第3章 控制系统的分析方法

1、1第第3章章 控制系统的分析方法控制系统的分析方法 本章主要教学内容本章主要教学内容v常见的典型输入信号及其响应特点v一阶和二阶系统的时域性能指标的计算、系统参数与性能的对应关系v控制系统的稳定条件和稳定判椐v控制系统的稳态误差分析及指标计算v控制系统的频域特性及其表达v频率分析法的特点、性能指标的分析与计算 23.1 典型输入信号及其响应典型输入信号及其响应 3.1.1 概述概述 系统的响应是指在给定信号作用下，系统的输出信号随时间变化的状况，也是系统微分方程的解。我们将系统在稳定之前的响应称为暂态响应，它提供系统在过渡过程中各项动态性能指标；系统到达稳态后的响应称为稳态响应，它反映出系统的

2、稳态性能指标，也即系统稳态误差的大小。 为了便于研究和分析控制系统，通常选用几种确定的函数来作为典型的外部输入信号，其具备的基本特点是：在实际工作现场或实验室中，这种外作用信号容易产生。在典型的外部信号作用下，系统的响应能够反映出该控制系统在实际工作中的确定性能。选择的外部作用信号其数学表达式简单，便于进行理论计算。 33.1.2 典型输入信号 目前，在工程设计中比较常见的典型外部作用信号主要有以下5种：1. 阶跃函数信号 阶跃函数信号是控制系统在实际工作条件下经常遇到的一种外作用信号，例如，给系统加重和卸载；电源电压的突然跳动，表现出来的即为阶跃函数信号。2. 斜坡函数信号 斜坡函数信号也称

3、为速度函数信号，例如，运算放大器输入为恒值电压时，输出即为斜坡函数。3. 抛物线函数信号 抛物线函数信号也称为加速度函数信号，在随动系统中是最常见的作用信号。44. 脉冲函数信号 脉冲函数信号也称为冲击函数信号，单位脉冲函数信号为数学上的一种抽象，在实际系统中难以产生。5. 正弦函数信号 正弦函数信号是在频率法中采用的外作用信号，用正弦函数作为系统的外作用信号，可以求得系统对不同频率的正弦输入信号的稳态响应，称之为频率响应。53.1.3 典型信号的响应典型信号的响应 对于一个控制系统来讲，设其各变量的初始状态为零，在输入典型外作用信号时，系统的输出称为典型信号的响应。（1）单位阶跃响应：系统在

4、单位阶跃函数信号作用下的输出称为单位阶跃响应。（2）单位斜坡响应：系统在单位斜坡函数信号作用下的输出称为单位斜坡响应。 （3）单位脉冲响应：系统在单位脉冲函数信号作用下的输出称为单位脉冲响应，也称为脉冲过渡函数。 63.2 时域分析法时域分析法 控制系统对非周期性信号的响应称为时域响应。在经典控制理论中，时域分析法是一种最常见的分析方法，表现出直接、准确的特点，可以提供系统时间响应的全部信息。3.2.1 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应可以采用一阶微分方程来描述其暂态过程的系统称为一阶系统。一阶系统的微分方程一般形式为：其闭环传递函数为： T为系统的时间常数，下面讨论在系统初始条件为零时，

5、一阶系统对典型输入信号的响应。 )()()(trtcdttdcT11)()()(TssRsCsG7一阶系统的单位阶跃响应分析一阶系统的单位阶跃响应分析对一阶系统输入单位阶跃函数信号：其拉氏变换为：系统的输出响应：将上式进行拉氏反变换，可以得到系统输出的过渡过程表达式： 在单位阶跃输入信号作用下，一阶系统的输出量随时间变化的规律是单调上升的指数曲线，响应的最终值为1，时间常数T是描述响应速度的唯一参数，越小，暂态过程进行得越快，即速度越快。 )(1)(ttrSsR1)(11111)()()(TsTsTsssGsRsCttssTtCCetc1)(8结论：一阶系统的阶跃响应曲线是一个单调的非周期响应

