极限的性质及运算法则

1、上页下页结束返回首页铃一、极限的性质一、极限的性质二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则 1. 5 极限的性质及运算法则极限的性质及运算法则上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、极限的性质一、极限的性质首页定理定理2（局部保号性）（局部保号性）定理定理1(1(唯一性唯一性) )去心邻域 在该邻域内 有f(x)0(或f(x)0) 如果0)(lim0=axfxx(或 a0) 则存在0 x的某一 定理定理3 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0) 而且0limxxf(x)=a 那么 a0(或 a0) 推论推论 如果j(x)f(x) 而limj(x)=a limf(x)=

2、b 那么ab .)(lim0限存在，则它只有一个极若极限xfxx上页下页铃结束返回首页二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=ab lim c f(x)=c lim f(x) (c 为常数)lim f(x)n=lim f(x)n 定理定理5 如果 lim f(x)=a lim g(x)=b 则 limf(x)g(x)存在 并且limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=ab下页(limg(x)=b0)()(limxgxfbaxgxf=)(lim)(lim 上页下页铃结束返回首页求极限举例求极限举例：多项式的极限0limx

3、xp(x)=? 讨论讨论 提示提示 设多项式p(x)=a0 xn a1xn1 an 则 )(lim)(lim11000nnnxxxxaxaxaxp = )lim()lim(11000nnxxnxxaxaxa = =a0 x0na1x0n1 an=p(x0) 解解 xxxxxxx 1 1 1 1lim21lim2lim) 12(lim=例例 1 求) 12(lim 1xx 例例1 解解 xxxxxxx 1 1 1 1lim21lim2lim) 12(lim=xxxxxxx 1 1 1 1lim21lim2lim) 12(lim=1=21=1 下页=2-1=1上页下页铃结束返回首页解解 ) 35(

4、lim) 1(lim351lim223223 2=xxxxxxxxx3limlim5lim1limlim2222232=xxxxxxxx325)lim(1)lim(2232=xxxx3731021223= 例例 2 求351lim23 2xxxx 例例2 解解 ) 35(lim) 1(lim351lim223223 2=xxxxxxxxx 3limlim5lim1limlim2222232=xxxxxxxx325)lim(1)lim(2232=xxxx 下页(分母极限不为0)上页下页铃结束返回首页 解解 例例3 例例 3 求93lim2 3xxx 解解 31lim) 3)(3(3lim93li

5、m 3 32 3=xxxxxxxxx61) 3(lim1lim 3 3=xxx31lim) 3)(3(3lim93lim 3 32 3=xxxxxxxxx31lim) 3)(3(3lim93lim 3 32 3=xxxxxxxxx 61) 3(lim1lim 3 3=xxx 解解 例例4 例例 4 求4532lim2 1xxxx 解解 031241513245lim22 1=xxxx4532lim2 1xxxx= 根据无穷大与无穷小的关系得 031241513245lim22 1=xxxx 下页(分子分母极限都为0)(分母极限为0，分子极限不为0)上页下页铃结束返回首页 有理函数的极限?)()

6、(lim0=xqxpxx 讨论讨论 提示提示 当q(x0)=p(x0)=0时 约去分子分母的公因式(xx0) 当0)(0 xq时 )()()()(lim000 xqxpxqxpxx= 当0)(0=xq且0)(0 xp时 =)()(lim0 xqxpxx 下页上页下页铃结束返回首页先用x3去除分子及分母 然后取极限 解解 先用x3去除分子及分母 然后取极限 例例5 例例 5 求357243lim2323xxxxx 解解 73357243lim357243lim332323=xxxxxxxxxx73357243lim357243lim332323=xxxxxxxxxx73357243lim3572

7、43lim332323=xxxxxxxxxx 例例6 例例 6 求52123lim232xxxxx 020512123lim52123lim332232=xxxxxxxxxxx020512123lim52123lim332232=xxxxxxxxxxx020512123lim52123lim332232=xxxxxxxxxxx 下页上页下页铃结束返回首页讨论讨论提示提示例例 7 求12352lim223xxxxx 例例7 解解 解解 因为052123lim232=xxxxx 所以 =12352lim223xxxxx 所以 有理函数的极限? lim110110= mmmnnnxbxbxbaxax

8、a = mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx 0 lim00110110= mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx 0 lim00110110 下页上页下页铃结束返回首页 解解 当x时 分子及分母的极限都不存在 故关于商的极限的运算法则不能应用 例例8 例例 8 求xxxsinlim 所以 0sinlim=xxx 因为xxxxsin1sin= 是 是无穷小与有界函数的乘积 下页上页下页铃结束返回首页解：例例9 求.23151lim20 xxxxx)3151)(2()31 (51lim0 xxxxxxx=原式)3151)(2(8lim0 xxxx=2) 11 (28=下页(分子分母极限都为0)上页下页铃结束返回首页解：原式例例10 求3113lim().11xxx221