转化时一定要 严格对照和差公式，防止插错辅助角.对于计算形如y=sin（g+0,km3|形式的函数最 值时，那么务必注意

10、用度范围，最好是画出函数图像，观察所给函数在指定范围内是否越过图 像的“波峰”或“波谷”当堂练习1. (20xx 新课标 i 理)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=.答案|解析 sin 20°cos i00cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=§.,那么 tan2<x=.sina+cosa j sinacosa z3-45 5. tana+11解析由诙v得

11、4;“=一3,'. tan2a=y2tan(ztaira3-4=3.己知 cos(a+) = 3 那么 sin(2“一专)的值为 答案3解析由coss+g）=乎,得 cos(&+§)=2x3'所以 sin(2«g) =sin(2a+jj)= "cos(2a+j) =§4.假设函数用）=血公+务+cos气v一辛）一1,那么函数./u）是周期为兀的偶函数周期为2的奇函数答案周期为2需的偶函数周期为诚的奇函数解析 fix)=sin2(+x)+sin2(+x) 1 =2sin号+x) 1 = cos(|+2t)=sin2v.故正确.5.

12、(20xx 北京理)函数/u)=ssin&os；-很sin*（1）求yu）的最小正周期:求处）在区间一心0|上的最小信 解析 因为力）=乎而乎（ i cos x）=$in （书）-孝 所以/u）的最小正周期为2x.（2）因为fwxwo,所以一专当好§=一$叩=一号时，处)取得最小值. 所以人。在区间一江，()上的最小值为£一¥)=一】一乎33653-5课后作业备a, 都是锐角，那么娜=解析/?是锐角，.()<«+彦江，又cos(a+0)=巨<0,.容3诵(。+夕)=%3一53- 6=4- 5xsina=*又 cos/?=cos(cc

13、+/?«)=cos(« +/f)cosa+sin(a +fi)sina =j+2. sin75°cos300-sinl5°sini500的值为答案半 解析 sin75°cos30°前15。血150。=血75%0§30。一<：0,75。血30。=血(75° 30。)=血45。=2 -3(20xx 陕西文)4<sin«=cosa"是 “cos2«=0” 的条件.答案充分不必要解析 vsin a=cos <z=>cos 2a=cos2<zsin2a=0: cos

14、 2«=()<=>cos a=±sin a=>/ sin <z=cos a. 故为选充分不必要条件.4. ?jcox =4 一5*“为第三象限角.那么sin(a+5)=4一5*3-5解析.0为第二象限角.comx =sin47°-sin17°cos3(r5-cos 17°=.答案i解析 sin47°=sin(30° +17°)=sin30°cos 17°+cos30°sinl7°, ,sin3()ccos17c . “c i 原式= cos|jg =s

15、in30 =2-巾 xz 一 冬g)玉*一 h(nl0s82.es.ii(gaus(0+n)§+(ml 岳sl(0+su2(0+stl8ii w +'e5d9 i.ef (y +cc+ 寸co0( p +gko。i (b p +e)g。i yxd j 寸 1 !£»k1i ifkr(vx>).£s. ("pujm+d g s)ujb.0&n(g+s菖不.0)55.安淡 uwoq急ag0)2 shg+sso。一芬.0 一.whq09.£ssn(。孚+虫)原9"。9 一 8。十。立.eshom.es+os

16、一.es 龙饕畋搴玄oio.£s+x-.es(w三esoe6)1 一.gi1ifi: 寸z (ml)xz i-11. (20xx浙江理)函数/(a)=sii?x+sin xcos .v+1的最小正周期是 足.，单调递减区间*ez）解析ar)=务(1)卜尹in 2x+ 1+血，kz3一2'+丁=号=由壹+2氐6一彩号+2血，*£z.解得y+faccvy.单调递减区间是卒+血，夺+ak,虹z.二、解答题12. (20xx 重庆理)己知函数./w=sin(§x)血 ljcosj.(1) 求./u)的最小正周期和最大值：(2) 讨论贝。在普苧上的单调性.解析（i v（x）=sinja kin