6、，没有超调量，系统过渡过程的快慢是其主要性能指标，通常称之为调节时间。一般有：ts=3T （对应5%的误差带） ts =4T （对应2%的误差带）从上式中可以看出，系统的时间常数越小，调节时间就越小，系统响应的过渡过程时间就越短，响应过程的快速性就越好。 9【例3.1】已知一阶系统的传递函数为 求其单位阶跃响应表达式，计算系统的过渡过程调节时间，分析系统的性能特点。解：（1）将一阶系统的传递函数化为标准式并找出系统的特征参数即： ；放大系数K=5，时间常数T=0.5按公式可得加入放大器后系统的单位阶跃响应表达式为： 210)(ssG15 . 05210)(sssG)1 (5)1 ()(2tTt

7、eektc10（2）计算系统的过渡过程调节时间取5%的误差带：ts=3T=30.5=1.5（秒）取2%的误差带：ts=4T=40.5=2（秒）（3）从上述计算结果分析该系统的性能特点 该系统中加入了1个放大器，系统的单位阶跃响应是一条从零开始，按指数规律变化，最终稳态值为5的非周期性曲线，动态过程无振荡；由于时间常数为0.5，使得调节时间稍长，快速性较差；系统的稳态误差为零。 113.2.2 二阶系统的时域响应 如果系统的数学模型可采用二阶微分方程来描述，则该系统称为二阶系统。二阶系统的传递函数为： T为时间常数， 为阻尼比， 为无阻尼自然振荡频率。二阶系统的闭环特征方程为方程的特征根为：22

8、222212)()()(nnnssTssTksRsCsTn10222nnss122, 1nns12当方程特征根中的阻尼比取值不同时，系统的特征根和响当方程特征根中的阻尼比取值不同时，系统的特征根和响应状态均不相同，其对应关系见表应状态均不相同，其对应关系见表3-1所示。所示。 表3-1 二 阶 系 统 的 特 征 根 状 态 和 响 应 特 点 取值范围 响应状态 特征根形式 响应特点 01 欠阻尼状态 实部为负的共轭复根 衰减的振荡特性 =1 临界阻尼状态 相等的负实根 非周期响应，无振荡 1 过阻尼状态 两个不相等的负实根 非周期响应，无振荡 =0 零阻尼状态 一对纯虚根 持续的等幅振荡

9、131. 二阶系统的单位阶跃响应分析二阶系统的单位阶跃响应分析 下面重点分析在欠阻尼状态下的二阶系统的单位阶跃响应。由于欠阻尼状态下，阻尼比取值为0 1，此时系统的特征根为一对实部为负的共轭复根，可变为： 是特征根实部的模值；称为阻尼振荡角频率， 对二阶系统输入单位阶跃函数信号： 拉氏变换为： dnnjjs22, 11n)(1)(ttrSsR1)(14系统的输出响应为：将上式进行拉氏反变换，可以得到系统输出的过渡过程表达式： 这就是二阶系统在欠阻尼状态下单位阶跃响应的过渡过程。 2222222)()(121)()()(dnndnnnnnsssssssssRsCsin1cos1)(2ttetcd

10、dtn152二阶系统的性能指标计算及其参数对应关系 tdtrtp%tstC(t)010.50.10.916通常，在欠阻尼状态下，如上图所示，描述系统的动态性能指标有以下5个方面： （1）延迟时间： 这是系统的单位阶跃响应到达其稳态值的50%所需的时间。增大自然频率或是减少阻尼比，都可以使系统响应的延迟时间减少，从而使响应的初始段时间短，跟踪迅速。 ndt7 . 0117（2）上升时间： 其中， 这是系统的响应从其稳态值的10%上升到90%所需的时间。表征了系统的响应速度，上升时间越小，响应越快。当阻尼比不变时，角就不变，则增大自然频率会使上升时间缩短，可加快系统的响应速度；当阻尼振荡频率不变时

11、，阻尼比越小，上升时间就越短。drtarccos18（3）峰值时间： 这是指系统响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。其值与阻尼振荡频率成反比。（4）超调量： 这是系统响应在过渡过程中，输出量的最大值与稳态值之间的偏差。超调量只是阻尼比的函数，阻尼比越大，超调量越小，系统的动态响应越平稳。dpt21% e19（5）调节时间： ；对应5%的误差带，这是指系统响应到达稳态值的5%所需的时间。 ；对应2%的误差带，这是指系统响应到达稳态值的2%所需的时间。 调节时间与阻尼比和阻尼振荡频率的乘积成反比。调节时间越短，说明系统的动态响应速度越快。 上述5个动态性能指标基本上可以体现出控制系统过渡过程

12、的总体特征。在实际应用中，经常使用的动态性能指标为系统的上升时间、调节时间和超调量。dst5 . 3dst5 . 4203.2.3 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析1. 稳定的基本概念稳定的基本概念 系统是否稳定是决定系统能否正常工作的前提条件，系统的稳定性反映在干扰消失后的过渡过程性质上。 若系统受到扰动偏离原来的平衡状态后，去掉扰动量，系统能够按照一定精度恢复到原始状态，这样的系统我们称之为稳定的系统。反之，如果去掉扰动，系统不能回到原始状态，或者偏离量随时间增长而增加，则称之为不稳定系统。 212. 控制系统稳定的必要条件是：特征方程式的系数具有相同的符号，且均不为零，也即特征方

13、程不缺项。控制系统稳定的充要条件是：特征根均为负实数或者具有负的实数部分；或者说特征方程所有根均在根平面的左半部分；也可以说系统闭环传递函数的所有极点均位于S平面的左半部分。 223. 劳斯稳定判据劳斯稳定判据 英国人E.J.劳斯提出一种代数判据，它是根据系统特征方程式的系数来直接判断特征根的实数部分的符号，从而决定系统的稳定性。 劳斯稳定判据为：控制系统稳定的充要条件是劳斯阵列表中第一列所有元素的计算值均大于零。检查劳斯阵列表中第一列所有元素的符号： 若第一列各元素均为正值，说明特征根具备负的实数部分，即所有闭环极点都在S平面的左半部分，系统是稳定的； 如果第一列元素值出现负号，则系统不稳定

14、，符号改变的次数等于特征右根的个数。 233.2.4 系统的稳态误差分析系统的稳态误差分析 前面所讨论的系统过渡过程表征了系统的动态性能，这是控制系统的重要特征之一。控制系统的另一个特征是稳态性能，对于稳定的系统，它的稳态性能一般是根据系统在阶跃函数、斜坡函数、加速度函数等输入信号作用下引起的稳态误差来衡量。1. 稳态误差的概念稳态误差的概念我们将稳定系统误差的终值称为系统的稳态误差，记为： 系统的稳态误差取决于系统的结构（包括系统的类型及参数）和外部输入信号的性质。 )(limteetss24 在典型输入信号作用下的稳态误差与系统型号、静态误差系数的对应关系参见表3-4。2. 稳态误差的计算

15、稳态误差的计算我们采用静态误差系数法来分析讨论系统稳态误差的计算，这是给定稳态误差终值的一种计算方法。 对于单位反馈系统来讲，稳态误差系数与开环传递函数中的积分环节数有直接的关系。对于稳定的系统，静态误差系数反映了系统限制或消除稳态误差的能力，系数越大，稳态误差越小；系统的类型号越高，则限制或消除稳态误差的能力越强。 253. 关于稳态误差计算时的几点说明关于稳态误差计算时的几点说明（1）只有稳定的系统才能计算其稳态误差，否则无意义，如果系统的稳定性事先没有确定，要按照稳定的条件和判断方法确定系统是稳定的，然后才能计算稳态误差。（2）前面的分析和计算公式的推导是在输入信号作用下，单位负反馈系统

16、的稳态误差处理，如果是非单位反馈系统，应该将其转换为单位反馈，再利用公式处理。 （3）公式中的K值，是根据式（3-19）所表示的系统开环传递函数得到的，如果给定的系统传递函数表达式不是标准式，则应先将其转换为式（3-19）所示的形式。 264. 减少稳态误差的措施减少稳态误差的措施（1）组成控制系统的元器件参数应具备相应的精度和稳定性。（2）提高系统的开环放大倍数可以降低系统的稳态误差，通常是在系统的前向通道中串联放大环节。但是，单纯提高K值会使系统的稳定性变坏，造成系统不稳定，解决的办法是可以进行相应的校正，如引入局部速度负反馈等。（3）提高系统的型号，可以增强系统跟随输入信号的能力，通常是

17、在系统的前向通道中串联积分环节。但是，积分环节增加以后，会改变闭环系统的传递函数极点，将使系统稳定性下降。273.3 频域分析法 频域分析法采用自动控制中的另一种数学工具频率特性，可以研究系统控制过程的性能，包括系统的稳定性、动态性能及稳态精度。这种方法不必直接求解系统的微分方程，而是间接地运用系统的开环频率特性曲线，分析闭环系统的响应，因此它是一种图解的方法。283.3.1 频率特性的概念频率特性的概念频率特性的定义频率特性的定义 线性定常系统在正弦信号作用下，其稳态输出随频率变化的特性称为频率特性，它等于输出的稳态分量与输入的复数比。 频率特性的表达式为：)()()(jRjCjG293.3

18、.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性1. 频率特性的频率特性的3种图示法及其应用场合种图示法及其应用场合（1）幅频、相频特性曲线这种方法主要用于分析系统性能，推算系统的数学模型和参数。（2）对数幅频、对数相频特性曲线对数频率特性曲线也称为伯德图（Bode图），主要用于系统性能的分析和讨论，包括稳定性、动态性能、抗干扰能力和性能的改善等。（3）福相特性曲线 画有福相特性曲线的图称为极坐标图，福相特性曲线也称为奈奎斯特曲线（Nyquist曲线），主要用于判断系统的稳定性。 302. 典型环节的对数频率特性典型环节的对数频率特性 在系统频率特性的表示方法中，采用对数坐标图表示的伯德图具有下述特

19、点： 可以将频率特性幅值的乘除化为对数坐标中的加减运算，便于进行叠加处理。 可以用比较简便的方法来绘制环节或系统的近似对数幅频特性曲线，即渐近线表示。 通过实验获得的数据画成伯德图，可以方便地确定系统的频率特性表示式。 由于开环系统是由各种典型环节组合而成的，可以通过典型环节的叠加后形成系统的开环特性。313.3.3 系统开环频率特性系统开环频率特性为方便讨论，我们通过开环对数频率特性来分析系统的性能。为此就要绘制出系统的开环对数频率特性曲线，其基本思路是：（1）将 化为标准形式，分解为各典型环节的组合。（2）按典型环节对数频率特性的特点，从小到大找出系统特性曲线在转折点处的频率和每段的斜率变

20、化规律。（3）选定绘制系统特性曲线所采用的坐标轴比例尺和频率范围。（4）按各典型环节的对数频率特性渐近线，在转折频率处依次叠加而得到系统的开环对数频率特性。 )(jG323.3.4 系统性能的分析系统性能的分析1. 三频段的定义及其与系统性能的对应关系三频段的定义及其与系统性能的对应关系 在频率法中，为了分析和讨论系统的性能，我们提出开环对数幅频特性的三频段概念。运用三频段的原理，可以分析控制系统的性能、讨论系统参数对性能的影响、对系统进行合理的设计。一个具有较好的动态响应、较高的稳态精度、理想的跟踪能力、满意的抗干扰性能的控制系统，其开环对数幅频特性曲线中三频段的设置是很明确的。33如下图所

21、示的系统开环对数幅频特性：L()0123c-20-40-20-40低频段连接段中频段高频段34（1）低频段：由比例积分环节组合而成，其中的开环增益K和控制系统的型号都与系统的稳态误差有关。通常，其斜率应取 ，而且其曲线要保持足够的高度，以满足系统的稳态误差要求。 （2）中频段：在系统开环截止频率的两端区间内，主要与微分、惯性等环节有关，反映出系统的动态性能。此段中的开环截止频率不能过低，而且其附近应该具备的斜率段，以便满足系统的快速性和平稳性的要求。斜率段所占的频带宽度越大，则系统时域响应的震荡倾向和超调量越小，平稳性越好；越大，系统的快速性越好。 decdB/2035（3）高频段：系统最后1个转折频率以后的区域，反映出控制系统工作在高频区域时的特点，与系统的抗干扰能力相对应。要求高频段的幅频特性斜率尽量低，衰减幅值大，这样可保证系统的抗高频干扰性好。 364. 稳定性分析 奈奎斯特稳定判据：当 由 由变化时，系统的开环幅相特性曲线绕 点转 角，系统则稳定，否则系统不稳定。其中，P是系统开